第8節 立体図形の入試問題(解答)
問題5
$xyz$座標空間において,$\triangle ABC$は1辺を$a$とする正三角形であり,$xy$平面上にある.半径が$b$の球の 中心が$\triangle ABC$の辺上を動き,1周する.このとき球が通過する部分のつくる図形を$K$とする.$a\geqq 2\sqrt{3}b$ とするとき,
(1) 図形$K$の体積を求めよ.
(2) 図形$K$の表面積を求めよ.

(1)は1985年に東京大(第6問)で出題されてから現在もよく出題される比較的有名な問題です.

解答
(1)
$K$を平面$z=t \ \ (-b\leqq t \leqq b)$で切った図形は,半径$\sqrt{b^2-t^2}$の円が$\triangle ABC$の周上を動くときの通過する図形 である.
まず,半径の$r$の円が$\triangle ABC$の周上を一周するときの通過する図形の面積を$S(r)$とする.
右図で,$D$から$AC$におろした垂線の足を$H$とする.
$AB=a,DH=r,\angle DAH=\dfrac{\pi}{6}$
より
$AH=\sqrt{3}r$
$\therefore DF=a-2\sqrt{3}r$
ここで,$r\leqq b$かつ,問題の仮定
$a\geqq 2\sqrt{3}b$
より,$DF\text{>}0$であることに注意する.
$S(r)$を計算すると,
$S(r)=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\{ a^2-(a-2\sqrt{3}r)^2\}+3ar+\pi r^2$
$=6ar+(\pi -3\sqrt{3})r^2$
後は積分を計算すればよい.求める体積は
$\displaystyle 2\int_0^bS(\sqrt{b^2-t^2})dt=\dfrac{4\pi b^3}{3}+3\pi ab^2-4\sqrt{3}b^3$

(2)
図形$K$の形が分かれば難しくはない.右のような図になる.
すなわち,底面が半径$b$の円で高さが$a$の直円柱から底面の直径を含み底面と$\frac{\pi}{3}$をなす平面で上下2箇所 切り取った残りの部分の側面積を求める必要がある(右下図).
底面の円は
$x=b\cos \theta,y=b\sin \theta$
切る平面の方程式は
$z=\sqrt{3}y$
とおけるから,円柱を切り開いた平面で考えると $x=b\theta,y=\sqrt{3}b\sin \theta, \ \ (0\leqq \theta \leqq \pi)$
$\therefore y=\sqrt{3}b\sin \dfrac{x}{b} \ \ (0\leqq x\leqq b\pi)$
切り取った部分の面積は
$\displaystyle \int_0^{\pi b}\sqrt{3}b\sin \dfrac{x}{b}dx=2\sqrt{3}b^2$
円柱から2箇所切り取った側面が3つあり,さらに1つの球面があるから求める表面積は
$3(2\pi ba-4\sqrt{3}b^2)+4\pi b^2$


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