|
問題2 $xyz$空間において，$x$軸と平行な柱面 $A=\{ (x,y,z)|y^2+z^2=1,x,y,z$は実数$\}$ から，$y$軸と平行な柱面 $B=\{ (x,y,z)|x^2-\sqrt{3}xz+z^2=\dfrac{1}{4},x,y,z$は実数$\}$ により囲まれる部分を切り抜いた残りの図形を$C$とする．図形$C$の展開図を描け． ただし，点$(0,1,0)$を通り$x$軸と平行な直線に沿って$C$を切り開くものとする． 
解答点$(0,1,0)$を通り$x$軸と平行な直線に沿って円柱$A$を切り開くとき， 円柱上の点Pに対して，$P$を通る$x$軸に平行な直線と$yz$平面上の原点を中心とする単位円との交点を $Q(0,\cos \theta,\sin \theta)$ とすると， $\theta x$座標平面において $\theta =$(弧$AQ$の長さ)$=\theta,$ $x=PQ$ である． したがって， $Q(0,\cos \theta,\sin \theta)$ を通る，$x$軸に平行な直線 $(x,\cos \theta,\sin \theta)$ と曲面 $x^2-\sqrt{3}xz+z^2=\dfrac{1}{4}$・・・@ との交点を求めればよい． 
@に$z=\sin \theta$を代入すると
$4x^2-4\sqrt{3}\sin \theta x$$+4\sin ^2 \theta -1=0$ 解の公式より $x=\dfrac{\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta}{2},$ $\dfrac{\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta}{2}$ $\therefore x=\sin (\theta +\frac{\pi}{6}),\sin (\theta -\frac{\pi}{6})$ したがって，楕円柱により切り取られる部分は，この２つの正弦曲線で挟まれて部分であるので， 求める図形は，この２つの正弦曲線の上下の部分である． 
問題にはないが，楕円柱により切り取られる部分の面積は周期性に注目し$\displaystyle 2\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}(\sin(\theta -\frac{\pi}{6})-\sin(\theta +\frac{\pi}{6}))d\theta$ $=4$ である． 問題の円柱と楕円柱は右下の図のようになる． 
戻る目次 全体の目次 |