問題1平面上の点$A$を中心とする半径$a$の円から，中心角が$60^{\circ}$で $AP=AQ=a$ となる扇形$APQ$を切り取る． 次に線分$AP$と$AQ$を貼り合わせて，$A$を頂点とする直円錐$K$をつくり，これを点$O$を原点とする座標空間におく． $A,P$はそれぞれ$z$軸，$x$軸上の正の位置に取り，扇形$APQ$の弧$PQ$は$xy$平面上の$O$を中心とする円$S$になるようにする． また弦$PQ$から定まる$K$の側面上の曲線を$C$とする． 以下の問いに答えよ． (1) $S$の半径を$b$とする．$S$上の点 $R(b\cos \theta ,b\sin \theta ,0) \ \ \ (0\leqq \theta \leqq 2\pi)$ に対して， $K$上の母線$AR$と$C$の交点をMとする． $b$と線分$AM$の長さを$a$と$\theta $を用いて表せ． (2) ベクトル$\overrightarrow{OM}$を$xy$平面に正射影したベクトルの長さを$r$とする． $r$を$a$と$\theta $を用いて表し，定積分 $\displaystyle \int_0^{2\pi}\dfrac{r(\theta)^2}{2}d\theta$ を求めよ． 
ただし，ベクトル$\overrightarrow{OE}=(a_1,a_2,a_3)$を$xy$平面に正射影したベクトルとは$\overrightarrow{OE'}=(a_1,a_2,0)$ のことである． 解答 (1) ２つの円の半径の関係より $b=\dfrac{a}{6}$ 右下の図で，$\triangle APM$に注目し，正弦定理より $AM=\dfrac{\sqrt{3}a}{2\sin (\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\theta}{6})}$ $=\dfrac{\sqrt{3}a}{2\sin (\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\theta}{6})}$ 
(2)円錐上の点$M$の$xy$平面への正射影を$M'$とする． 円錐における３点$A,O,R$で決まる$\triangle AOR$に注目すれば，相似より $r=OM'=\dfrac{AM}{6}$ $=\dfrac{\sqrt{3}a}{12\sin (\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\theta}{6})}$ したがって， $\displaystyle \int_0^{2\pi}\dfrac{r^2}{2}d\theta $ $\displaystyle =\dfrac{a^2}{96}\int_0^{2\pi}\dfrac{1}{\sin ^2\dfrac{\theta+2\pi}{6}}d\theta $ $=\dfrac{a^2}{16}\left[-\dfrac{1}{\tan \dfrac{\theta+2\pi}{6}}\right]_0^{2\pi}$ $=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{24}$ 注意 (2)の値は，$\triangle APQ$で決まる側面の底面への正射影の面積で，円錐の母線と底面のなす角を$\phi$とすれば $\cos \phi=\dfrac{1}{6}$ であるから，当然 $\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{\sqrt{3}a^2}{4}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{24}$ となります（体積における置換積分を身に付けよう（その4）の例題6(3)の別海を参照）． 問題に戻る 目次 全体の目次 |