問題1一辺の長さ$1$の正三角形を底面とする高さ$2$の正三角柱を考える．この正三角柱を底面の一辺を軸として１回転させる． このときできる回転体の体積を求めよ． 解答 底面の辺$AB$を軸とし，$AB$の中点を原点$O$とする． $OA$上に点$P$をとり，$P$を通り$AB$に垂直な平面でこの三角柱を切った切り口は長方形であり，その長方形を$PQRS$ とする． $P$の座標を$P(t)$とすれば $PQ=\dfrac{\sqrt{3}(1-2t)}{2}$ したがって， $PR^2=\dfrac{3(1-2t)^2}{4}+4$ $\displaystyle \therefore 2\pi \int_0^{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{3(1-2t)^2}{4}+4\right)dt=\dfrac{17\pi}{4}$ 問題に戻る 目次 全体の目次 |