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問題5 $xyz$空間の原点と点$(1,1,1)$を通る直線を$l$とする． (1)$l$上の点$(\frac{t}{3},\frac{t}{3},\frac{t}{3})$を通り$l$と垂直な平面が，$xy$平面と交わってできる直線 の方程式を求めよ． (2)不等式$0\leqq y \leqq x(1-x)$の表す$xy$平面内の領域を$D$とする．$l$を軸として$D$を回転させて得られる回転体 の体積を求めよ． 
設問(1)で$l$上の点$P$を$P(\frac{t}{3},\frac{t}{3},\frac{t}{3})$と置いているのですが，この媒介変数の取り方には注意する必要があります．
詳しい内容は解説で述べます．
解答 (1) $xy$平面上の点を$S(x,y,0)$とおくと， $\overrightarrow{PS}\cdot (1,1,1)$ $=(x-\dfrac{t}{3},y-\dfrac{t}{3},-\dfrac{t}{3})\cdot (1,1,1)=0$ より， $x+y=t$ (2) $xy$平面上で，$x+y=t$と $y=x(1-x) \ \ (0\leqq t \leqq 1)$ との交点$Q$の$x$座標は $x=1-\sqrt{1-t}$ である． $(\because \ y=x(1-x)$の$x=1$における接線の傾きが$-1$であ るから，$0\leqq x\leqq 1$の範囲で2点で交わることはなく，さらに，図より小さい方の解である$)$ $P$から直線$x+y=t,z=0$に下した垂線の足$H$は，$P$から$xy$平面に下した垂線の足$K$が$K(\frac{t}{3},\frac{t}{3},0)$であるから 三垂線の定理より， 
$H(\dfrac{t}{2},\dfrac{t}{2},0).$点$H$は直線 $y=x,z=0$ 上であり，この直線は$xy$平面上の曲線$y=x(1-x)$の$x=0$における接線であるから点$H$は$D$の外部であることが分かる． $R(t,0,0)$とおく． $(\frac{t}{3},\frac{t}{3},\frac{t}{3})$を通り$l$に垂直な平面で求める回転体を切った断面の面積を$Y$とおくと $Y=\pi (PR^2-PQ^2)=\pi \left((PH^2+HR^2)-(PH^2+HQ^2)\right)=\pi(HR^2-HQ^2)$ $=\pi(-4+4t-2t\sqrt{1-t}+4\sqrt{1-t})$ ここで，注意すべきことは，$P(\frac{t}{3},\frac{t}{3},\frac{t}{3})$と置いてあるので， $X=OP=\dfrac{t}{\sqrt{3}}$ である． $0\leqq t \leqq 1$のとき$0 \leqq X \leqq \frac{1}{\sqrt{3}}$であるから，求める体積は， $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}YdX$ この積分を媒介変数$t$で表すと， $\dfrac{dX}{dt}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ より $dX=\dfrac{dt}{\sqrt{3}}$ したがって，求める体積は次のようになる． $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}YdX$ $\displaystyle =\int_0^1\pi(-4+4t-2t\sqrt{1-t}+4\sqrt{1-t})\cdot \dfrac{dt}{\sqrt{3}}$ $=\dfrac{2\sqrt{3}\pi}{45}$ 解説1 積分するとき，$dt$でなく$\dfrac{dt}{\sqrt{3}}$となることをきちんと理解しなければいけません． 回転軸$l$上の点$P$の媒介変数表示は幾らでもあります．例えば$P(t,t,t)$でもかまいません． $P$を通り$OP$に垂直な平面切った切り口の面積を$Y$,$OP$の長さを$X$として，$X,Y$を$t$で表して求めているのです． すなわち，媒介変数表示された図形の面積を求める問題です． とはいっても，ここまで考えが行き届く高校生は多くはありません．そこで，回転軸の媒介変数を次のようにとることをすすめます． $OP=t$となるようにとりましょう．回転軸$l$の媒介変数表示を $x=\dfrac{t}{\sqrt{3}},y=\dfrac{t}{\sqrt{3}},z=\dfrac{t}{\sqrt{3}}$ すなわち，$l$上の点$P$を $P(\dfrac{t}{\sqrt{3}},\dfrac{t}{\sqrt{3}},\dfrac{t}{\sqrt{3}})$ として問題を解くのです．これは，斜回転の体積を求めるときも同じです． この方法で解いたのが次の解答です． 別解答 $l$上の点$P(\dfrac{t}{\sqrt{3}},\dfrac{t}{\sqrt{3}},\dfrac{t}{\sqrt{3}})$を通る平面と$xy$平面との交線は $x,y$平面上の点を$(x,y,0)$と置くと， $(x-\dfrac{t}{\sqrt{3}},y-\dfrac{t}{\sqrt{3}},-\dfrac{t}{\sqrt{3}})\cdot (1,1,1)=0$ より $x+y=\sqrt{3}t$ $xy$平面上で，$x+y=\sqrt{3}t$と$y=x(1-x) \ \ (0\leqq t \leqq 1)$との交点$Q$の$x$座標は $x=1-\sqrt{1-\sqrt{3}t}$ $P$から直線$x+y=\sqrt{3}t,z=0$に下した垂線の足$H$は，三垂線の定理より， 
$H(\dfrac{\sqrt{3}t}{2},\dfrac{\sqrt{3}t}{2},0)$である．点$H$は直線 $y=x,z=0$ 上であり，この直線は$xy$平面上の曲線$y=x(1-x)$の$x=0$における接線であるから$H$は領域$D$の外部であることが分かる． $R(\sqrt{3}t,0,0)$とおく． $(\frac{t}{\sqrt{3}},\frac{t}{\sqrt{3}},\frac{t}{\sqrt{3}})$を通る$l$に垂直な平面で求める回転体を切った断面積を$Y$とおくと $Y=\pi (PR^2-PQ^2)=\pi \left((PH^2+HR^2)-(PH^2+HQ^2)\right)=\pi(HR^2-HQ^2)$ $=\pi(-4+4\sqrt{3}t-2\sqrt{1-\sqrt{3}t}\sqrt{3}t+4\sqrt{1-\sqrt{3}t})$ したがって，求める体積は次のようになる． $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}Ydt$ $\displaystyle =\pi\int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left(-4+4\sqrt{3}t-2\sqrt{1-\sqrt{3}t}\sqrt{3}t+4\sqrt{1-\sqrt{3}t}\right)dt$ $=\dfrac{2\sqrt{3}\pi}{45}$ 計算は少し難しくなるが，確実な方法で，まずこの方法で解くことをお勧めする． 
解説2解答の中で用いた三垂線の定理について述べる． 定理の形で書くと次のようになる． 定理 四面体$ABCD$について，$H$は底面$BCD$上の点，点$K$は直線$BC$上の点とする．このとき次が成り立つ． $(1) \ \ AH\perp (\text{面}BCD),HK\perp BC \Rightarrow AK\perp BC$ $(2) \ \ AH\perp (\text{面}BCD),AK\perp BC \Rightarrow HK\perp BC$ $(3) \ \ AK\perp BC,HK\perp BC,AH\perp HK \Rightarrow AH\perp (\text{面}BCD)$ 証明 (1) 仮定より $AH\perp BC,HK\perp BC$ であるから， $BC\perp (\text{面}AHK)$ $\therefore AK\perp BC$ (2)は同様． (3) $HK\perp BC,AK\perp BC$より $BC\perp (\text{面}AHK)$ したがって，$AH\perp BC$ 仮定より$AH\perp HK$であるから $AH\perp (\text{面}BCD)$ 三垂線の定理は，証明が初等的（ベクトルや方程式を用いていない）であり，応用範囲が広い． 例えば，正四面体で，頂点から底面に下した垂線の足$H$が底面の重心であることは，$H$が底面の三角形の各中線上 にあることが三垂線の定理より分かる． 空間図形で垂線の足の場所を苦労して見つけたときに，よく見ると三垂線の定理そのものであることを 経験したことがあるのではないかと思う． ちなみに例題5の解答では三垂線の定理(1)を用いている． 問題に戻る 目次 全体の目次 |