いろいろな立体の問題

いろいろな立体の問題

第3節　正射影を身につけよう(体積における正射影の利用１)

正射影について考えます．
まず，正射影の定義について．
２平面α，βが交わるとき，平面α上の点Ｐに，Ｐから平面βに下ろした垂線の足Ｑを対応させる平面αから平面β への写像を平面αから平面βへの正射影という．

正射影は座標を適当に取れば１次変換であることを確かめます．
２平面α，βの交線を共通のｘ軸とし，x軸上に共通の原点Ｏをとり，平面α上にｙ軸，平面β上にＹ軸をとり
平面α上の点Ｐ（ｘ，ｙ）の平面βへの正射影をＱ（ｘ’，ｙ’）とする．
２平面α，βのなす角をθとすると
ｘ’＝ｘ
ｙ’＝（cosθ）ｙ
であるから，正射影は変換
$(x,y)\mapsto (x,(\cos \theta )y)$ である．
さらに，すでに述べたこの変換による面積の関係より，２平面α，βのなす角がθのとき，対応する領域の面積はcosθ倍になる．
逆に元の図形の面積は正射影した図形の面積の$\frac{1}{\cos \theta}$倍である．
この節では正射影の性質を利用して体積を求める問題を扱う．

次の問題で正射影の利用の仕方を解説します．
例
xyz空間において，原点を中心とする半径１の球のうち平面ｚ＝ｙの上すなわちｚ≧ｙを満たす点全体の体積を求めよう．

平面ｘ＝０（ｙｚ平面）上の直線
ｚ＝ｙ，ｘ＝０
に垂直な直線
ｚ＝－ｙ，ｘ＝０　
を軸として考えます．
すなわち，この軸に垂直な平面で球を切ったときの切り口の面積を積分するのですが，この切り口の面積の求め方を学んでください．すなわち，切り口の図形をxy平面に正射影し，その面積を求め$\frac{1}{\cos \theta}$倍するという方法です．

軸（z=-y,x=0）上に点Ｐをとる．yz平面上で考えれば，
ＯＰ＝ｔのとき，
$P(-\dfrac{t}{\sqrt{2}},\dfrac{t}{\sqrt{2}})$

したがって，Ｐを通り平面ｚ＝ｙに平行な平面（軸に垂直な平面）は
$z=y+\sqrt{2}t$・・・①
となる．
球面ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝１を平面①で切った切り口をｘｙ平面に正射影した図形は，球面の方程式および①よりｚを消去した式です．
ゆえに，
$x^2+y^2+(y+\sqrt{2}t)^2=1$
$\therefore \ \ x^2+2(y+\dfrac{t}{\sqrt{2}})^2=1-t^2$

ここで用いた，平面
$z=y+\sqrt{2}t$・・・①
と球面
$x^2+y^2+z^2=1$・・・②
の交線を$xy$平面に正射影した図形の方程式は①，②より$z$を消去したものであることは少し説明をする．
なお，この事実は頻繁に用いられる．
$z=y+\sqrt{2}t,x^2+y^2+z^2=1$
$\Longleftrightarrow$
$z=y+\sqrt{2}t,x^2+y^2+(y+\sqrt{2}t)^2=1$
であり，$x^2+y^2+(y+\sqrt{2}t)^2=1$は$xy$平面上の曲線を$z$軸方向に平行移動して得られる柱面であるからである．
したがって，①，②の交線を$xy$平面に正射影した図形の方程式は①，②より$z$を消去したものであることが分かる．
正射影した図形の面積を求めれば，もとの切り口の図形は$\frac{1}{\cos \theta}$倍すれば求められる．

さて，正射影により得られたこの曲線は
$x^2+2(y+\dfrac{t}{\sqrt{2}})^2=1-t^2$
より長軸半径

短軸半径

の楕円です．
ここで，楕円

の面積を確認しましょう．この楕円は，変換 $f:(x,y)\mapsto (ax,by)$
による単位円の像ですから，面積がπａｂであることがわかります．
これを用いれば，
切り口の楕円の面積は変換
$(x,y)\mapsto (\sqrt{1-t^2}x,\dfrac{\sqrt{1-t^2}}{\sqrt{2}}y)$
より
$\dfrac{\pi (1-t^2)}{\sqrt{2}}$
さらに，平面①とｘｙ平面とのなす角は４５°より球面ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝１の平面①による切り口の面積はπ（１－ｔ²）であり求める体積は
$\displaystyle \pi \int_0^1(1-t^2)dt=\frac{2\pi}{3}$
となる．
当然半球の体積と一致するわけです．

ここで行ったように，２つの曲面の交線をxy平面に正射影すると，その図形は２つの曲面を表す等式よりzを消去することにより得られます．この事実を利用して切り口の図形の面積を求めようというのです．

続く

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