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問題5 $xyz$座標空間において，$\triangle ABC$は１辺を$a$とする正三角形であり，$xy$平面上にある．半径が$b$の球の 中心が$\triangle ABC$の辺上を動き，１周する．このとき球が通過する部分のつくる図形を$K$とする．$a\geqq 2\sqrt{3}b$ とするとき， (1) 図形$K$の体積を求めよ． (2) 図形$K$の表面積を求めよ． (1)は1985年に東京大（第６問）で出題されてから現在もよく出題される比較的有名な問題です． 
解答(1) $K$を平面$z=t \ \ (-b\leqq t \leqq b)$で切った図形は，半径$\sqrt{b^2-t^2}$の円が$\triangle ABC$の周上を動くときの通過する図形 である． まず，半径の$r$の円が$\triangle ABC$の周上を一周するときの通過する図形の面積を$S(r)$とする． 右図で,$D$から$AC$におろした垂線の足を$H$とする． $AB=a,DH=r,\angle DAH=\dfrac{\pi}{6}$ より $AH=\sqrt{3}r$ $\therefore DF=a-2\sqrt{3}r$ ここで，$r\leqq b$かつ，問題の仮定 $a\geqq 2\sqrt{3}b$ より，$DF\text{＞}0$であることに注意する． $S(r)$を計算すると， $S(r)=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\{ a^2-(a-2\sqrt{3}r)^2\}+3ar+\pi r^2$ $=6ar+(\pi -3\sqrt{3})r^2$ 後は積分を計算すればよい．求める体積は $\displaystyle 2\int_0^bS(\sqrt{b^2-t^2})dt=\dfrac{4\pi b^3}{3}+3\pi ab^2-4\sqrt{3}b^3$ 
(2) 図形$K$の形が分かれば難しくはない．右のような図になる． すなわち，底面が半径$b$の円で高さが$a$の直円柱から底面の直径を含み底面と$\frac{\pi}{3}$をなす平面で上下２箇所 切り取った残りの部分の側面積を求める必要がある（右下図）． 底面の円は $x=b\cos \theta,y=b\sin \theta$ 切る平面の方程式は $z=\sqrt{3}y$ とおけるから，円柱を切り開いた平面で考えると $x=b\theta,y=\sqrt{3}b\sin \theta, \ \ (0\leqq \theta \leqq \pi)$ $\therefore y=\sqrt{3}b\sin \dfrac{x}{b} \ \ (0\leqq x\leqq b\pi)$ 
切り取った部分の面積は$\displaystyle \int_0^{\pi b}\sqrt{3}b\sin \dfrac{x}{b}dx=2\sqrt{3}b^2$ 円柱から２箇所切り取った側面が３つあり，さらに１つの球面があるから求める表面積は $3(2\pi ba-4\sqrt{3}b^2)+4\pi b^2$ 戻る 目次 全体の目次 |