いろいろな立体の問題

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第８節　立体図形の入試問題（解答）

問題1
２点

$P(x,y,z),Q(x,y,0)$ があり，

$x,y,z$ は時間

$t$ の関数で，

$x=e^{2t}\cos t,y=2^{2t} \sin t,z=t+1$
である．
(1) 点Qが

$t=0$ より

$t=u$ まで移動した道のり（

$Q$ が描く曲線の弧の長さ）を

$S(u)$ とするとき，

$S(u)$ を求めよ．（ただし，

$u$ ＞

$0$ とする）
(2)

$t=0$ より

$t=a$ までの間に線分

$PQ$ が描く(通過する)図形の面積を求めよ．(ただし，

$a$ ＞

$0$ とする.)

解答
(1)

$x'(t)^2+y'(t)^2=(2e^{2t}\cos t-e^{2t}\sin t)^2+(2e^{2t}\sin t+e^{2t}\cos t)^2=5e^{4t}$
より

$\displaystyle S(u)=\int_0^u\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt$

$\displaystyle =\int_0^u\sqrt{5}e^{2t}dt=\dfrac{\sqrt{5}(e^{2u}-1)}{2}$

(2)
右図は底面が曲線

$x=e^{2t}\cos t,y=e^{2t}\sin t \ \ (0\leqq t)$
で母線が

$z$ 軸に平行である柱面である．
問題の曲線はこの曲面上のあり，この曲面を延ばして平らにした平面上で考えこの平面を新しく

$xy$ 平面とする．
この曲線は

$x=$ (弧

$ＯＱ$ の長さ)

$=S(t)=\dfrac{\sqrt{5}(e^{2t}-1)}{2}$

$y=t+1$
したがって，この曲線と

$x$ 軸,

$y$ 軸,直線

$x=a$ で囲まれた図形の面積が求めるものである．
求める面積は

$\displaystyle \int_0^{S(a)}ydx=\int_0^a(t+1)\cdot \sqrt{5}e^{2t}dt$

$=\dfrac{\sqrt{5}\{ (2a+1)e^{2a}-1 \}}{4}$

＜解説＞

$xy$ 平面上の曲線

$x=\dfrac{\sqrt{5}(e^{2t}-1)}{2}$

$y=t+1$
の

$xy$ の関係式を求めて解くなら，式から見て分かるように

$x$ を

$y$ で表すべきである．
すなわち

$x=\dfrac{\sqrt{5}(e^{2(y-1)}-1)}{2} \ \ (1\leqq y \leqq a+1)$
この式を用いて，面積を求めると

$\displaystyle (a+1)S(a)-\int_1^{a+1}\dfrac{\sqrt{5}(e^{2(y-1)}-1)}{2}dy$

$=\dfrac{\sqrt{5}\{ (2a+1)e^{2a}-1 \}}{4}$

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