これからは，標題の内容に関して考えましょう．まず，｢垂足三角形とその周辺の話題｣で 定理 ２点Ａ，Ｂが直線ＸＹに関して同じ側にある．このとき．直線ＸＹ上の点Ｐについて次の式が成り立つ． ＡＰ＋ＰＢが最小 ⇔ ∠ＡＰＸ＝∠ＢＰＹ を考えました．ここでは，定理の直線が曲線に変わったときどうなるかを考えましょう． 一般には凸の滑らかな曲線（各点で接線が定理できるという意味）でいえることですが， 円の場合しか使わないので，次の場合を調べます． 
定理円Ｏとこの円の外部に２点Ａ，Ｂが与えられている．このとき，点Ｐが円Ｏの周上を動くととき 次のことが成り立つ． 点ＰはＡＰ＋ＢＰを最小にする点 ⇒∠ＯＰＡ＝∠ＯＰＢ ここで, 円ＯのＰにおける接線をＸＹとすれば∠ＯＰＡ＝∠ＯＰＢは ∠ＡＰＸ＝∠ＢＰＹとしてもかまいません． なお、最大にする点もあるので同値とするわけにはいきません. この証明ですが，楕円の性質が必要になるので，楕円の性質のうち，ここで使う内容に限って学びましょう． （楕円の定義） ２定点Ｆ，Ｆ’からの距離の和が一定である点の軌跡を楕円といい，Ｆ，Ｆ’をこの楕円の 焦点という． 
式で書くと，ＰＦ＋ＰＦ’＝２ａ （ａは定数） を満たす点Ｐ全体よりなる図形のことです． もちろんａはＦＦ’＜２ａを満たさなければなりません． 右図で，楕円上に点Ｐが３点あります． どの場合もＰＦ＋ＰＦ’は一定です． この一定の値を２ａすなわち ＰＦ＋ＰＦ’＝２ａ がなりたちます． 次に，点Ｑが楕円の外にあれば ＱＦ＋ＱＦ’＞２ａ 点Ｒが楕円の内側にあれば ＲＦ＋ＲＦ’＜２ａ が成り立ちます．これは三角形で２辺の和は他の１辺より大きいという性質を用いれば 読み取れるでしょう． 以上の性質をまとめて書くと次のようになります． 定理 ２点Ｆ，Ｆ’が焦点であるＰＦ＋ＰＦ’＝２ａを満たす点よりなる楕円をＣとする．このとき Ｐが楕円Ｃ上にある ⇒ ＰＦ＋ＰＦ’＝２ａ Ｐが楕円Ｃの外部にある ⇒ ＰＦ＋ＰＦ’＞２ａ Ｐが楕円Ｃの内部にある ⇒ ＰＦ＋ＰＦ’＜２ａ 逆は転換法で示すことにより 定理 Ｐが楕円Ｃ上にある ⇔ ＰＦ＋ＰＦ’＝２ａ Ｐが楕円Ｃの外部にある ⇔ ＰＦ＋ＰＦ’＞２ａ Ｐが楕円Ｃの内部にある ⇔ ＰＦ＋ＰＦ’＜２ａ が成り立つことが分かります． 
次に楕円の接線を考えましょう．直線ＸＹ上の点ＴについてＴＦ＋ＴＦ’を考えるとＴは接点Ｐ以外では楕円の外にありますから 点ＰはＴＦ＋ＴＦ’を最小にする点です．したがって，接点Ｐについて ∠ＸＰＦ’＝∠ＹＰＦ が成り立つことが分かります．これは以前に述べた次の性質を使っています． （よく使う性質） 点Ｐが直線ＸＹ上にあり，２点Ａ，Ｂが直線ＸＹに関して同じ側にある． 点ＰはＡＰ＋ＢＰを最小にする点であるから ∠ＡＰＸ＝∠ＢＰＹが成り立つ． 次の定理の証明を完成させましょう． 定理 円Ｏとこの円の外部に２点Ａ，Ｂが与えられている．このとき，点Ｐが円Ｏの周上を動くととき 次のことが成り立つ． 点ＰはＡＰ＋ＢＰを最小にする点⇔∠ＯＰＡ＝∠ＯＰＢ 
右図は２点Ａ，Ｂが焦点である楕円を少しずつ膨らませていき（２点Ａ．Ｂまでの 距離を和を少しずつ増やしていく）ちょうど円に接したことを意味しています． 点Ｔが楕円と円Ｏの接点で，直線ＸＹは楕円，円の共通接線です． 上で考えたまったく同じ理由より，Ｐが円Ｏの周上を動くときＰが接点Ｔのとき ＰＡ＋ＰＢが最小です． したがって，∠ＡＴＸ＝∠ＢＴＹが成り立つことが分かりました． ９０°を加えることにより，∠ＡＴＯ＝∠ＢＴＯと書くこともあります． Ａから出た光の円Ｏでの反射はその点における接線と等角に反射しますから，Ａから出た光が円 で跳ね返って，ちょうど点Ｂに戻ってくる円上の点ＴがＡＴ＋ＢＴを最小（最大）にすると いうこともできます． 
ここで述べたことは，円でなくても，滑らか凸の図形なら成り立ちます．それが右の図です．
準備が整いました．これから考えるのは次の問題です． 問題 ３つの町Ａ，Ｂ，Ｃがある．これらの３つの町を結ぶ道路網をつくり，その全長が最小であるものは どのように作ればよいか． 数学的に書けば次のようになります． 問題 平面上に３点Ａ，Ｂ，Ｃがある．このとき，ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣを 最小にする点Ｐを求めよ． 結論を書いておきましょう． 定理 （１）△ＡＢＣの内角がすべて１２０°より小さいとき．ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣを最小 にする点Ｐは各辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢを見込む角が１２０°（∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＡ＝ ∠ＡＰＢ＝１２０°）である点である． （２）△ＡＢＣでひとつの角が１２０度以上のとき，その頂点をＡとすればＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣを 最小にする点ＰはＡのときである．すなわち ＡＢ＋ＡＣ≦ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ が成り立つ． 
（１）から証明をしましょう．必要条件から考えます． 条件を満たす点すなわちＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣを最小にする点が見つかったとし，その点が どのような条件を満たすかを考えましょう（この方法を問題解法における必要条件 を利用する方法といいます）． 図の円はＡを中心とする半径ＡＰの円です．Ｐが円周上を 動くとき条件を満たす点はもちろんＰＢ＋ＰＣが最小となるから，∠ＢＰＡ＝∠ＣＰＡとなります． 他の点でも考えることにより ∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＡ＝∠ＡＰＢ＝１２０°・・・@ が示せました． 
次に，@を満たす点Ｐを作図しましょう．△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＡＣの外側に正三角形をつくり，それらの三角形の外接円の交点が求める点Ｐです． また，次のように考えることもできます． ∠ＡＰＢ＝１２０°および円周角の定理より∠ＡＰＥ＝６０°です． したがって，∠ＢＰＥ＝１８０°となり３点Ｂ，Ｐ，Ｅは一直線上にあります． したがって，ＤＣとＢＥの交点ということも出来ます． この点を△ＡＢＣのフェルマ点といいます． 
これだけで（１）の証明がすんだわけではありません．ここで求めた点Ｐは他の点Ｑに対して ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ≦ＱＱ＋ＱＢ＋ＱＣ 等号が成り立つのはＰとＱが一致するとき． を示す必要があります． 図を説明します．Ａを通りＡＰに垂直な直線，Ｂを通りＢＰに垂直な直線， Ｃを通りＣＰに垂直な直線による三角形が△ＤＥＦです． ここで,点Ｐは△ＡＢＣのフェルマ点，すなわち， ∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＡ＝∠ＡＰＢ＝１２０° を満たします． まず，△ＤＥＦは正三角形が分かります． また，任意の点Ｑより各辺に 下した垂線の足をそれぞれＨ，Ｊ，Ｋとする． このときこの正三角形 の１辺の長さをａとすると，正三角形の面積を考えるより ａ（ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ）＝ａ（ＱＨ＋ＱＪ＋ＱＫ） ∴ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ＝ＱＨ＋ＱＪ＋ＱＫ さらに ＱＫ≦ＱＡ，ＱＨ≦ＱＢ，ＱＪ≦ＱＣ・・A ゆえに ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ≦ＱＡ＋ＱＢ＋ＱＣ が示せました． 等号が成り立つのは，Aですべて等号が成り立つときで点Ｑが点Ｐと一致するときに限ることが分かります． 次に（２）すなわち △ＡＢＣで一つの角が１２０度以上のとき，その頂点をＡとすればＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣを 最小にする点ＰはＡのときである． を証明します． 
∠Ａ≧１２０°とします． 図は△ＤＥＦは ＡＢ⊥ＤＦ，ＡＣ⊥ＤＥ，かつＤＥ＝ＤＦ となっています． ここで∠Ｄ≦６０°よりＥＦ≦ＤＥ＝ＤＦとなります． また，Ｑから△ＤＥＦの３辺に 下ろした垂線の足をＨ，Ｊ，Ｋとします．△ＤＥＦの面積を考えることより ＤＦ・ＡＢ＋ＤＥ・ＡＣ＝ＤＦ・ＱＪ＋ＤＥ・ＱＫ＋ＱＨ・ＥＦ ≦ＤＦ・ＱＪ＋ＤＥ・ＱＫ＋ＱＨ・ＤＥ ≦ＤＥ（ＱＡ＋ＱＢ＋ＱＣ） ∴ ＡＢ＋ＡＣ≦ＱＡ＋ＱＢ＋ＱＣ 以上で証明が終了しました． なお，以上で行った証明は，回転を用いた次の方が分かりやすいかもしれません． ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣの最小値の回転を用いた証明 いくつかの点を与えたとき，どの点にもいけるような最短の連絡網を最短連絡網といいます． また，連絡網のうち，各点が頂点である多角形を作り，そこから一番長い辺を除いたものを 単純連絡網といいます．内角が１２０°以上の三角形の頂点からなる ３点の最短連絡網は単純連絡網です． ３点の最短連絡網は完全に解決しました． ４点またはそれより多い点の最短連絡網については次に続きます． ４点の最短連絡網 ５点・６点の最短連絡網 目次 |