第8節 立体図形の入試問題(解答)
スケールの大きさに尻込みしそうであるが,解いて見ると比較的簡単である.といっても時間が十分あればの話で, 短時間で解くのは困難かも知れない.
この問題は,内容を理解し読み進めていくことが必要で,数学のトレーニングとしてとてもよい問題です.

問題2の解答
(1)
コーシー・シュワルツの不等式の証明で用いるよく知られた方法です.解説で一般的な場合や積分の場合を紹介します.

$f(t)=(t-p_1)^2+(t-p_2)^2+\cdots+(t-p_n)^2$
$=nt^2-2(p_1+p_2+\cdots +p_n)t+(p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2)$
$=nt^2-2t+(p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2)$
とおく.
任意の$t$で$f(t)\geqq 0$であるから,$t$についての2次方程式$f(t)=0$の判別式を$D$とおくと,
$\dfrac{D}{4}=1-n(p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2)\leqq 0$
$\therefore p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2\geqq \dfrac{1}{n}$
等号が成り立つのは,$f(t)=0$となる$t$が存在するときで,その$t$の値を$t_0$とすれば,
$t_0=p_1=p_2=\cdots =p_n$
したがって,等号が成り立つのは
$p_1=p_2=\cdots =p_n=\dfrac{1}{n}$
のときである.

(2)
(a) $x(t)=a\cosh t-b\sinh t,y(t)=-a\sinh t+b\cosh t$
であるから,$x(t),y(t)$が(イ)を満たすことは容易に分かる.

(b) $x(t)^2-y(y)^2=a^2(\cosh ^2t-\sinh ^2t)-b^2(\cosh ^2t-\sinh ^2t)=a^2-b^2$

(c) $x(t)=0$より$\tanh t=\dfrac{a}{b}$,
$y(t)=0$より$\tanh t=\dfrac{b}{a}$
$a,b\text{>}0$であり,また$t\geqq 0$のとき$0\leqq \tanh t \text{<}1$であるから,
$x(t)=0$または$y(t)=0$となる$t$が存在する必要十分条件は
$a\neq b$.
$y(t)=0$となる$t$が存在する必要十分条件は
$b\text{<}a$

(2)の内容を整理しておくと(3)を解くのに役に立つ.
この戦いでは,$A,B$の競技者数が同数の場合は永遠に勝負はつかず,人数が異なる場合は多い方が勝つという当然の結果である. さらに$A$の競技者が$a$人で,$B$の競技者が$b$人,かつ$a\text{>}b$のとき,$A$が勝つが$A$で残った人数は (b)より
$x(t)=\sqrt{a^2-b^2}$
である.

(3)
(a) $A$の競技者$X$人と$B$の競技者$p_1Y$人が遭遇し$A$が勝利すれば$A$の残った競技者は$\sqrt{X^2-p_1^2Y^2}$.
さらに$B$の競技者$p_2Y$人と遭遇し勝利すれば残った競技者は$\sqrt{x^2-p_1^2Y^2-p_2^2Y^2}$.
これを続けていけば,最終的に$A$が勝利するなら,そのとき残った$A$の競技者は
$\sqrt{x^2-p_1^2Y^2-p_2^2Y^2-\cdots -p_n^2Y^2}$
である.
逆に,
$x^2-p_1^2Y^2-p_2^2Y^2-\cdots -p_n^2Y^2\text{>}0$・・・@
なら,任意の$k \ \ (1\leqq k \leqq n)$で $x^2-p_1^2Y^2-p_2^2Y^2-\cdots -p_k^2Y^2\text{>}0$
が成り立ち,すべての遭遇で勝利することが分かる.
したがって,$A$が勝つための必要十分条件は@である.

(b) $p_1+p_2+\cdots+p_n=1$
のとき
$p_1^2+p_2^2+\cdots+p_n^2$

$p_1=p_2=\cdots=p_n=\dfrac{1}{n}$
で最小値$\dfrac{1}{n}$をとる.
したがって,残った競技者の最大値は$\sqrt{x^2-\dfrac{Y^2}{n}}$
(c) $X^2-\dfrac{Y^2}{n}\text{>}0,X=\dfrac{Y}{2}$
を満たす$n$の最小値を求めればよい.
$\dfrac{Y^2}{4}-\dfrac{Y^2}{n}\text{>}0$
より,$n$の最小値は$n=5$.


<解説>
(1)の不等式は,次の不等式の特別な場合であり,次の不等式をコーシー・シュワルツの不等式という.
$n=2,3$のときは
$(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})^2\leqq |\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2$
であり,おなじみのものである.

定理1
$2n$個の実数$a_1,a_2,\cdots ,a_n,b_1,b_2,\cdots ,b_n$について,次の不等式が成り立つ.
$(a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n)^2\leqq (a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2)$
ただし,等号が成り立つのは,
$a_1:b_1=a_2:b_2=\cdots =a_n:b_n$
のとき.

<証明>
$a_1=a_2=\cdots =a_n=0$のときは明らかに成り立つので,それ以外を証明すればよい
tについての2次式
$f(t)=(a_1t-b_1)^2+(a_2t-b_2)^2+\cdots +(a_nt-b_n)^2$
$=(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)t^2-2(a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n)t+(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2)$
を考える.
任意の$t$に対して,$f(t)\geqq 0$が成り立つので$D\leqq 0$
$\therefore (a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n)^2\leqq (a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2)$
等号が成り立つのは$f(t_0)=0$となる実数$t_0$が存在するときでありそのとき,
$a_1t_0-b_1=a_2t_0-b_2=\cdots =a_nt_0-b_n=0$
であり,
$a_1:b_1=a_2:b_2=\cdots =a_n:b_n$
が成り立つ.


積分の場合も同様に証明される.

定理2
次の不等式が成り立つ.
$\displaystyle (\int_a^bf(x)g(x)dx)^2\leqq (\int_a^bf(x)^2dx)(\int_a^bg(x)^2dx)$
等号が成り立つのは,恒等的に$f(x)=0$または$g(x)=0$が成り立つかある定数$k$を用いて$f(x)=kg(x)$と表せるとき.

証明
$f(x)\equiv 0$または$g(x)\equiv 0$の時は明らかに成り立つので,それ以外を証明すればよい.
$(tf(x)-g(x))^2=f(x)^2t^2-2f(x)g(x)t+g(x)\geqq 0$
であるから,2次関数$F(t)$を
$\displaystyle F(t)=\int_a^b(tf(x)-g(x))^2dx=\int_a^bf(x)^2dxt^2-2\int_a^bf(x)g(x)dx+\int_a^bg(x)^2dx$
によって定義すれば,任意の$t$に対して$F(t)\geqq 0$が成り立つので$D\leqq 0$
$\therefore \displaystyle (\int_a^bf(x)g(x)dx)^2\leqq (\int_a^bf(x)^2dx)(\int_a^bg(x)^2dx)$
等号が成り立つのは,
$tf(x)-g(x)\equiv 0$
が成り立つ$t$が存在するときであるので,ある定数$k$を用いて$f(x)=kg(x)$と表せるときである.


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