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問題3 関数$g(x)$は， $g(x)=4\sqrt{x^2-12x+43}-16$ であり，関数$G(x)$は関数$g(x)$の原始関数とする．すなわち， $\dfrac{dG(x)}{dx}=g(x)$ である． 関数$h(x)$は $h(x)=\dfrac{1}{6}x(x^2-3)+3$ である．さらに， $f(x)=G(h(x))$ とおく．このとき， (1) 次の不等式を示せ：$g(x)\geqq -3(x-3)$ (2) 範囲 $-3\text{＜}x\text{＜}3$において，関数$f(x)$が極大値をとる$x$を求め，また極小値を取る$x$を求めよ． (3) 範囲 $-3\leqq x \leqq 3$において，関数$f(x)$が最大値をとる$x$を求め，また最小値を取る$x$を求めよ． 解答 (1) $g(x)=4\sqrt{x^2-12x+43}-16=4\sqrt{(x-6)^2+7}-16$ であるから$y=g(x)$は双曲線の$y\text{＞}-16$の部分である． 実際，$x，y$軸方向にそれぞれ$-6,16$だけ平行移動すると $y=4\sqrt{x^2+7}$ $\therefore \dfrac{y^2}{16}-x^2=7, \ \ (y\text{＞}0)$・・・@. ２つの関数ともに$x，y$軸方向にそれぞれ$-6,16$だけ平行移動して考えたほうが考えやすい． $y=-3(x-3)$ のグラフを$x，y$軸方向にそれぞれ$-6,16$だけ平行移動すると $y=-3x+7$・・・A @との交点を調べればよいが，@は２次式で直線は１次式であるから，交点は多くとも２個である． 一方，与えられた双曲線は下に凸であるから，グラフを考慮すれば，@，Aの連立方程式が実数解が無い場合や，重解 を持つときは題意が成り立つし，もし単解を持つとしても，その交点の$y$座標がともに$y\text{}＜0$ならやはり題意を満たす． この問題の場合は，@，Aより$y$を消去すると $x^2+6x+9=0$ と重解であるから，題意が成り立つことがわかる． なお重解が$x=-3$であるから，題意の双曲線において，直線$y=-3(x-3)$は$x=3$における接線である． (2) $g(x)$は下に凸の双曲線で，$g'(6)=0$で$x\geqq 6$のとき単調増加で$x\leqq 6$のとき単調減少である． $f'(x)=g(h(x))h'(x)$ であるから， $f'(x)=0$となる$x$の値は， $g(h(x))=0$および$h'(x)=0$ の値を求めればよい． (a) $g(h(x))=0$について $g(x)=0$を解くと $x^2-12x+43=4^2$ より $x=3,9$ $h(x)=3,9$ を$-3 \leqq x \leqq 3$の範囲で解くと， $x=0,\pm \sqrt{3}$. (b) $h'(x)=0$を解くと$x=\pm 1$ 以下，$x=0,\pm \sqrt{3},\pm 1$における極大，極小の判断をする． 極大，極小の判断は，$f'(x)$の符号の変化を調べてもよいが，ここでは$f"(x)$の値を求める． $f"(x)=g'(h(x))h'(x)^2+g(h(x))h"(x)$ である． $g(h(x))=0$ の$x$すなわち $x=0,\pm \sqrt{3}$ について， $f"(x)=g'(h(x))h'(x)^2$ の符号を調べればよい． いずれの場合も$h(x)=3$で，さらに$g(x)$は$x\leqq 6$で単調減少より $g'(h(x))\text{＜}0$ $h'(x)=0$となる$x$は$x=\pm 1$であるから$x=0,\pm \sqrt{3}$で$f"(x)\text{}＜0$がなりたち， いずれの場合も極大値をとる． 次に$h'(x)=0$の場合，すなわち$x=\pm 1$のとき． $f"(x)=g'(h(x))h'(x)^2+g(h(x))h"(x)=g(h(x))h"(x)$ であり， $h(1)=\dfrac{8}{3},h(-1)=\dfrac{10}{3}$ 
$y=4\sqrt{x^2-12x+43}-16$のグラフは右の図のように $x\text{＜}3$で$y\text{＞}0$. $3\text{＜}x\text{＜}9$で$y\text{＜}0$. $\therefore g(h(1))\text{＞}0,g(h(-1))\text{＜}0$． また， $h"(x)=x$ であるから， $h"(1)\text{＞}0,h"(-1)\text{＜}0$ したがって，$x=\pm 1$いずれの場合も$f"(x)\text{＞}0$であり，極小値をとる． (3) $x=0,\pm \sqrt{3}$のとき$f(x)$の極大値でいずれの場合も$h(x)=3$であるから， グラフの形を考え，最大値をとる$x$の値は $x=0,\pm \sqrt{3}$． つぎに最小値について． 端点の$y$座標および極小値を調べる必要がある．すなわち $f(-3),f(-1),f(1),f(3)$ の中で一番小さい値が最小値である． $\displaystyle G(x)=G(0)+\int_0^xg(t)dt$ であるから，$y=g(x)$のグラフを利用して$G(x)$の値を調べる． $y=g(x)$のグラフが$3\text{＜}x\text{＜}9$で負でそれ以外は正であるから， $y=G(x)$のグラフは$0\leqq x \leqq 3$で単調増加， さらに$3\leqq x \leqq 9$で単調減少である． さらに，(1)で扱った直線$y=-3(x-3)$は双曲線をx=3における接線であり，その直線を参考に，双曲線の面積を 比較することにより $G(0)\text{＜}G(6)$ が分かる． 一方 $h(-3)=0,h(-1)=\dfrac{10}{3},h(1)=\dfrac{8}{3},h(3)=6$ であるから，最小値をとる$x$の値は$x=-3$である． 戻る 目次 全体の目次 |