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この問題は，双曲線関数$\cosh t,\sinh t$を用いると比較的簡単に解決します．双曲線関数を用いない解答と見比べてみましょう．
記号の導入が，いかに内容の簡略化につながるかが分かると思います． 問題１の解答 (1) $B^{-1}AB= \begin{pmatrix} \dfrac{e^t+e^{-t}}{2} & \dfrac{-e^t+e^{-t}}{2} \\ \dfrac{-e^t+e^{-t}}{2} & \dfrac{e^t+e^{-t}}{2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cosh t & -\sinh t \\ -\sinh t & \cosh t \end{pmatrix}$ したがって， $x=a\cosh t -b\sinh t,y=b\cosh t -a\sinh t$ $\dfrac{y}{x}=\dfrac{b\cosh t -a\sinh t}{a\cosh t -b\sinh t} =\dfrac{b-a\tanh t}{a-b\tanh t}$ ここで， $\tanh t \to 1 \ \ (t \to \infty)$ であるから $a\neq b$のとき $\dfrac{y}{x} \to -1 \ \ (t \to \infty)$ $a=b$のとき $\dfrac{y}{x} \to 1 \ \ (t \to \infty)$ なお，$a=b$のとき$y=x$. (2) $x=a\cosh t -b\sinh t,y=b\cosh t -a\sinh t$・・・@ より，$\cosh t ,\sinh t$をそれぞれ$x,y$で表し， $\cosh ^2t -\sinh ^2t=1$ に代入することにより $x^2-y^2=a^2-b^2$・・・・A を得る． @のグラフをきちんと理解すれば(3),(4)は容易である． @のグラフを調べる． まず，Aは@の必要条件であるが同値ではない． 実際，@は$t$による連続関数なので，２つに分かれることはない． 以下$a^2 \text{＞}b^2$の場合調べる．なお，$a^2 \text{＜}b^2$の場合は$x,y$を入れ替えればよい． $x=a\cosh t -b\sinh t=a\cosh t(1-\dfrac{b\tanh t}{a})$ ここで， $-1\text{＜}\tanh t \text{＜}1$ であるから， $a\text{＞}0$のとき$x\text{＞}0$ $a\text{＜}0$のとき$x\text{＜}0$ さらに， $y'(t)=-a\cosh t +b\sinh t=-x$ したがって， $a\text{＞}0$のとき$y'(t)\text{＜}0$ $a\text{＜}0$のとき$y'(t)\text{＞}0$ また $y=a\cosh t(\dfrac{b}{a}-\tanh t)$ であるから $a\text{＞}0$のとき $y \to -\infty (t \to \infty)$ $y \to \infty (t \to -\infty)$ $a\text{＜}0$のとき $y \to \infty (t \to \infty)$ $y \to -\infty (t \to -\infty)$ これで，媒介変数表示 $x=a\cosh t -b\sinh t,y=b\cosh t -a\sinh t$・・・@ のグラフが完全に分かった．ただし$a^2\text{＞}b^2$． すなわち， $a\text{＞}0$のとき グラフは双曲線$x^2-y^2=a^2-b^2$の$x\text{＞}0$の方で，$t=0$のとき$(a,b)$であり， $t$が増加すれば双曲線上を下に移動する． $a\text{＜}0$のとき グラフは双曲線$x^2-y^2=a^2-b^2$の$x\text{＜}0$の方で，$t=0$のとき$(a,b)$であり，$t$が増加すれば双曲線上を上に移動する． 
以上のことが分かれば(3),(4)は簡単である．(3) $a=\cos \theta,b=\sin \theta \ \ (-\dfrac{\pi}{4}\text{＜}\theta \text{＜}\dfrac{\pi}{4})$ のとき，$(a,b)$は$x\text{＞}0$の範囲にある.双曲線と単位円との交点を右図のように$A,B$とすると， $t$が増加すると双曲線上を下に動くから，点$(a,b)$は点$B$の場合である． したがって，求める$\theta$の範囲は $-\dfrac{\pi}{4}\text{＜}\theta \leqq 0$ 
(4)$a,b$が$b=a^2\text{＜}1$のとき．点$(a,b)$は放物線$y=x^2$上にあり，かつ双曲線$x^2-y^2=a^2-b^2$上にあるので， 点$(a,b)$は交点の１つである． もう１つの交点は$x$を消去すると， $y-y^2=b-b^2$ $y=b,1-b$ より，$(\pm \sqrt{1-b},1-b)$である． 放物線と双曲線が接する場合は， $b=1-b$ より $b=\dfrac{1}{2},a=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 双曲線$x^2-y^2=a^2-b^2$上を$x\text{＞}0$の方では，$t=0$のとき$(a,b)$であり，$t$が増加すれば双曲線上を下に移動し， $x\text{＜}0$の方では，$t=0$のとき$(a,b)$であり，$t$が増加すれば双曲線上を上に移動する． したがって，右図でいえば，点$B,D$が条件を満たす場合である． 放物線と双曲線が接する場合を考慮するれば，求める$a$の範囲は $0\text{＜}a\leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}},-1\leqq a \text{＜}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ である． ＜解説＞ $y=\tanh x=\dfrac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}}$ について， $y'=\dfrac{1}{\cosh ^2x}\text{＞}0$ より単調増加で，さらに， $x \to \infty$のとき$y \to 1$ $x \to -\infty$のとき$y \to -1$ が成り立つ． 戻る 目次 全体の目次 |