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問題1 ２点$P(x,y,z),Q(x,y,0)$があり，$x,y,z$は時間$t$の関数で， $x=e^{2t}\cos t,y=2^{2t} \sin t,z=t+1$ である． (1) 点Qが$t=0$より$t=u$まで移動した道のり（$Q$が描く曲線の弧の長さ） を$S(u)$とするとき，$S(u)$を求めよ．（ただし，$u$＞$0$とする） (2) $t=0$より$t=a$までの間に線分$PQ$が描く(通過する)図形の面積を求めよ．(ただし，$a$＞$0$とする.) 解答 (1) $x'(t)^2+y'(t)^2=(2e^{2t}\cos t-e^{2t}\sin t)^2+(2e^{2t}\sin t+e^{2t}\cos t)^2=5e^{4t}$ より $\displaystyle S(u)=\int_0^u\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt$ $\displaystyle =\int_0^u\sqrt{5}e^{2t}dt=\dfrac{\sqrt{5}(e^{2u}-1)}{2}$ 
(2)右図は底面が曲線 $x=e^{2t}\cos t,y=e^{2t}\sin t \ \ (0\leqq t)$ で母線が$z$軸に平行である柱面である． 問題の曲線はこの曲面上のあり，この曲面を延ばして平らにした平面上で考えこの平面を新しく$xy$平面とする． この曲線は $x=$(弧$ＯＱ$の長さ)$=S(t)=\dfrac{\sqrt{5}(e^{2t}-1)}{2}$ $y=t+1$ したがって，この曲線と$x$軸,$y$軸,直線$x=a$で囲まれた図形の面積が求めるものである． 求める面積は $\displaystyle \int_0^{S(a)}ydx=\int_0^a(t+1)\cdot \sqrt{5}e^{2t}dt$ $=\dfrac{\sqrt{5}\{ (2a+1)e^{2a}-1 \}}{4}$ 
＜解説＞$xy$平面上の曲線 $x=\dfrac{\sqrt{5}(e^{2t}-1)}{2}$ $y=t+1$ の$xy$の関係式を求めて解くなら，式から見て分かるように$x$を$y$で表すべきである． すなわち $x=\dfrac{\sqrt{5}(e^{2(y-1)}-1)}{2} \ \ (1\leqq y \leqq a+1)$ この式を用いて，面積を求めると $\displaystyle (a+1)S(a)-\int_1^{a+1}\dfrac{\sqrt{5}(e^{2(y-1)}-1)}{2}dy$ $=\dfrac{\sqrt{5}\{ (2a+1)e^{2a}-1 \}}{4}$ 戻る 目次 全体の目次 |