ここでは４点の最短連絡網を考えます. ここでいう最短連絡網とは，与えられたどの点にもいける，一番短い連絡網のことです． ４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの最短連絡網について調べましょう． ここでは，四角形ＡＢＣＤが凸の場合に限定して 調べます． 凸でない場合は複雑になります.というのは、たとえば３点で考えた 最短連絡網上にさらにあと１点を付け加えた４点の 最短連絡網は最初の３点で決まります. このようなものもいっしょに 考えることは問題を複雑にするだけだからです。 
４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを与えたとき，最初に考えるの経路は平面上に１点Ｐをとり，ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ＋ＤＱ です． しかし，これはＰをどこにとっても最短ではありません． △ＡＢＰ，△ＣＤＰのフェルマ点をそれぞれＲ，Ｓとすれば，ＡＲ，ＢＲ，ＰＲ，ＰＳ，ＤＳ，ＣＳ の和の方が短くなり，さらにＰＲ，ＰＳのかわりにＲＳで置き換えたほうが短くなります． 
もしＡＲ＋ＢＲ＋ＲＳ＋ＣＳ＋ＤＳが最小なら，Ｓを固定して考えれわかるように，∠ＡＲＳ＝∠ＢＲＳ＝∠ＳＲＡ＝１２０° でなければなりません． すなわち，３本の線分が１２０°で交わる２つのものが組み合わせた次の図形すなわち， ∠ＡＲＢ＝∠ＢＲＳ（＝∠ＡＲＳ）＝ＲＳＣ＝∠ＣＳＤ（＝∠ＲＳＤ）＝１２０° を満たす図形がひとつの候補になります． なお、これから３本の線分がお互いに１２０°の角度で交わった 点が頻繁に出てきます.このような点（図で言うと点Ｒ，点Ｓ）に名前を付けた方が便利です． ここではこのような点を フェルマ結合点と呼ぶことにします. なお，最短連絡網の候補となるのは，もう１つ，周の長さより，最大辺を除いたものすなわち， 上の図でＢＡ＋ＡＤ＋ＤＣも対象になります．これは３点の場合の一つの角が１２０°以上である場合に 対応します．このＢＡ＋ＡＤ＋ＤＣが最短連絡網になるときここでは，最短連絡網が単純であるということにします． さあ，これから順序だてて最短連絡網の候補となる図形を作っていきましょう． 
まず，４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを結ぶと正方形となる場合からです．
図の太線が求める図形ですが，作るのは簡単です． 線分ＡＢを１辺とする正三角形をＡＢの外側につくり，正三角形 の外接円と辺ＡＢの垂直2等分線との交点が点Ｐで，点Ｑも同様にみつける ことが出来ます． ここで行ったように， 線分ＡＢを見込む角が１２０°の点Ｐは，ＡＢに関して 点Ｐと反対側に正三角形をつくりその外接円上，線分ＡＢを見込む角が６０°の点Ｐは ＡＢに関して点Ｐと同じに側に正三角形をつくりその外接円上に存在する． という性質はこれから議論を進める上で特によく使います． 
次に，上で求めたものが最小であることを調べましょう．右図は，Ａを通り，ＡＰに垂直である直線，Ｂを通りＢＰに垂直である直線， Ｃを通りＣＱに垂直である直線，Ｄを通りＤＱに垂直である直線による，ひし形ＳＴＵＶです． (ひし形ＳＴＵＶ）＝△ＸＶＳ＋△ＸＳＴ＋△ＶＹＵ＋△ＴＹＵ＋（四角ＶＸＴＹ） であり，ひし形の1辺の長さをａとするとＸ，Ｙを どこにとってもひし形の面積との大小を考えることにより （ＡＰ＋ＢＰ＋ＰＱ＋ＣＱ＋ＤＱ）ａ≦（ＡＸ＋ＢＸ＋ＸＹ＋ＣＹ＋ＤＹ）ａ ∴ＡＰ＋ＢＰ＋ＰＱ＋ＣＱ＋ＤＱ≦ＡＸ＋ＢＸ＋ＸＹ＋ＣＹ＋ＤＹ したがって，Ｐ，Ｑを図のようにとった場合が最小になります． 最小値を求めましょう．正方形ＡＢＣＤの1辺の長さを１とすると， ひし形の1辺の長さは 
です．したがって， 
が成り立つ．  直接計算すれば次のようになる． △ＰＡＢは∠Ｐ＝120°の２等辺三角形およびＡＢ＝１より 
次は長方形です．図は縦が３，横が４の長方形となっています．このとき，2つの連絡網が考えられます．
どちらが短いかは，実際図ってみれば，上のほうが短いことがわかります．その理由もそれほど 難しくはありません．ただ，この２つの図形より片方は少なくとも最短連絡網ではないわけですから， フェルマ連結点よりなる図形だからといって最短連絡網 になるわけではないことがわかります． 
長方形の縦の長さをａ，横の長さをｂ（ａ＜ｂ）として連絡網の長さを計算しましょう．右の図のひし形の1辺の長さは  右下の図のひし形の1辺の長さは  ここで 
となるから上の方が短いことが分かります．以上の内容から次のことが予想できます． 長方形ＡＢＣＤで辺ＡＢ，ＣＤが短い辺とする． ＡＢ，ＣＤを１辺とする正三角形△ＡＢＥ，△ＤＣＦを書き，２つの正三角形の外接円とＥＦとの交点を Ｐ，Ｑとする． このときＡＰ，ＢＰ，ＰＱ，ＱＣ，ＱＤが長方形ＡＢＣＤの最短連絡網である(下図)． 
一般の4点を扱いましょう．ここでは次の性質を使います． 
四角形ＡＢＣＤで∠Ａ＝１２０°，∠Ｄ＝１２０°のとき，ＡＢ，ＣＤの延長の交点をＰとすると
∠Ｐ＝６０°である．したがって，Ｐは線分ＢＣを見込む角が６０である円周上にある．逆に，∠Ｐ＝６０°の△ＰＢＣで，辺ＰＢ，ＰＣ上に点Ａ，ＤをＰＡ＝ＰＤを満たすようにとれば， ∠Ａ＝∠Ｄ＝１２０°の四角形ＡＢＣＤになる． 下の図を説明しましょう．辺ＡＢを見込む角が120°の円，辺ＣＤを見込む角が120°の円 および，辺ＢＣを見込む角が６０°の円が書いてあります．辺ＢＣを見込む角が６０°の円上に 点ＰをとりＱ，Ｒを図のように定めます．∠ＡＱＢ＝∠ＣＲＤ＝１２０°ですから， Ｐを動かして，∠ＡＱＲが１２０°であれば∠Ｐが６０°より自動的に∠ＱＲＣ＝１２０° となります．したがって，Ｐを周上を動かし∠ＢＱＲ＝１２０°となるＰを見つければ 条件を満たす連絡網が見つかります．すなわち２点Ｑ，Ｒがフェルマ連結点となります． 次の図はＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｐが動きますので，いろいろ 実験してみましょう． 上のresultはＡＱ＋ＢＱ＋ＱＲ＋ＲＣ＋ＲＤ，下のresultはＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ となっています．ＡＤが一番長い四角形ＡＢＣＤに限定して考えて下さい． ＰＢと円との交点がＱ，ＰＣと円との交点がＲです．∠ＡＱＢ＝∠ＣＲＤ＝１２０° ですから，Ｐを動かして∠ＢＱＲ＝１２０°となるＱを見つければ完成です．Ｐを ドラッグし探してみましょう．上のresultはＡＱ＋ＢＱ＋ＱＲ＋ＲＣ＋ＲＤ，下のresultはＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ となっています ５点・６点の最短連絡網 目次 |