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問題4 $xyz$空間内の6つの平面$x=0,x=1,y=0,y=1,z=0,z=1$によって囲まれた立方体を$P$とおく．$P$を$x$軸の周りに1回転してできる 立体を$P_x$とし，$P$を$y$軸の周りに1回転してできる立体を$P_y$とする．さらに，$P_x$と$P_y$の少なくとも一方に属する 点全体でできる立体を$Q$とする．$Q$の体積を求めよ． 
解答 右図は，立方体を$y$軸にまわしたとき得られる図形$P_y$（円柱），およびその円柱$P_y$を $z=t \ \ (-\sqrt{2}\leqq t \leqq \sqrt{2})$ で切って得られる長方形(緑色)を意味している． この図が自分でえがければできたも同然です． 右図の$P$の$x$座標は$\sqrt{2-t^2}$である． $P_x$も同様に考え，$P_x,P_y$を$z=t$で切った切り口の図形は， $\sqrt{2-t^2}\geqq 1,\sqrt{2-t^2}\leqq 1$ に場合分けして考える必要ある． $Q$を平面$z=t$で切ったときの切り口の面積$S(t)$は, $\bullet \ \ \sqrt{2-t^2}\geqq 1$ すなわち$-1\leqq t \leqq 1$のとき(右下の上図)． $S(t)=4\sqrt{2-t^2}-1$ $\bullet \ \ \sqrt{2-t^2}\leqq 1$ すなわち$-\sqrt{2} \leqq t \leqq -1$または$1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$のとき（右下の下図）． $S(t)=4\sqrt{2-t^2}-(2-t^2)$ 
したがって，求める体積$V$は，$\displaystyle V=2\int_0^\sqrt{2}S(t)dt$ $\displaystyle =2\int_0^1(4\sqrt{2-t^2}-1)dt$ $\displaystyle +2\int_1^{\sqrt{2}}(4\sqrt{2-t^2}+t^2-2)dt$ $=4\pi +\dfrac{4}{3}-\dfrac{8\sqrt{2}}{3}$ 
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