問題3$xy$平面において，連立不等式 $(x-1)^2+y^2\leqq 1,0\leqq x\leqq 1,y\geqq 0$ の表す領域を$A$とする．これを座標空間内で$z$軸の方向に$1$だけ平行移動するときに$A$が通過してできる立体を$B$とする． $B$を$x$軸のまわりに，$y$軸から$z$軸の方向に$90^{\circ}$回転させたときに通過してできる立体を$C$とする．$C$の体積を求めよ． 解答 立体$B$を平面$x=t$できった時の切り口の長方形を右の図のように長方形$O'PQR$とする．ここで $O'(t,0,0),Q(t,\sqrt{1-(1-t)^2},1)$ である． 長方形$O'PQR$を$O'$の周りに$90^{\circ}$回転したとき通過する部分の面積を$S(t)$とすると $S(t)=\dfrac{\pi \times OQ^2}{4}+O'P\times PQ$ $=\dfrac{\pi (1+2t-t^2)}{4}+\sqrt{1-(t-1)^2}$ したがって求める体積は $\displaystyle \int_0^1S(t)dt$ $\displaystyle =\dfrac{\pi}{4}\int_0^1(1+2t-t^2)dt+\int_0^1\sqrt{1-(t-1)^2}dt=\dfrac{2\pi}{3}$ 問題に戻る 目次 全体の目次 |