ここでは，いくつかの定曲率曲面を回転面よりつくる． まず，回転面のガウス曲率を再確認しよう． $yz$平面上の曲線$z=f(y)$を$z$軸の周りに回転した曲面は $(v\cos u,v\sin u,f(v))$ と表せる．この曲面の第１基本形式，第２基本形式は T$=v^2du^2+(1+f'(v)^2)dv^2$ U$=\dfrac{vf'(v)du^2+f"(v)dv^2}{\sqrt{1+f'(v)^2}}$ であり，この回転面の全曲率$K$は $K=\dfrac{f'(v)f"(v)}{v(1+f'(v)^2)^2}$ である． したがって，全曲率が$K$の曲面は，微分方程式 $\dfrac{f'(v)f"(v)}{v(1+f'(v)^2)^2}=K$ を解くことになる．この微分方程式は $f"(v)=\dfrac{df'}{dv}$ より $\dfrac{f'df'}{(1+f'^2)^2}=Kvdv$ と書き直し，両辺を積分すると $\dfrac{1}{1+f'^2}=-Kv^2+C$・・・（1） となる． $K$＜$0$のとき$C=0$として計算したのがすでに述べた内容でそのとき擬球面が得られました． 当然$C$を変えれば他の曲面が得られる． それを求めよう． ここでは，$K=1,-1$の場合に調べる． $\bullet \ \ K=1$のとき $f'(v)=\pm \sqrt{\dfrac{1-C+v^2}{C-v^2}}$ ここで$C=1$のとき単位球面になる．実際 $y=\pm \sqrt{1-v^2}$ のとき $y'=\mp \dfrac{v}{\sqrt{1-v^2}}$ である． これから，$0$＜$C$＜$1,1$＜$C$に場合分けして曲面を求めるが，球面は２つの場合の境界であることが分かる． $C=\dfrac{1}{2},2$の場合に計算する． 
まず$C=\dfrac{1}{2}$のとき計算しよう．$f'(x)=\sqrt{\dfrac{1+2x^2}{1-2x^2}}$ を計算することになります． 式から分かるように楕円積分になります．しかし，心配する必要はありません．曲面の形を知りたいだけですから， グラフが分かればそれでよいので，手持ちの計算ソフトで簡単にできます．ここではMathematicaを用います． 定義域は $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqq x \leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ です. 作った曲面が右図です． 曲面は上下に現れます．上下入れ替えて赤道部分を重ねて一つの曲面になります． 図で分かるように，北極と南極はとがっているので除かなければなりません．これには理由があり， 後で述べます．図は$C=\frac{1}{2}$の場合で，$C$を$1$に近づければ球 に近づき，$K=1$のときのみ北極，南極が定義できます． 
次に，$C=2$のときを計算しよう．$f'(x)=\sqrt{\dfrac{x^2-1}{2-x^2}}$ を計算することになります． 定義域は $1 \leqq x \leqq \sqrt{2}$ を考えます． 作った曲面が右図です． 右図の曲面を２つ用意して，片方を逆さにしてかぶせて得られる曲面が曲率１の曲面です． $xyz$座標空間で考えれば，この曲面は $1\leqq x^2+y^2 \leqq 2$ でのみ定義でき， $x^2+y^2$＜$1$ では定義されません． 次に曲率負の場合を計算する． $\bullet \ \ K=-1$のとき $f'(v)=\pm \sqrt{\dfrac{1-C-v^2}{C+v^2}}$ ここで$C=0$のときすでに計算したように擬球面になる． $\dfrac{1}{1+f'^2}=x^2+C$ より $0$＜$x^2+C$＜$1$ したがって， $0$＜$C$＜$1,\ C$＜$0$ に分けて調べる必要がある．もちろん境界の$C=0$が擬球面である． ここでは，$C=\dfrac{1}{2}$と$C=-1$の場合を計算する． 
$C=\dfrac{1}{2}$のとき．$f'(x)=-\sqrt{\dfrac{1-2x^2}{2x^2+1}}$ $(0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}})$ 解いたのが右の曲面である． 
次に$C=-1$を計算する．$f'(x)=\sqrt{\dfrac{2-x^2}{x^2-1}}$ 定義域は $1 \leqq x \leqq \sqrt{2}$ で解いたのが右の曲面である． 右の曲面を２つ用意し，片方を逆さにして小円の方を重ねてできる曲面が 曲率$-1$の曲面である． 以上で４種類の定曲率曲面を回転面から作ったが大域幾何学からここで作った曲面を眺めて見よう．なお，私には大域幾何学の内容を 述べる資格はないので，詳しくはしかるべき書物を参考にして欲しい． まず，曲率１の定曲率曲面を２つ作りました．最初の例は北極と南極が定義できません．すなわちコンパクトではありません． ２つ目の例は縁があります． 曲面全体（大域幾何学）についてのいくつかの定理を紹介します．なお，大域幾何では境界のない有界な閉曲面をコンパクト曲面といいます． すなわち通常のコンパクトに境界ないを付け加えて用います． $\mathbb{R}^3$において球面全体は等長変換で変形できないという性質があります．数学的に表すと $f:S^2 \longrightarrow M \subset \mathbb{R}^3$ において，$f$が等長変換で$M=F(S^2)$のとき$M$は必ず球面である． さらに， Liebmannの定理 $\mathbb{R}^3$における定曲率コンパクト曲面は球面だけである． これらの定理より，球面以外の曲面がコンパクトでなかったり縁があったりすることは当たり前なのですね． 次に曲率負の定曲率曲面を見てみましょう． この曲面に関するとても有名な定理に Hilbertの定理 $\mathbb{R}^3$には$C^2$級の完備な負の定曲率曲面は存在しない． 曲面が完備とは任意の２点間を通る測地線存在しさらにどこまでも延長できる， 言い方を変えれば測地線が$(-\infty ,\infty)$で定義できるという意味です． この定理を見ると，擬球面は完備でないの？と思うかもしれません．擬球面は完備ではありません． ポアンカレの上半平面モデル$\mathbb{H}^+$との関係で見るとわかりやすい． $\mathbb{H}^+$は完備です．一方，擬球面$S$は$\mathbb{H}^+$の $0 \leqq x$＜$2\pi,1$＜$y$ の部分と等長同型です．したがって完備でありません（$\mathbb{H}^+$の$y\leqq 1$の部分の測地線は擬球面 $S$には存在しないので$S$上では延長できない）． 続く 微分幾何の目次 |