曲率$k$正のとき行ったことを曲率$k$が負の場合に行います． 曲率が正のときは球面でしたが球面に代わるものが必要です．しかしユークリッド空間$\mathbb{R}^3$ には球面に代わるものは存在しません．それは次の定理によります． 定理(ヒルベルト) 3次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^3$には完備な負の定曲率曲面は存在しない によります．したがって，すでに扱った$\mathbb{R}^3$における偽球も完備ではありません． それでは注意深く$k>0$の場合の式の変形をみて，$k<0$の場合どうすればよいかを考えましょう． $x=tu,y=tv,z=\dfrac{1+2t}{\sqrt{k}}$ より$u,v$について解くと $u=\dfrac{2x}{\sqrt{k}z+1},v=\dfrac{2y}{\sqrt{k}z+1},x^2+y^2+z^2=\dfrac{1}{k}$ の$k<0$の場合です． $k=-k' \ (k'>0)$とおく．そのまま代入すると $u=\dfrac{2x}{\sqrt{-k'}z+1}=\dfrac{2x}{\sqrt{k'}(iz)+1},$ $v=\dfrac{2y}{\sqrt{-k'}z+1}=\dfrac{2y}{\sqrt{k'}(iz)+1},$ $x^2+y^2+z^2=\dfrac{1}{-k'}$ $z'=iz$とおけば $u=\dfrac{2x}{\sqrt{k'}z'+1},$ $v=\dfrac{2y}{\sqrt{k'}z'+1},$ $x^2+y^2-z'^2=\dfrac{1}{-k'}$ となる． したがって，$(x,y,z)$の代わりに$(x,y,iz)$を考えればよさそうである． ユークリッド空間$\mathbb{R}^3$に代わる新しいローレンツ空間$\mathbb{L}^3$を用いて， 負の定曲率空間を構成しよう． 順序のついた３実数$(x,y,z)$に対して $a=(a_1,a_2,a_3),b=(b_1,b_2,b_3)$ の内積$a\circ b$を $a\circ b=a_1b_1+a_2b_2-a_3b_3$ によって定義する． 内積とは何かを復習しよう． 内積$a\circ b$とは次の３条件を満たす演算である． 1,$a,b$に関してそれぞれ線形(双線形) 2,$a\circ b=b\circ a$ 3.$a\circ a\geqq 0,$かつ$a\circ a=0$が成り立つのは$a=0$に限る (たとえば 佐竹一郎 線型代数学 裳華房 117ページ)． であるから，扱う対象を $\{(x,y,z)|x^2+y^2-z^2>0\}$ とすればよい．ここでは $\mathbb{L}^3=\{(x,y,z)|x^2+y^2-z^2>0,z>0\}$ とする．この空間をローレンツ空間という． $\mathbb{L}^3$内に曲率$k(<0)$の曲面を構成しよう． $\mathbb{L}^3$の曲面 $S=\{(x,y,z)\in \mathbb{L}^3|x^2+y^2-z^2=\dfrac{1}{k},z>0\}$ の極射影を考える． 
すなわち，曲面$S$上の点を$P(x,y,z),$平面$z=\dfrac{1}{\sqrt{-k}}$上の点を$Q(u,v,\dfrac{1}{\sqrt-k})$,
射影の中心を$O'(u,v,-\dfrac{1}{\sqrt{-k}})$とする．$\overrightarrow{O'P}=t\overrightarrow{O'Q}$ より $(x,y,z+\dfrac{1}{\sqrt{-k}})=t(u,v,\dfrac{2}{\sqrt{-k}})$ したがって $x=tu,y=tv,z=\dfrac{-1+2t}{\sqrt{-k}}$ さらに $x^2+y^2-z^2=\dfrac{1}{k}$ より $x=\dfrac{4u}{k(u^2+v^2)+4},y=\dfrac{4v}{k(u^2+v^2)+4} ,z=\dfrac{4-k(u^2+v^2)}{\sqrt{-k}(4+k(u^2+v^2))}$ 
$dx,dy,dz$を計算し$dx^2+dy^2-dz^2$に代入し，
$\mathbb{L}^3$における曲面$S$の第１基本形式は$I=\dfrac{16(du^2+dv^2)}{(4+k(u^2+v^2))^2} \ \cdots (\sharp)$ を得る．（計算は右） 極射影対応よりわかるように，$(u,v)$は原点を中心とする半径$\dfrac{2}{\sqrt{-k}}$ の円の内部である．すなわち $u^2+v^2<\dfrac{4}{-k}$ したがって， $k(u^2+v^2)+4>0$ 第１基本形式$(\sharp)$の曲面は曲率$k$の定曲率曲面で$k<0$より$\mathbb{L}^3$における 曲面$S$は曲率$k$である負の定曲率曲面である．さらに $\{(u,v)|u^2+v^2<\dfrac{4}{-k}\}$で第１基本形式 $I=\dfrac{16}{4+k(u^2+v^2)}$ が与えられた抽象曲面である． 次に，$\mathbb{L}^3$における曲面 $S:x^2+y^2-z^2=\dfrac{1}{k}$ の測地線を調べよう． ローレンツ空間$\mathbb{L}^3$における原点を基準の点とする曲面$S$ 上の点の位置ベクトルを$f$とする． このとき， $f\circ f=\dfrac{1}{k}=$(定数) より $df\circ f=0$ これは$f$は曲面$S$の法線ベクトルを意味している($\mathbb{R}^3$における 原点を中心とする球面と同じことを$\mathbb{L}^3$で行っている). $df\circ f=0$が分かりづらければ，座標変数が$u,v$のとき $\dfrac{\partial f}{\partial u}\circ f=0,\dfrac{\partial f}{\partial v}\circ f=0$ とみればよい．なお，ちょっと古い微分幾何の教科書では，曲面$f(u,v)$の接ベクトルの一般形を $df=\dfrac{\partial f}{\partial u}du+\dfrac{\partial f}{\partial u}dv$ とする．ここで$du,dv$は定数とみればよい． つぎに，曲面$S$と原点を通る平面$\alpha$との交線の弧長変数表示を$r(s)$とする． $r'(s)\circ r'(s)=1$ より $r"(s)\circ r'(s)=0$ $r(s),r'(s),r"(s)$は平面$\alpha$上にあり，かつ $r(s)\circ r'(s)=0,r"(s)\circ r'(s)=0$ より $r"(s)\parallel r(s)$ ここで，$r(s)$は曲面$S$の法線ベクトルであるから，曲線$r(s)$は測地線である． 逆に，曲面$S$上の任意の点とその点における$S$の接ベクトルを与えれば原点を通る 平面はただ一つ決まり，測地線の一意性より，$S$の測地線は$S$と原点を通る平面との交線に限る． つぎに抽象曲面 $\{(u,v)|u^2+v^2<\dfrac{4}{-k}\};I=\dfrac{16(du^2+dv^2)}{4+k(u^2+v^2)}$ の測地線を調べよう． 極射影 $x=\dfrac{4u}{k(u^2+v^2)+4},y=\dfrac{4v}{k(u^2+v^2)+4} ,z=\dfrac{4-k(u^2+v^2)}{\sqrt{-k}(4+k(u^2+v^2))}$ および， $ax+by+cz=0$ より$u,v$の関係を求めるだけである． $\bullet c=0$のとき． 測地線は原点を通る直線 $\bullet c\neq 0$のとき 原点を通る平面は$ax+by=z$としてよい． $x,y,z$を代入し計算すると $(u-\dfrac{2a}{\sqrt{-k}})^2+(v-\dfrac{2b}{\sqrt{-k}})^2 =\dfrac{4}{k}+\dfrac{4a^2+4b^2}{-k}\cdots (\sharp)$ 円$(\sharp)$は円板の境界である円 $u^2+v^2=\dfrac{4}{-k}\cdots (\flat)$ と直交している. 実際，２円の$(\sharp),(\flat)$の半径を$R,r$,中心間の距離を$d$とすると $R^2=\dfrac{4}{k}+\dfrac{4a^2+4b^2}{-k},r=\dfrac{4}{-k},d^2=-\dfrac{4a^2+4b^2}{k}$ したがって， $R^2+r^2=d^2$ 原点を通る直線は円$(\flat)$に直交するから，抽象曲面 $\{(u,v)|u^2+v^2<\dfrac{4}{-k}\};I=\dfrac{16(du^2+dv^2)}{4+k(u^2+v^2)}$ の測地線は円$(\flat)$に直交する円または直線である． 次の図は曲率が定数$k<0$の抽象曲面で，測地線が曲率の変化でどのように変わるかを Cabri GeometryUで作成したものです．青い円が $u^2+v^2=\dfrac{4}{-k}$ です．他の３円弧は３点$A,B,C$いずれかの２点を通る測地線です． 曲率$k$(右下)が変わればそれにつれて測地線が変化します．曲率が変われば第１基本形式が変わるので ２点間の距離は変わります．しかし，ここで扱っているのは等温座標なので角は変わりません． そこで三角形の内角の和がどう変わらかがわかる ように作成したものです(動画をここをクリック)． 
負の定曲率の抽象曲面はここで述べた円板モデルだけではない．上半平面が定義域であるポアンカレモデルもある． ポアンカレモデルとは，ユークリッド上半平面 $\mathbb{H}^+:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|y>0\}$ において第１基本形式を $I=\dfrac{k^2(dx^2+dy^2)}{y^2}$ を定めた抽象曲面である．この曲面の曲率は$-\dfrac{1}{k^2}$である (ポアンカレモデル(1))． 曲率が$-4$のとき円板モデルは $D=\{(u^2+v^2<1\};I=\dfrac{du^2+dv^2}{(1-u^2-v^2)^2}$ であり，一方ポアンカレモデルは $\mathbb{H}^+,I=\dfrac{dx^2+dy^2}{4y^2}$ ここで $f:\mathbb{H}^+\longrightarrow D;z\mapsto w=\dfrac{z-i}{z+i}$ を考える． 
$z=x+iy,w=u+iv$とおけば， $u=\dfrac{x^2+y^2-1}{x^2+(y+1)^2},v=\dfrac{-2x}{x^2+(y+1)^2}$ $du=\dfrac{\partial u}{\partial x}dx+\dfrac{\partial u}{\partial y}dy, dv=\dfrac{\partial v}{\partial x}dx+\dfrac{\partial v}{\partial y}dy$ を計算し， $\dfrac{du^2+dv^2}{(1-u^2-v^2)^2}$ に代入すれば， $I=\dfrac{dx^2+dy^2}{4y^2}$ うまくいっているのです(計算は右)． 
最後に，抽象曲面における測地線の作図方法，すなわち，円と２点が与えられたとき，1.２点を通り円の直径となる２点を通る円(曲率が正の時) 2.２点を通り円と直交する円(曲率が負の時) について述べる． 反転変換を用いると簡単に解決します． 与えられた円を$C$その中心を$O$半径を$r$とする．円$C$を反転円とする反転変換を$I$とする． $I:A\mapsto A'$ のとき $OA\cdot OA'=r^2 \ \ \ $(反転変換の定義) である．したがって2点$A,A'$を通る任意の円$D$と円$C$との交点を$T$とすると，直線$OT$ は円$D$に接している．したがって，円$C,D$は直交している．したがって2に対する解答は次にようになる． 命題1 円$C$と２点$A,B$が与えられたとき，円$C$を反転円とする反転変換を$I$とし，$I$による点$A$ の像を$A'$とする．このとき，３点$A,A',B$を通る円は円$C$と直交する． 次に１を考えよう． すでに考えたように， $I(A)=A'$とすると $OA\cdot OA'=r^2$ したがって，円$C$の中心$O$に関して$A'$と対称な点を$A''$とすると $OA\cdot OA''=r^2$ であり，２点$A,A''$を通る円は円$C$の直径の端点となる２点を通る． 実際，2点$A,A''$を通る円と円$C$の交点の片方を$P$とする（上図参照）． $PO$の延長と$A,A''$を通る円との交点を$Q$とすると $OP\cdot OQ=OA\cdot OA''=r^2$および$OP=r$より $Q$が円$C$上にあり，$PQ$は円$C$の直径になる． したがって，1に対する解答は次のようになる． 命題2 円$C$と２点$A,B$が与えられたとき，円$C$を反転円とする反転変換を$I$とし，$I$による点$A$ の像を$A'$,反転円$C$の中心$O$に関して$A'$と対称な点を$A''$とする． このとき，３点$A,A'',B$を通る円は円$C$の直径の端点となる２点を通る． （測地曲率と測地線の項目終わり）
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