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問題4 数列$\{a_n\},\{b_n\}$を次のように定義する． $\begin{cases} a_1=5,b_1=3 \\ \begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix} & (n=1,2,3,\dots) \end{cases}$ また，自然数$n$について $c_n=a_n^2-b_n^2$ とおく．このとき以下の各問いに答えよ． (1)$c_n$を$n$を用いて表せ． (2)$k$を自然数とするとき，自然数$l$について $a_{k+l}=a_ka_l+b_kb_l, \ \ b_{k+l}=b_ka_l+a_kb_l$ が成立することを示せ． (3)$n$＞$l$となる自然数$n,l$について $b_{n+l}-c_lb_{n-l}=2a_nb_l$ が成立することを示せ． (4)$2$以上の自然数$n$について $\displaystyle a_{2n}+\sum_{m=1}^{n-1}c_{n-m}a_{2m}=\dfrac{b_{2n+1}}{2b_1}-\dfrac{c_n}{2}$ が成立することを示せ． 解答 実際の問題では，(2)に数学的帰納法で示せの指示があり，問題全体が数学的帰納法で証明すべきであるという印象を与える． 数学的帰納法による解答は他の解答例にゆずり，ここでは問題を双曲線関数の立場から眺める． 解答を見てもらえば分かるが,(2)は加法定理で，(3),(4)は和・差を積に直す及びその逆である． (1) $a_{n+1}+b_{n+1}=8(a_n+b_n)$ 及び，$a_1=5,b_1=3$であるから $a_n+b_n=8^n$ 同様に $a_n-b_n=2^n$ $\therefore c_n=a_n^2-b_n^2=16^n=4^{2n}$・・・（答） (2) 双曲線関数の定義は $\cosh t=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2},\sinh t=\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}$ であるが，ここでは,$\cosh t,\sinh t$を $\cosh t \stackrel{\mathrm{\text{定義}}}{=}\dfrac{2^t+2^{-t}}{2}, \sinh t \stackrel{\mathrm{\text{定義}}}{=}\dfrac{2^t-2^{-t}}{2} \cdots (\sharp)$ として用いる．もちろん本来は $\dfrac{2^t+2^{-t}}{2}=\cosh \left\{(\log 2)t\right\}$ と書くべきであるが$(\sharp)$の表示でも混乱はないであろう． ここで用いる双曲線関数の加法定理をまず述べる．もちろんここで述べる等式は$(\sharp)$の定義でも成り立つ．各自確認して欲しい． $\sinh (t+s)=\sinh t \cosh s +\cosh t \sinh s$ $\sinh (t-s)=\sinh t \cosh s -\cosh t \sinh s$ $\cosh (t+s)=\cosh t \cosh s +\sinh t \sinh s$ $\cosh (t-s)=\cosh t \cosh s -\sinh t \sinh s$ $\cosh(t+s),\cosh(t-s)$の符号だけ注意すれば他は三角関数と同じである． 加法定理から導き出される，和積，積和の公式は $\sinh t \cosh s=\dfrac{\sinh (t+s)+\sinh (t-s)}{2}$ $\cosh t \sinh s=\dfrac{\sinh (t+s)-\sinh (t-s)}{2}$ $\cosh t \cosh s=\dfrac{\cosh (t+s)+\cosh (t-s)}{2}$ $\sinh t \sinh s=\dfrac{\cosh (t+s)-\cosh (t-s)}{2}$ $\sinh t+\sinh s=2\sinh\dfrac{t+s}{2}\cosh \dfrac{t-s}{2}$ $\sinh t-\sinh s=2\cosh\dfrac{t+s}{2}\sinh \dfrac{t-s}{2}$ $\cosh t+\cosh s=2\cosh\dfrac{t+s}{2}\cosh \dfrac{t-s}{2}$ $\cosh t-\cosh s=2\sinh\dfrac{t+s}{2}\sinh \dfrac{t-s}{2}$ それでは解答に戻ろう． $a_n=\dfrac{8^n+2^n}{2}=4^n\cosh n$, $b_n=\dfrac{8^n-2^n}{2}=4^n\sinh n$ より $a_{k+l}=4^{k+l}\cosh (k+l)$ 一方 $a_ka_l+b_kb_l=4^k\cdot 4^l\cosh k\cosh l+4^k\cdot 4^l\sinh k\sinh l$ $=4^{k+l}(\cosh k\cosh l+\sinh k\sinh l)$ したがって，双曲線関数の加法定理より成り立つ． ２番目の式も同様である． (3) $b_{n+l}-c_lb_{n-l}=4^{n+l}\sinh (n+l)-4^{2l}4^{n-l}\sinh (n-l)=4^{n+l}(\sinh (n+l)-\sinh (n-l))$ 一方， $2a_nb_l=2\cdot 4^n\cosh n \cdot 4^l\sinh l=2\cdot 4^{n+l}\cosh n\sinh l$ したがって，双曲線関数の差を積に直す公式より成り立つ． (4) 両辺に$2b_1$をかけると， $\displaystyle 2b_1\left(a_{2n}+\sum_{m=1}^{n-1}c_{n-m}a_{2m}\right)$ $\displaystyle =2\cdot 4\sinh 1 \left(4^{2n}\cosh 2n+\sum_{m=1}^{n-1}4^{2(n-m)}4^{2m}\cosh 2m\right)$ $=\displaystyle 2\cdot 4^{2n+1}\sinh 1\sum_{m=1}^{n}\cosh 2m$ $=\displaystyle 4^{2n+1}\sum_{m=1}^n\left(\sinh (2m+1)-\sinh (2m-1)\right)$ $=4^{2n+1}(\sinh (2n+1)-sinh 1)$ 一方 $b_{2n+1}-c_nb_1=4^{2n+1}\sinh (2n+1)-4^{2n}4sinh 1=4^{2n+1}(\sinh (2n+1)-\sinh 1)$ したがって成り立つ． ここでの計算は双曲線関数の加法定理の性質を利用したが，一つ一つの公式は簡単に導き出せる．このことは， $a_n=\dfrac{8^n+2^n}{2},b_n=\dfrac{8^n-2^n}{2}$ より簡単に問題の等式は示すことが出来ることを意味している． 戻る 目次 全体の目次 |