いろいろな立体の問題

第8節　立体図形の入試問題4(円柱と円錐)
ここでは，円柱と円錐について扱います．
円柱，円錐を扱う問題は一見難しそうですが，順序だてて考えれば比較的簡単に解決します．また， 空間図形のトレーニングとしても優れた題材の一つです．



問題1
平面上の点$A$を中心とする半径$a$の円から，中心角が$60^{\circ}$で
$AP=AQ=a$
となる扇形$APQ$を切り取る．
次に線分$AP$と$AQ$を貼り合わせて，$A$を頂点とする直円錐$K$をつくり，これを点$O$を原点とする座標空間におく．
$A,P$はそれぞれ$z$軸，$x$軸上の正の位置に取り，扇形$APQ$の弧$PQ$は$xy$平面上の$O$を中心とする円$S$になるようにする．
また弦$PQ$から定まる$K$の側面上の曲線を$C$とする．
以下の問いに答えよ．
(1)　$S$の半径を$b$とする．$S$上の点
$R(b\cos \theta ,b\sin \theta ,0) \ \ \ (0\leqq \theta \leqq 2\pi)$
に対して， $K$上の母線$AR$と$C$の交点をMとする．
$b$と線分$AM$の長さを$a$と$\theta $を用いて表せ．

(2) ベクトル$\overrightarrow{OM}$を$xy$平面に正射影したベクトルの長さを$r$とする．
$r$を$a$と$\theta $を用いて表し，定積分
$\displaystyle \int_0^{2\pi}\dfrac{r(\theta)^2}{2}d\theta$
を求めよ．
ただし，ベクトル$\overrightarrow{OE}=(a_1,a_2,a_3)$を$xy$平面に正射影したベクトルとは
$\overrightarrow{OE'}=(a_1,a_2,0)$
のことである．
横浜市立・医（2011年）


解答



問題2
次のような直円柱$K$と$\triangle ABC$を考える．
直円柱$K$は底面の円の半径が1,高さが2である．
$\triangle ABC$は$AB=AC$の二等辺三角形であり，辺$BC$の中点を$M,AM=MC=2$とする．
また，点$D,E$はそれぞれ辺$AB,AC$上を$AD=AE$を満たしながら動くとする．
$\triangle ABC$を直円柱$K$の側面に，辺AMが母線，辺$BC$が底面の周の一部分となるようにとり，線分$DE$が通過してできる曲面 によりこの直円柱を２つの立体に分ける．
このとき，点$M$を含むほうの立体の体積を求めよ．
札幌医科大（2004年）


解答



問題3
$xyz$空間の３点
$A(5,0,0),B(4,1,0),C(5,0,\sqrt{2})$
が定める平面を$T$，$T$上にあって点$A$を中心として半径$\sqrt{2}$をもつ円を$U$とする．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 点$P$は円$U$の周上にある．
$\angle {PAB}=\theta \ \ \ (0 \leqq \theta \text{<}2\pi)$
とするとき,$P$の座標$(u,v,r)$ を$\theta $を用いて表せ．
(2) 2$点D(10,0,0),P$を通る直線が$yz$平面と交わる点を$Q(0,Y,Z)$とする．$Y$と$Z$を$\theta $を用いて表せ．
(3) (2)の$Y,Z$から$\theta $を消去して，$Q$の軌跡が楕円となることを示せ．またその楕円の概形を$yz$平面上の図示せよ．
防衛医科大（2011年）


解答



問題4
$xyz$空間において，原点を中心とする半径$4$の球を$S$とし，点$(5,0,0)$を中心とする半径$3$の球を$T$とする．
以下の問いに答えよ．
(1) 空間領域
$\{(x,y,z)|S$にも$T$にも接する平面で点$(x,y,z)$を通るものが存在する$\}$
を表す不等式を求めよ．
(2) 点$(a,b,c)$は(1)の空間領域に含まれないとする．
$S$にも$T$にも接する平面の中で点$(a,b,c)$からの距離が最小になる平面を考える． その平面と点$(a,b,c)$の距離を求めよ．
岐阜大（2011年）


解答



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