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問題2 次のような直円柱$K$と$\triangle ABC$を考える． 直円柱$K$は底面の円の半径が1,高さが2である． $\triangle ABC$は$AB=AC$の二等辺三角形であり，辺$BC$の中点を$M,AM=MC=2$とする． また，点$D,E$はそれぞれ辺$AB,AC$上を$AD=AE$を満たしながら動くとする． $\triangle ABC$を直円柱$K$の側面に，辺AMが母線，辺$BC$が底面の周の一部分となるようにとり，線分$DE$が通過してできる曲面 によりこの直円柱を２つの立体に分ける． このとき，点$M$を含むほうの立体の体積を求めよ． 
問題とは関係ないのですが，円柱状の曲線$AB$がどのような曲線になるかを調べることは興味ある問題です． 立体を切る方法は２通り考えられます．線分$DE$の軌跡は平面上ではないので$BC$に垂直な平面で切る方法は使えません． 
解答1円柱の下底，上底の円の中心をそれぞれ$O,O'$とし，$OO'$に垂直な平面で切って考える． $O'O$上の点$P$に対して $O'P=t$ とおき，右図(曲線$AB,AC$は正確でない)の弓形$DE$の面積を$t$で表し，それを積分することになる． 弓形$DE$の面積は$0\leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}$と$\dfrac{\pi}{2}\leqq t \leqq 2$では求め方が異なるがともに $t-\dfrac{\sin 2t}{2}$ となる． 
実際$AM=t,(\text{弧}DM)=t,\angle DPN=t$ より弓形$DE$の面積を$S(t)$とすると， $S(t)=t-\dfrac{\sin 2t}{2}$ したがって，求める体積は $\displaystyle \int_0^2S(t)dt=\int_0^2(t-\dfrac{\sin 2t}{2})dt$ $=\dfrac{7+\cos 4}{4}$ 
解答2右図で$OM$に垂直な平面で切って考える． 直線$OM$上に点$P$を取り， $MP=t$ とする． $NF=MP=t$ であり， $\angle DO"N=\theta$ とおけば $\cos \theta =1-t$ であり， $DF=2\sin \theta$ 
さらに，$AN=\text{弧}DN=\theta$ より切り口の長方形の面積$S(t)$は $S(t)=2\sin \theta (2-\theta)$ である． なお，この面積は $\dfrac{\pi}{2}\leqq \theta \leqq 2$ すなわち $1\leqq t \leqq 1-\cos 2$ のときも成り立つことに注意する． $1-t=\cos \theta$ を用いて置換積分することにより．求める体積は $\displaystyle \int_0^{1-\cos 2}2\sin \theta (2-\theta)dt$ $\displaystyle =\int_0^2(4\sin \theta -2\theta \sin \theta )\sin \theta d\theta $ $=\dfrac{7+\cos 4}{4}$ 問題に戻る 目次 全体の目次 |