第8節 立体図形の入試問題(解答)

問題1
一辺の長さ$1$の正三角形を底面とする高さ$2$の正三角柱を考える.この正三角柱を底面の一辺を軸として1回転させる. このときできる回転体の体積を求めよ.

解答
底面の辺$AB$を軸とし,$AB$の中点を原点$O$とする. $OA$上に点$P$をとり,$P$を通り$AB$に垂直な平面でこの三角柱を切った切り口は長方形であり,その長方形を$PQRS$ とする.
$P$の座標を$P(t)$とすれば
$PQ=\dfrac{\sqrt{3}(1-2t)}{2}$
したがって,
$PR^2=\dfrac{3(1-2t)^2}{4}+4$
$\displaystyle \therefore 2\pi \int_0^{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{3(1-2t)^2}{4}+4\right)dt=\dfrac{17\pi}{4}$


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