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スケールの大きさに尻込みしそうであるが，解いて見ると比較的簡単である．といっても時間が十分あればの話で，
短時間で解くのは困難かも知れない． この問題は，内容を理解し読み進めていくことが必要で，数学のトレーニングとしてとてもよい問題です． 問題2の解答 (1) コーシー・シュワルツの不等式の証明で用いるよく知られた方法です．解説で一般的な場合や積分の場合を紹介します． $f(t)=(t-p_1)^2+(t-p_2)^2+\cdots+(t-p_n)^2$ $=nt^2-2(p_1+p_2+\cdots +p_n)t+(p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2)$ $=nt^2-2t+(p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2)$ とおく． 任意の$t$で$f(t)\geqq 0$であるから，$t$についての２次方程式$f(t)=0$の判別式を$D$とおくと， $\dfrac{D}{4}=1-n(p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2)\leqq 0$ $\therefore p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2\geqq \dfrac{1}{n}$ 等号が成り立つのは，$f(t)=0$となる$t$が存在するときで，その$t$の値を$t_0$とすれば， $t_0=p_1=p_2=\cdots =p_n$ したがって，等号が成り立つのは $p_1=p_2=\cdots =p_n=\dfrac{1}{n}$ のときである． (2) (a) $x(t)=a\cosh t-b\sinh t,y(t)=-a\sinh t+b\cosh t$ であるから，$x(t),y(t)$が（イ）を満たすことは容易に分かる． (b) $x(t)^2-y(y)^2=a^2(\cosh ^2t-\sinh ^2t)-b^2(\cosh ^2t-\sinh ^2t)=a^2-b^2$ (c) $x(t)=0$より$\tanh t=\dfrac{a}{b}$, $y(t)=0$より$\tanh t=\dfrac{b}{a}$ $a,b\text{＞}0$であり，また$t\geqq 0$のとき$0\leqq \tanh t \text{＜}1$であるから， $x(t)=0$または$y(t)=0$となる$t$が存在する必要十分条件は $a\neq b$. $y(t)=0$となる$t$が存在する必要十分条件は $b\text{＜}a$ (2)の内容を整理しておくと(3)を解くのに役に立つ． この戦いでは，$A,B$の競技者数が同数の場合は永遠に勝負はつかず，人数が異なる場合は多い方が勝つという当然の結果である． さらに$A$の競技者が$a$人で，$B$の競技者が$b$人，かつ$a\text{＞}b$のとき，$A$が勝つが$A$で残った人数は (b)より $x(t)=\sqrt{a^2-b^2}$ である． (3) (a) $A$の競技者$X$人と$B$の競技者$p_1Y$人が遭遇し$A$が勝利すれば$A$の残った競技者は$\sqrt{X^2-p_1^2Y^2}$. さらに$B$の競技者$p_2Y$人と遭遇し勝利すれば残った競技者は$\sqrt{x^2-p_1^2Y^2-p_2^2Y^2}$. これを続けていけば，最終的に$A$が勝利するなら，そのとき残った$A$の競技者は $\sqrt{x^2-p_1^2Y^2-p_2^2Y^2-\cdots -p_n^2Y^2}$ である． 逆に， $x^2-p_1^2Y^2-p_2^2Y^2-\cdots -p_n^2Y^2\text{＞}0$・・・@ なら，任意の$k \ \ (1\leqq k \leqq n)$で $x^2-p_1^2Y^2-p_2^2Y^2-\cdots -p_k^2Y^2\text{＞}0$ が成り立ち，すべての遭遇で勝利することが分かる． したがって，$A$が勝つための必要十分条件は@である． (b) $p_1+p_2+\cdots+p_n=1$ のとき $p_1^2+p_2^2+\cdots+p_n^2$ は $p_1=p_2=\cdots=p_n=\dfrac{1}{n}$ で最小値$\dfrac{1}{n}$をとる． したがって，残った競技者の最大値は$\sqrt{x^2-\dfrac{Y^2}{n}}$ (c) $X^2-\dfrac{Y^2}{n}\text{＞}0,X=\dfrac{Y}{2}$ を満たす$n$の最小値を求めればよい． $\dfrac{Y^2}{4}-\dfrac{Y^2}{n}\text{＞}0$ より，$n$の最小値は$n=5$. ＜解説＞ (1)の不等式は，次の不等式の特別な場合であり，次の不等式をコーシー・シュワルツの不等式という． $n=2,3$のときは $(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})^2\leqq |\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2$ であり，おなじみのものである． 定理１ $2n$個の実数$a_1,a_2,\cdots ,a_n,b_1,b_2,\cdots ,b_n$について，次の不等式が成り立つ． $(a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n)^2\leqq (a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2)$ ただし，等号が成り立つのは， $a_1:b_1=a_2:b_2=\cdots =a_n:b_n$ のとき． ＜証明＞ $a_1=a_2=\cdots =a_n=0$のときは明らかに成り立つので，それ以外を証明すればよい tについての２次式 $f(t)=(a_1t-b_1)^2+(a_2t-b_2)^2+\cdots +(a_nt-b_n)^2$ $=(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)t^2-2(a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n)t+(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2)$ を考える． 任意の$t$に対して，$f(t)\geqq 0$が成り立つので$D\leqq 0$ $\therefore (a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n)^2\leqq (a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2)$ 等号が成り立つのは$f(t_0)=0$となる実数$t_0$が存在するときでありそのとき， $a_1t_0-b_1=a_2t_0-b_2=\cdots =a_nt_0-b_n=0$ であり， $a_1:b_1=a_2:b_2=\cdots =a_n:b_n$ が成り立つ． 積分の場合も同様に証明される． 定理2 次の不等式が成り立つ． $\displaystyle (\int_a^bf(x)g(x)dx)^2\leqq (\int_a^bf(x)^2dx)(\int_a^bg(x)^2dx)$ 等号が成り立つのは，恒等的に$f(x)=0$または$g(x)=0$が成り立つかある定数$k$を用いて$f(x)=kg(x)$と表せるとき． 証明 $f(x)\equiv 0$または$g(x)\equiv 0$の時は明らかに成り立つので，それ以外を証明すればよい． $(tf(x)-g(x))^2=f(x)^2t^2-2f(x)g(x)t+g(x)\geqq 0$ であるから，２次関数$F(t)$を $\displaystyle F(t)=\int_a^b(tf(x)-g(x))^2dx=\int_a^bf(x)^2dxt^2-2\int_a^bf(x)g(x)dx+\int_a^bg(x)^2dx$ によって定義すれば，任意の$t$に対して$F(t)\geqq 0$が成り立つので$D\leqq 0$ $\therefore \displaystyle (\int_a^bf(x)g(x)dx)^2\leqq (\int_a^bf(x)^2dx)(\int_a^bg(x)^2dx)$ 等号が成り立つのは， $tf(x)-g(x)\equiv 0$ が成り立つ$t$が存在するときであるので，ある定数$k$を用いて$f(x)=kg(x)$と表せるときである． 戻る 目次 全体の目次 |