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問題3 $xyz$空間において，$xz$平面上の$0 \leqq z \leqq 2-x^2$で表される図形を$z$軸の周りに回転して得られる不透明な立体を $V$とする．$V$の表面上$z$座標１のところに一つ点光源$P$がある． $xy$平面上の原点を中心とする円$C$の，$P$からの光が当たっている部分の長さが$2\pi$であるとき，$C$のかげの部分の長さを求めよ． 
解答まず，$xz$平面上の放物線$z=2-x^2$を$z$軸の周りに回転した曲面の方程式を求める． $z=t \ \ (0$＜$t)$のとき$x^2=2-t$であるから， 求める曲面を平面z=tで切った切り口は(0,0,t)を中心とする半径$\sqrt{2-t}$の円である． したがって， $z=t,x^2+y^2=2-t$ $t$を消去して $x^2+y^2=2-z$・・・@ を得る． $P$を通る直線が曲面@と接する場合が影の境界線である． $P(1,0,1)$と$Q(u,v,0)$ を通る直線は $x=1+t(u-1)$ $y=tv$ $z=1-t$ この３式を@に代入し， $\{ (u-1)^2+v^2\}t^2+(2u-3)t=0$・・・A 
Aが重解を持つから$u=\dfrac{3}{2}$ したがって，$xy$平面で影の境界線は直線 $x=\dfrac{3}{2}$ 右図は，回転放物面$x^2+y^2=2-z$の$(1,0,1)$の接平面を表したものである． $xy$平面上の原点を中心とする円Cの半径を$r$とする． 円Cと直線$x=\frac{3}{2}$との交点を$Q,R$とする． このとき，劣弧$QR$の長さが$2\pi$，優弧$QR$の長さが求めるものである． $x$軸と$OQ$のなす角を$\theta$とおくと $r \theta=\pi$・・・A $r\cos \theta =\dfrac{3}{2}$・・・B ここで， 
$R=\dfrac{1}{r}$とおくと$R=\dfrac{\theta}{\pi}, \ \ R=\dfrac{2\cos \theta}{3}$ であるから $0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ の範囲でただ一つの解を持つ． A，Bは $\theta =\dfrac{\pi}{3},r=3$・・・C が解の１つであるので題意を満たすもにである． 求める長さは $3\cdot \dfrac{4\pi}{3}=4\pi$ ＜解説＞ ここでは，光が立体Vと接する場合が影の境界であるとして解いた．平面上で放物線上に光源がある場合の影のを調べるとき，その点 における接線を考えることが自然なように自然な方法である． もしこの接線で処理をする方法に不安を感ずるなら，次のようにしてもよい． $P$を通る直線を曲面Vの式に代入した $\{ (u-1)^2+v^2\}t^2+(2u-3)t=0$・・・A を解くと $t=0,\dfrac{-2u+3}{(u-1)^2+v^2}$ より，Pを通る直線と曲面Vとのもう一つの交点のz座標は $z=-\dfrac{-2u+3}{(u-1)^2+v^2}+1$ $0$＜$z$＜$1$より影の部分を求めると $0$＜$\dfrac{-2u+3}{(u-1)^2+v^2}$＜$1$ $\therefore u$＜$\dfrac{3}{2},\ \ u^2+v^2$＞$2$ より影の部分は $x$＜$\dfrac{3}{2}$ となる． 戻る 目次 全体の目次 |