いろいろな立体の問題 第8節 立体図形の入試問題4(立体の回転体) 問題1 一辺の長さ$1$の正三角形を底面とする高さ$2$の正三角柱を考える．この正三角柱を底面の一辺を軸として１回転させる． このときできる回転体の体積を求めよ． 東京理科大・理（2002年） 解答 問題2 $xyz$空間において，$O(0,0,0),A(1,1,0),B(1,0,0),C(1,0,2)$を$4$頂点とする四面体$OABC$について， 面$OAB$を平面$z=0$上に置いたまま，また頂点$O$を原点に保ったまま$z$軸の周りにこの四面体を回転する．このとき四面体 が通過する部分の体積を求めよ． 津田塾大（2002年） 解答 問題3 $xy$平面において，連立不等式 $(x-1)^2+y^2\leqq 1,0\leqq x\leqq 1,y\geqq 0$ の表す領域を$A$とする．これを座標空間内で$z$軸の方向に$1$だけ平行移動するときに$A$が通過してできる立体を$B$とする． $B$を$x$軸のまわりに，$y$軸から$z$軸の方向に$90^{\circ}$回転させたときに通過してできる立体を$C$とする．$C$の体積を求めよ． 東北大（2010年） 解答 問題4 $xyz$空間内の6つの平面$x=0,x=1,y=0,y=1,z=0,z=1$によって囲まれた立方体を$P$とおく．$P$を$x$軸の周りに1回転してできる 立体を$P_x$とし，$P$を$y$軸の周りに1回転してできる立体を$P_y$とする．さらに，$P_x$と$P_y$の少なくとも一方に属する 点全体でできる立体を$Q$とする．$Q$の体積を求めよ．(一部の設問略) 富山大（2010年） 解答 問題5 $xyz$空間の原点と点$(1,1,1)$を通る直線を$l$とする． (1)$l$上の点$(\frac{t}{3},\frac{t}{3},\frac{t}{3})$を通り$l$と垂直な平面が，$xy$平面と交わってできる直線 の方程式を求めよ． (2)不等式$0\leqq y \leqq x(1-x)$の表す$xy$平面内の領域を$D$とする．$l$を軸として$D$を回転させて得られる回転体 の体積を求めよ． 東工大（2009年） 解答 目次 全体の目次 |