問題4$xyz$空間において，原点を中心とする半径$4$の球を$S$とし，点$(5,0,0)$を中心とする半径$3$の球を$T$とする． 以下の問いに答えよ． (1) 空間領域 $\{(x,y,z)|S$にも$T$にも接する平面で点$(x,y,z)$を通るものが存在する$\}$ を表す不等式を求めよ． (2) 点$(a,b,c)$は(1)の空間領域に含まれないとする． $S$にも$T$にも接する平面の中で点$(a,b,c)$からの距離が最小になる平面を考える． その平面と点$(a,b,c)$の距離を求めよ． 解答 $(1) \ \ $2つの球$S,T$に接する平面を2球に接しながら２球の周りを一周すれば分かるように，求める領域は，２球$S,T$の決める円錐の外側である． すなわち，球$S,T$と$xy$平面の交線をそれぞれ円$C_1,C_2$とし，２円$C_1,C_2$の共通外接線をの片方を$x$軸の周りに回転して 得られる直円錐の外側である． 
２円の外接線は２円の中心を半径の比に外分する点を通り，いずれかの円に接する円を求めればよいから，
２円の外接線の方程式は$y=\pm \dfrac{x-20}{2\sqrt{6}}$ 求める領域は$x=t$で切れば $y^2+z^2\geqq \dfrac{(20-t)^2}{24},x=t$ $\therefore \ \ y^2+z^2 \geqq \dfrac{(20-x)^2}{24}$ (点$A$の左側だけでなく，右側も考えている) 
$(2) \ \ $円錐を平面$x=a$で切ったときの底面の円の半径は$\dfrac{|20-a|}{2\sqrt{6}}.$点$A(a,b,c)$と$x$軸の決める平面上における点$A$と母線との距離が求める長さであるから，その長さは $AC\sin \theta$ $=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}\cdot \left(\dfrac{|20-a|}{2\sqrt{6}}-\sqrt{b^2+c^2}\right)$ 
解説(2)で点$A(a,b,c)$と円錐の中心軸の決める平面上における点$A$と母線との距離が求める長さであることの説明は 次のようにすればよい． 右図で，点$A$と平面$\alpha ,\beta$までの距離の比較をすればよい． $AP=BR$ であるから $AP=BR\text{<}AQ$ がわかる．$(\because AD \text{>}BE)$ 入試本番でこのような説明を丁寧に書く必要はない． 実際当たり前と思われることを丁寧に説明することは決してほめられることではない， しかし，普段の学習では，直感的には当たり前と思われることでも，丁寧に調べる習慣をつけましょう． 思わぬ発見があるだけでなく，これらのことを通して数学的センスが身につくものなのです． 問題に戻る 目次 全体の目次 |