問題2$xyz$空間において， $O(0,0,0),A(1,1,0),B(1,0,0),C(1,0,2)$ を４頂点とする四面体$OABC$について， 面$OAB$を平面$z=0$上に置いたまま，また頂点を$O$を原点に保ったまま$z$軸の周りにこの四面体を回転する．このとき四面体 が通過する部分の体積を求めよ． 解答 四面体$OABC$を平面$z=t \ (0\leqq t \leqq 2)$で切ったときの切り口の図形を$\triangle PQR$とする，内分公式または直線の方程式を用いて $P,Q,R$の座標を求めると $P(\dfrac{t}{2},0,t),Q(1,\dfrac{2-t}{2},t),R(1,0,t)$ である．$O'(0,0,t)$とおけば求める体積は $\displaystyle \pi \int_0^2(O'Q^2-O'P^2)dt$ $\displaystyle =\pi \int_0^2\left \{\left(1+\left(\dfrac{2-t}{2}\right)^2\right)-\left(\dfrac{t}{2}\right)^2\right \}dt=2\pi$ 問題に戻る 目次 全体の目次 |