ここでは定曲率曲面を抽象曲面として扱う． 抽象曲面とは，第１基本形式 $I=E(u,v)du^2+2F(u,v)dudv+G(u,v)dv^2$ を定めた$(u,v)$のことである． 曲面の測地平行座標系は $I=du^2+G(u,v)dv^2$ で $G(0,v)=1,\dfrac{\partial G}{\partial u}(0,v)=0$ を満たす． この座標系で考えると，曲率$K$が定数のとき $K>0$のとき$G=\cos ^2(\sqrt{K}u)$ $K=0$のとき$G=1$ $K<0$のとき$G=\cosh ^2(\sqrt{-K}u)$ と定まる．これから，定曲率曲面は曲率で決まることがわかりました (等長同型). ちなみに，正の定曲率曲面は内在幾何の立場ならただひつですが，一般の曲面では回転面に限っても いろいろあります(等長同型4)． 次に曲面の等温座標を考えましょう． まず，半径$\dfrac{1}{\sqrt{k}}$の球の座標系を極射影により定義します． 
なお，半径$\dfrac{1}{\sqrt{k}}$の球のガウス曲率は$k$である．原点を中心とする半径$\dfrac{1}{\sqrt{k}}$の球面の，南極$S(0,0,-\dfrac{1}{\sqrt{k}})$から， 北極$N(0,0,\dfrac{1}{\sqrt{k}})$における 球の接平面への極射影を考える． すなわち,球面上の点$P(x,y,z)$,北極$N$における接平面上の 点を$Q(u,v,\dfrac{1}{\sqrt{k}})$とすると $\overrightarrow{SP}=t\overrightarrow{SQ}$ より $(x,y,z+\dfrac{1}{\sqrt{k}})=t(u,v,\dfrac{2}{\sqrt{k}})$ したがって $x=tu,y=tv,z=\dfrac{-1+2t}{\sqrt{k}}$ および $x^2+y^2+z^2=\dfrac{1}{k}$ より $t=\dfrac{4}{k(u^2+v^2)+4}$ $x=\dfrac{4u}{k(u^2+v^2)+4},y=\dfrac{4v}{k(u^2+v^2)+4} ,z=\dfrac{4-k(u^2+v^2)}{\sqrt{k}(4+k(u^2+v^2))}$ を得る． $dx=\dfrac{\partial x}{\partial u}du+\dfrac{\partial x}{\partial v}dv$ 等及び $I=dx^2+dy^2+dz^2$ 
より，半径$\dfrac{1}{\sqrt{k}}$の$(u,v)$における第１基本形式$I=\dfrac{16(du^2+dv^2)}{(4+k(u^2+v^2))^2} \ \ \cdots (\sharp)$ をえる．(手計算でも難しくはないが，右図はパソコンでの結果) 第１基本形式$(\sharp)$は驚く結果である．式($\sharp$)は$\sqrt{k}$を含まない． すなわち$k<0$でも定義できる，もちろん第１基本形式がこの式で与えれば曲率$k$である. これは，半径$\dfrac{1}{\sqrt{k}}$の球面より作った式なので確認する必要はないが， もし確認したければ，等温座標 $I=a^2(du^2+dv^2)$ のガウス曲率は $k=-\dfrac{1}{a^2}(\dfrac{\partial ^2\log a}{\partial u^2}+\dfrac{\partial ^2\log a}{\partial v^2})$ を利用すれはよい． すなわち，$k$が正である必要はなく，負でも $4+k(u^2+v^2)\neq 0$ であれば成り立つ． さらに，もっと驚くことにこの式はリーマンの 「幾何学の基礎をなす仮定について」 の中で取り上げられているのである (矢野健太郎訳 リーマン幾何とその応用 現代数学の系譜10 共立書店 p.11) リーマンの主張を簡単に説明する． ユークリッド幾何について，ユークリッドからルジャンドル(晩年，ユークリッドの第５公理問題について盛んに研究していた) に至るまで，何を対象にするか，言い方を変えれば平面とはなんであるかが はっきりしていないのが問題である．（ちなみに後年，ケーリーやクラインはユークリッド幾何は 射影平面に定義される，等長変換群で保たれる幾何学と定義された．） リーマンはｎ次元空間で説明しているが，ここでは２次元平面で説明する． ２重に広がった曲面は位置の決定が２個の実数$(u,v)$の決定に還元されることを述べ（現在の多様体の定義） この曲面を研究するには，位置に無関係な量が必要．それは種々の方法で可能であるが， リーマンはそれを曲線の長さに求めた．それは次のように述べている． 「ここで直ちに気が付く仮定は，それは私がこれから研究しようとするものであるが，恐らく曲線の長さが 位置に無関係になりしたがって，どんな曲線も任意の曲線を基準にして測定できるというものである」 長さを定める，これは第１基本形式を定めることです． すなわち，現在の言葉でいえば，多様体を定義して，第１基本形式を定めるということです． リーマンはさらに，つぎのように述べています． 「曲面を考える場合，それに含まれる路の長さだけを問題にする内部的量的関係と， その曲面外の点に対する位置が常に一緒になっている．しかし曲面に含まれる 曲線の長さを変えない変形，すなわち伸縮のない屈曲を考え，その変形により 相互に変わりうる曲面をすべて同等とみなせば外的な関係を除外できる．」 これは，今まで曲面を研究するとき $z=f(x,y)$（モンジュが用いた方法） または $x=f_1(u,v),y=f_2(u,v),z=f_3(u,v)$（ガウスが用いた方法） とおいて調べた．すなわち，$\mathbb{R}^3$内で定義される曲面として調べた． 半径$k$の球面に関していうと，ガウスは $x=k\cos u\cos v,y=k\cos u \sin v,z=k\sin u$ ですが，リーマンは $(u,v)$に第１基本形式を $I=\dfrac{16(du^2+dv^2)}{(4+k(u^2+v^2))^2}$ としたものです． と書いています．リーマンの文は難解で，私が太刀打ちできるものではありません． これは，私がリーマン幾何をかじったうえで考えた解釈です．不適切なところがありそうです．
話を戻します．この第１基本形式から$k$が負の場合を扱うことがこの章の目的であるあるが，
まず球面の場合どうなるかを調べそれを参考に
曲率負の場合を調べる． |
この内容は反転変換の知識があればわかりやすい．