いろいろな立体の問題

第8節　立体図形の入試問題3(双曲線関数)
ここでは，双曲線関数
$\cosh t=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2},\sinh t=\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}$
を用いると比較的簡単に解決する問題および双曲線に関する問題を扱います．

問題1
実数$t$と行列
$A= \begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}, B=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
に対し，等式
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =B^{-1}AB \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$
により$x,y$を定める．ただし，$a,b$は$(a,b)\neq (0,0)$であるような実定数とする．
このとき平面上の点$P(x,y)$を考える．
(1) $\displaystyle \lim_{t \to \infty}\dfrac{y}{x}$を求めなさい．
(2) いま$t$が実数全体を動くとする．条件$a^2\text{＞}b^2$のもとで，点$P(x,y)$の軌跡が満たす$x$と$y$に関する 方程式を求めなさい．
(3) 定数$a,b$が
$a=\cos \theta,b=\sin \theta \ \ (-\dfrac{\pi}{4}\text{＜}\theta \text{＜}\dfrac{\pi}{4})$
で与えられているとする．このとき，$t\text{＞}0$ならば必ず点$P(x,y)$が$x^2+y^2\text{＞}1$の表す領域に 属するための$\theta$に関する条件を求めなさい．
(4) 定数$a,b$が$b=a^2\text{＜}1$を満たすとする．このとき，$t\text{＞}0$ならば必ず点$P(x,y)$が $y\text{＜}x^2$の表す領域に属するための$a$に関する条件を求めなさい．
慶応大・医（2001年）



解答



問題2
(1) この問いでは後の問いで必要になる知識を用意する．
$p_1,p_2,\cdots,p_n$を実数とする．任意の実数$t$に対して
$(t-p_1)^2+(t-p_2)^2+\cdots +(t-p_n)^2\geqq 0$
が成り立つことを利用して，$p_1,p_2,\cdots ,p_n$が，条件
$p_1+p_2+\cdots +p_n=1$
を満たしたすべての可能な値をとるときの
$p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2$
の最小値とその値をとるときの$p_1,p_2,\cdots,p_n$の値を求めなさい．

以下において「$a$人の競技者集団」というような表現が出てくるが，そのような$a$は必ずしも整数に限らず，一般の 実数の値をとることを許すとする．

(2) 赤い帽子を１つずつかぶった競技者の集団$A$と，白い帽子を１つずつかぶった競技者の集団$B$が帽子取り競技を行う．
競技では各競技者は互いに相手側の競技者の帽子を奪おうとする．自分の帽子を奪われた競技者は直ちに退場させられ， 先に競技者がゼロになった方を負けとし，反対側を勝ちとする．同時に競技者がゼロになった場合は引き分けとする．
この競技中，$A,B$の集団が遭遇した場面での局所的な戦いは次のように進行するとする．
すなわち，$A$の$a(\text{＞}0)$人の競技者の集団と，$B$の$b(\text{＞}0)$人の競技者の集団が遭遇すると， 直ちにこれら$(a+b)$人の間で戦いが始まり，遭遇後$t$秒後の$A,B$の集団の競技者数をそれぞれ$x(t),y(t)$とすると， これらは次の関係式(イ)を満たしていると仮定する．
$\dfrac{d}{dt}x(t)=-y(t),\dfrac{d}{dt}y(t)=-x(t),x(0)=a,y(0)=b$
・・・（イ）


(a) 次の等式で与えられる$x(t),y(t)$は関係式(イ)を満たしていることを示せ． $\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dfrac{e^t+e^{-t}}{2} & \dfrac{e^{-t}-e^t}{2} \\ \dfrac{e^{-t}-e^t}{2} & \dfrac{e^t+e^{-t}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$
・・・（ロ）

以後，２つの集団が遭遇した時は，戦いは(ロ)にしたがって進行するとする．

(b) (ロ)で，$\{ x(t) \}^2-\{ y(t) \}^2$を$a,b$を用いて表しなさい．

(c) (ロ)で，有限時間$t$秒の後に，$x(t)=0$または$y(t)=0$となるための必要十分条件を$a,b$を用いて表しなさい．
またその時，$y(t)=0$となるための必要十分条件を$a,b$を用いて表しなさい．

(d) さて，$A$側の監督が勝つための作戦を立てるため，以下のような問題を考えた．
$A$の監督は自分の競技者集団と遭遇する相手方集団の人数を自分の思い通りにできると仮定する．
$A,B$の最初の全競技者数はそれぞれ$X,Y$であったとする．
(a) 自然数$n$と
$p_1+p_2+\cdots +p_n=1,p_i\text{＞}0 \ (i=1,2,\cdots ,n)$
を満たす$p_i \ (i=1,2,\cdots ,n)$を考える．
まず，$A$の全員を$B$の競技者数$p_1Y$の集団と遭遇させ，次に残存した，$A$の競技者全員を$B$の競技者数 $p_2Y$の集団と遭遇させ，それぞれの戦いにおいて有限時間で$B$を消滅させ，結局，$B$に勝ちたい．そのように勝つための必要十分条件を $X,Y,p_1,p_2,\cdots ,p_n$ で表しなさい．

(b) 問い(a)で求めた条件が満たされているとする．その範囲内で，$p_1,p_2,\cdots ,p_n$ を条件
$p_1+p_2+\cdots +p_n=1,p_i\text{＞}0 \ (i=1,2,\cdots ,n)$
を満たして変化させるとき，$A$の残った競技者の最大値と，その値をとるときの$p_i \ (i=1,2,\cdots ,n)$ の値を求めよ．

(c)　$X=\dfrac{1}{2}Y$とする．各$n$に対して$p_1,p_2,\cdots ,p_n$を問い(b)のように選んだとき，$n$回の遭遇で$A$が勝つための $n$の最小値を求めなさい．　
慶応大・医（1998年）




解答



問題3
関数$g(x)$は，
$g(x)=4\sqrt{x^2-12x+43}-16$
であり，関数$G(x)$は関数$g(x)$の原始関数とする．すなわち，
$\dfrac{dG(x)}{dx}=g(x)$
である．
関数$h(x)$は
$h(x)=\dfrac{1}{6}x(x^2-3)+3$
である．さらに，
$f(x)=G(h(x))$
とおく．このとき，
(1) 次の不等式を示せ：$g(x)\geqq -3(x-3)$
(2) 範囲　$-3\text{＜}x\text{＜}3$において，関数$f(x)$が極大値をとる$x$を求め，また極小値を取る$x$を求めよ．
(3) 範囲　$-3\leqq x \leqq 3$において，関数$f(x)$が最大値をとる$x$を求め，また最小値を取る$x$を求めよ．
京都府立医（2005年）



解答



問題4
数列$\{a_n\},\{b_n\}$を次のように定義する．
$\begin{cases} a_1=5,b_1=3 \\ \begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix} & (n=1,2,3,\dots) \end{cases}$
また，自然数$n$について
$c_n=a_n^2-b_n^2$
とおく．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$c_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$k$を自然数とするとき，自然数$l$について
$a_{k+l}=a_ka_l+b_kb_l, \ \ b_{k+l}=b_ka_l+a_kb_l$
が成立することを示せ．
(3)$n$＞$l$となる自然数$n,l$について
$b_{n+l}-c_lb_{n-l}=2a_nb_l$
が成立することを示せ．
(4)$2$以上の自然数$n$について
$\displaystyle a_{2n}+\sum_{m=1}^{n-1}c_{n-m}a_{2m}=\dfrac{b_{2n+1}}{2b_1}-\dfrac{c_n}{2}$
が成立することを示せ．
東京医科歯科大（2012年）



解答



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