話を進めましょう．Theorema egregium より，第１基本形式が同じなら，曲面の全曲率は一致します． 当然考えるべきことはその逆， 問題 ２つの曲面の全曲率が各点で一致すれば，等長同型であるか． です．これは一般には正しくありません．しかし，定曲率曲面に限ると正しいことが証明されます． それらの点についてこれから述べていきます． まず，問題が成り立たないことを示すために反例を挙げます． 
例
２つの曲面$\overrightarrow{f}=(u\cos v,u\sin v,\log u)$， $\overrightarrow{g}=(x\cos y,x\sin y,y)$ は全曲率は等しいが，等長同型でない例です．それを確かめましょう． 曲面$\overrightarrow{f}$の第１基本量，第２基本量$E,F,G,L,M,N$は $E=1+\dfrac{1}{u^2},F=0,G=u^2$ $L=-\dfrac{1}{u\sqrt{1+u^2}},M=0,N=\dfrac{u}{\sqrt{1+u^2}}$ 
より，全曲率$K$は$K=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}=-\dfrac{1}{(1+u^2)^2}$ 曲面$\overrightarrow{g}$の$E,F,G,L,M,N$は $E=1,F=0,G=x^2+1$ $L=0,M=-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}},N=0$ より，全曲率$K$は $K=-\dfrac{1}{(1+x^2)^2}$ より，２つの全曲率は一致します． 次に，この２つの曲面に等長同型となる座標変換は存在しないことを示します． $x=p(u,v),y=q(u,v)$ が等長変換となる変換とし，矛盾を示します． まず，等長変換なら全曲率は等しいから全曲率の式より $x=p(u,v)=\pm u,y=q(u,v)$ このときの第１基本形式を計算します． $I=dx^2+(x^2+1)dy^2$ $=du^2+(u^2+1)(q_udu+q_vdv)^2$ $=(1+(u^2+1)q_u^2)du^2+2(u^2+1)q_uq_vdudv+(u^2+1)q_v^2dv^2$ これが $I=(1+\dfrac{1}{u^2})du^2+u^2dv^2$ と一致することがないことを示す． $q_uq_v=0$であり，$q_u=0$なら$du^2$の係数が恒等式にならないし，$q_v=0$なら$dv^2$の係数が恒等式にならない． したがって，２つの曲面$\overrightarrow{f},\overrightarrow{g}$は全曲率は一致するが等長同型ではない． 以上の例より，ガウスにより等長同型なら全曲率が等しいことが示されましたが，逆は成り立たないことが分かりました． それでは，逆が成り立つ場合があるのでしょうか．それに対する解答が次の定理です． 定理 定曲率曲面に限れば，全曲率が等しければ等長同型である． 証明 方針からまず述べます． 測地座標用いれば，第１基本形式は $I=du^2+Gdv^2$ となり，このとき全曲率$K$は $K=-\dfrac{(\sqrt{G})_{uu}}{\sqrt{G}}$ であるから(曲面の第１基本形式と第２基本形式の関係)，$K$が定数なら，微分方程式より$G$が唯一つに定まるという方針です．  それでは証明に入りましょう．ここで用いる測地座標は通常の測地座標より少しだけ手を加えます． 通常の曲面上の点$P$の周りの測地座標は，曲面上の点$P$に対して，$P$を通る曲線$C$を１つ定め（この曲線はなんでもよい）, この曲線の媒介変数を$v$とする．さらに曲線$C$上の各点でCと直交する測地線を引きこれらの測地線族を$A$ とする．これらの測地線の媒介変数として弧長$u$をとる．さらに，測地線族$A$に垂直な曲線族を$B$とする． これらの曲線網$A,B$による曲面の媒介変数表示が測地座標である．このままでは若干の問題点が残るが，その解決は 測地曲率と測地線にある． ここで用いる測地座標は最初にとる点$P$を通る曲線を弧長変数の測地線とし，$P(0,0)$とする．第１基本形式 $I=du^2+Gdv^2$ は $G(0,v)=1$ を満たし，さらに，最初にとる曲線($u=0$)にLiouvilleの定理$(\phi =\frac{\pi}{2})$を用いて $\dfrac{1}{2\sqrt{E}}\dfrac{\partial \log G}{\partial u}|_{u=0}=0$ より $G_u(0,v)=0$ を満たす．すなわち．第１基本形式 $I=du^2+Gdv^2$ は $G(0,v)=1,G_u(0,v)=0$ をみたす． これがこれから考える微分方程式の初期条件である． 第１基本形式が $I=du^2+Gdv^2$ のとき 全曲率$K$は $K=-\dfrac{(\sqrt{G})_{uu}}{\sqrt{G}}$ であるから，$K$が定数のとき微分方程式 $\dfrac{\partial ^2\sqrt{G}}{\partial u^2}+K\sqrt{G}=0$ を解くことになる．この微分方程式の解は$K$の符号によって場合分けして求めることになる． (1) $K$＞$0$すなわち，$K=\dfrac{1}{a^2}$のとき $\sqrt{G}=p(v)\cos \dfrac{u}{a}+q(v)\sin \dfrac{u}{a}$ ただし，$p(v),q(v)$は任意の関数． ここで初期条件 $G(0,v)=1,G_u(0,v)=0$ より， $p(v)=1,q(v)=0$ $\therefore \sqrt{G}=\cos \dfrac{u}{a}$ $\therefore I=du^2+\cos ^2\dfrac{u}{a}dv^2$ (2) $K$＜$0$すなわち$K=-\dfrac{1}{a^2}$のとき (1)と同様で， $\sqrt{G}=p(v)\cosh \dfrac{u}{a}+q(v)\sinh \dfrac{u}{a}$ および初期条件より， $I=du^2+\cosh ^2\dfrac{u}{a}dv^2$ (3)$K=0$のとき $\sqrt{G}=p(v)+q(v)u$ より $I=du^2+dv^2$ 続く 微分幾何の目次 |