|
問題4 底面の半径が$a$で高さが$b$の直円柱$A$を考える．この直円柱$A$を座標空間内の２つの平面$z=0$と$z=b$ との間に，その中心軸が$z$軸と重なるようにおく．また，$x$軸と点$(0,a,b)$を含む平面を$P$とする．平面$P$で この直円柱$A$を切ってできる２つの立体のうちで，点$(0,\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{4})$を含む立体を$B$とする． この立体$B$の体積，側面の面積,底面の面積をそれぞれ$V,S_1,S_2$とする． (1) $V$および$S_1$の値を求めよ． (2) $S_1+S_2=3\pi$の条件のもとで立体$B$の体積を最大にする$a$と$b$の値を求めよ． 
解答(1) $V=\dfrac{2ab}{3}$ である．（説明は略） $x$軸を含む$(0,a,b)$を通る平面$P$の方程式は $z=\dfrac{b}{a}y$ である． 円柱面$A$を$C(a,0,0)$を通り$z$軸に平行な直線で切って広げた長方形で考える． この円柱の底面の円上の点$Q$は$\angle POC=\theta$とおくと $Q(a\cos \theta,a\sin \theta,0)$ $Q$を通り$z$軸に平行な直線と切り口の平面$P$と交線を$R$とおく． $z=\dfrac{b}{a}y$ に $y=a\sin \theta$ を代入して $z=b\sin \theta$ 切り開いた長方形の横軸を$x$軸，縦軸を$y$軸とすると切り口の曲線は $x=(\text{弧}CQ)=a\theta$ $y=QR=b\sin \theta$ ただし$0\leqq \theta \text{＜}2\pi.$ $x,y$の関係で表せば $y=b\sin \dfrac{x}{a} \ \ (0\leqq x \text{＜}2\pi)$ したがって， $\displaystyle S_1=b\int_0^{2a\pi}\sin \dfrac{x}{a}dx=2ab$ (2) $S_2=\dfrac{\pi a^2}{2}，V=\dfrac{2a^2b}{3}$ より， $2ab+\dfrac{\pi a^2}{2}=3\pi$・・・@ のもとで$a^2b$の最大値を求める問題を解決すればよい． 微分を用いてもよいが，$a\text{＞}0,b\text{＞}0$であるからここでは相加平均，相乗平均の関係を用いて解決する． 平方した$a^4b^2$の最大値と考え，@を $ab+ab+\dfrac{\pi a^2}{2}=3\pi$ とみれば， $\pi ^3=(\dfrac{ab+ab+\dfrac{\pi a^2}{2}}{3})^3\geqq ab\cdot ab\cdot \dfrac{\pi a^2}{2}=\dfrac{\pi a^4b^2}{2}$ したがって， $ab=\dfrac{\pi a^2}{2}=\pi$ すなわち， $a=\sqrt{2},b=\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}$ のとき$V$は最大となり，最大値は $\dfrac{2\sqrt{3}\pi}{3}$ である． 戻る 目次 全体の目次 |