いろいろな立体の問題

いろいろな立体の問題

第3節　正射影を身につけよう(立体の正射影１)

正射影を学んだので，正多面体の平面への正射影の最大値，最小値を求めよう．

例題2
空間内に平面$\alpha$がある．１辺の長さ１の正四面体Ｖの$\alpha$上への正射影の面積をＳとし，Ｖがいろいろ位置を変える時のＳの最大値と最小値を求めよ．

この問題は1988年東京大で出題された問題で，当時話題になった比較的有名な問題で記憶のある方も多いでしょう．

<解答>
正四面体Ｖの頂点をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとし，各点を平面$\alpha$へ正射影した点をそれぞれＡ’，Ｂ’，Ｃ’，Ｄ’とする．Ｖの正射影は三角形か四角形である．

(1) Ｓの最大値について
正射影が三角形のときは，正四面体の一つの面が$\alpha$と平行なときSは最大値をとる．そのとき
$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$・・・①
正射影が四角形A'B'C'D'のとき対角線A'C'とB'D'のなす角を$\theta$とすると
$S=\dfrac{A'C'\cdot B'D' \sin \theta}{2}$
一方
$A'C' \leqq 1,B'C'\leqq 1$
であり
$A'C'=1,B'D'=1,\theta =\dfrac{\pi}{2}$
を同時に満たす場合があるので，Ｓの最大値は
$S=\dfrac{1}{2}・・・②$
①，②を比較することによりＳの最大値は
$S=\dfrac{1}{2}$

(2) Ｓの最小値について
正四面体Ｖは固定し，平面$\alpha$を動かすと考えたほうが正射影の面積Ｓを扱いやすい．
３頂点Ｂ，Ｃ，Ｄの決める平面を平面$\beta$とし，Ａを通り平面$\alpha$に垂直な直線と平面$\beta$との交点をＰとする．
このとき，平面$\alpha$の法線ベクトルは$\overrightarrow{AP}$である．
平面$\beta$の法線ベクトルは，△ＢＣＤの重心をＧとすれば $\overrightarrow{AG}$である．
$\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AG}$のなす角を$\theta$とすれば，２平面$\alpha,\beta$のなす角は，その平面の法線ベクトルのなす角$\theta$である.
正四面体Ｖの正射影の面積Ｓは
Ｐが△ＢＣＤの内部または周上にあるとき,
△ＢＣＤの面積をＴとおけば，
$S=T \cdot \cos \theta=\dfrac{\sqrt{3}\cos \theta}{4}$
Ｐが△ＢＣＤの外部にあるとき，
四角形ＰＣＤＢの面積をＴ’とおけば
$S=T' \cdot \cos \theta$

$\bullet$　Ｖの正射影が三角形のとき．
これは，Ｐが△ＢＣＤの内部および周上を動くときである．
$\theta$が最大になるのはＰが頂点Ｂ，Ｃ，Ｄのときである．そのとき
$\cos \theta =\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
したがって，Ｓの最小値は
$S=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\bullet$　Ｖの正射影が四角形のとき
解答の方針は，正射影が四角形の場合，面積が最小値をとることがないことを示すことである．
Ｐは△ＢＣＤの外側で，かつ∠ＢＤＣの内部にある場合を考える．
平面$\beta$上で，Ｐを通りＢＣと平行な直線を引きＤＢ，ＤＣの延長との交点をそれぞれＥ，Ｆとする．
このとき，四角形ＰＣＤＢの面積と△ＥＣＤの面積は等しい．
一方
$\angle PAG=\phi,\angle EAG=\psi$
と置くと，
ＥＧ＞ＰＧ
より
$\phi$＜$\psi$
$\therefore \cos \psi$＜$\cos \phi$
$\overrightarrow{AE}$が平面$\alpha$の法線ベクトルになるとき，正射影の形は△ＥＣＤの正射影であるから三角形である (△ＡＣＤの正射影になる)．
すなわち，四角形ＰＣＤＥの正射影の面積より，△ＥＣＤの正射影の面積の方が小さいことが示された．
これは，正射影が四角形の場合はそれより面積が小さい三角形の正射影が存在することを示している．
以上で正射影の最小値が$\frac{\sqrt{2}}{4}$であることが証明された．

＜解説＞
立体の平面$\alpha$への正射影の面積を調べるとき，この問題の解答のように，立体を動かすより，平面$\alpha$を動かしたほうが考えやすい．
Ａを通り，平面$\alpha$と垂直な直線と平面ＢＣＤの交点をＰとすると，平面$\alpha$が動けばＰは平面ＢＣＤ上のすべての点を動く．
実際平面ＢＣＤ上の任意の点をＰとすれば直線ＡＰに垂直な平面を平面$\alpha$とすればよいからである．
さらに，正射影の面積は平面ＢＣＤ上の三角形または四角形の面積に
$\cos \theta=\dfrac{AG}{AP}$
をかけることで求められ，簡単に計算できる．
なお，この方法は後で，正８面体や正四角錐の正射影の面積を調べるときにも用いられる．

正射影が四角形のとき，最大値が$\frac{1}{2}$であることが，正四面体の図形的考察より簡単に得られたが，このような考察は簡単でない場合が多い．
正射影が四角形のときの面積の最大値を計算によって求めると次のようになる．

Ｐは平面ＢＣＤ上で，辺ＢＣの垂直２等分線上をとるとき調べればよい．
$PG=x$とおく．
四角形のＰＣＤＢの面積は
$\dfrac{3x+\sqrt{3}}{6}$
であるから，この正四面体Ｖの正射影の面積は
$S=\dfrac{\sqrt{2}(3x+\sqrt{3})}{6\sqrt{3x^2+2}}$・・・①
$f(x)=\dfrac{3x+\sqrt{3}}{\sqrt{3x^2+2}}$
とおいて導関数を計算すると，
$f'(x)=\dfrac{-3\sqrt{3}x+6}{(3x^2+2)\sqrt{3x^2+2}}$
Ｓは$x=\frac{2}{\sqrt{3}}$で最大値をとるから，その値を計算して
最大値$S=\frac{1}{2}$をえる．
①の$x \to \infty$のときの極限値$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$の意味は
$AP \parallel DP$
のことであり，右の図形で言えばばPがＢＣの中点のときに対応する．
実際のこのときのＳを計算すると,辺ＢＣの中点をＫとおけば
$\dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{AG}{AK} =\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$
である．

続く

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