回転変換を利用したいくつかの定理の証明 国際数学オリンピックの問題を見ていると，相似変換に比べて，回転変換や相似と回転の合成変換 を利用すると解きやすくなる問題は少ないように思います．しかし上記の回転変換は定理等を 証明するときにとても役に立つことがあります．以下それらの例題について扱います． 例１ △ＡＢＣの各辺の外側に正三角形ＤＣＢ，ＥＡＣ，ＦＢＡを下の図のようにつくる． このとき，ＡＤ，ＢＥ，ＣＡは１点で交わり，長さが等しいことが成り立ちます． |
まず，長さが等しいことから証明しましょう． 線分ＣＦに注目しましょう．△ＡＦＣと△ＢＣＦをそれぞれ考え △ＡＦＣをＡの周りに６０°回転すると△ＡＢＥとなり，△ＢＣＦを−６０° 回転すると△ＡＢＤになるので，ＡＤ＝ＢＥ＝ＣＦが成り立つことが分かります． |
次にＡＤ，ＢＥ，ＣＦが一点で交わることを証明しましょう． ＣＦとＢＥの交点をＰとします．ここでＣＦを６０°回転したのがＢＥですから ∠ＢＰＦ＝∠ＣＰＥ＝６０°となります． したがって，∠ＢＰＦ＝∠ＢＡＦより４点Ｂ，Ｐ，Ａ，Ｆは同一円周上にあり，同様に ４点Ａ，Ｐ，Ｃ，Ｅも同一円周上にあります． ここで， ∠ＡＰＢ＝１２０°＝∠ＡＰＣより∠ＢＰＣ＝１２０° したがって４点Ｂ，Ｄ，Ｃ，Ｐも同一円周上にあります． よって，∠ＤＰＣ＝６０°であるから∠ＡＰＤ＝１８０°より，3点Ａ，Ｐ，Ｄは一直線上． したがって，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦが一点で交わることが証明されました． 以上の証明でＡＤ，ＢＥ，ＣＦが一点で交わり，その交点をＰとすれば ∠ＡＰＢ＝∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＡ＝１２０° であることもわかりました．この点Ｐを△ＡＢＣのフェルマ点といいます． ちなみに通常のフェルマ点の定義は次です． 定義 △ＡＢＣはどの内角も１２０°より小さいとする．このとき， ∠ＡＰＢ＝∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＡ＝１２０° を満たす点Ｐを△ＡＢＣのフェルマ点という． フェルマ点に関しての次の定理はとても大切な定理です．この定理が，回転を用いるととても とても簡単に証明できます． 定理 △ＡＢＣはどの内角も１２０°より小さいとする．このとき，平面上の点Ｑで ＱＡ＋ＱＢ＋ＱＣを最小にする点Ｑは△ＡＢＣのフェルマ点である． この問題は，3つの都市Ａ，Ｂ，Ｃがあるとき，この3都市を通る最短の道路網はどのように作れば 良いか という問題と言い換えてもかまいません．そこで，この問題を最短ネットワーク問題または 最短道路網問題といいます． |
証明をしましょう．回転移動をするととても簡単に解決します． 上の図は△ＡＢ’Ｒは△ＡＢＱをＡの周りに−６０°回転させたものです．このとき △ＡＢ’Ｂ，△ＡＲＱはともに正三角形であるので ＡＱ＝ＲＱ，ＱＢ＝Ｂ’Ｒ が成り立ちます．したがって ＡＱ＋ＢＱ＋ＣＱ＝Ｂ’Ｒ＋ＲＱ＋ＱＣ≦Ｂ’Ｃ 等号が成り立つのはＱが△ＡＢＣのフェルマ点のときである．実際Ｑがフェルマ点のとき ∠ＡＱＣ＝１２０°，∠ＡＲＢ’＝ＡＱＢ＝120° であるから4点Ｂ’，Ｒ，Ｑ，Ｃは一直線上にある． 次に△ＡＢＣの一つの内角が１２０°以上のときどうなるかも面白い問題です．その解答は次の 定理です． 定理 △ＡＢＣは∠Ａ≧１２０である三角形である．このとき，平面上の点Ｑで ＱＡ＋ＱＢ＋ＱＣを最小にする点Ｑは点Ａである． |
証明はやはり，回転を利用するとすっきりします． 上の図で，△ＡＲＣ’は△ＡＱＣをＡの周りに１８０°−Ａ（≦６０°）だけ回転したものです． このとき，∠ＱＡＲ≦６０°，ＡＱ＝ＡＲよりＡＱ≧ＱＲ ∴ＢＱ＋ＡＱ＋ＣＱ≧ＢＱ＋ＱＲ＋ＲＣ’≧ＢＡ＋ＡＣ’＝ＢＡ＋ＡＣ 等号が成り立つのはＱがＡと一致するとき． なかなかすばらしい解答ではないですか．私はとても気にいっています． なお，アメリカの競技会で次の問題が出題されています． 問題 △ＡＢＣと正三角形ＰＱＲが図のような三角形で， ∠ＡＤＢ＝∠ＢＤＣ＝∠ＣＤＡ＝１２０° である．このとき，ｘ＝ｕ＋ｖ＋ｗを証明せよ．（１９７４年アメリカ第５問） |
高校生が初見でこの問題が解けるとはにわかに信じがたいです．何かこの問題の周辺の内容が話題に なったんじゃないでしょうか．しかし世の中にはすごい高校生がいるので，何とかなるのかもしれません． さて，背景が分かっていれば簡単です． |
上の図で，△ＢＤＣを点Ｂの周りに６０°回転したものが△ＢＥＰ，△ＡＣＰをＰの周りに −６０°回転したのが△ＱＢＰです．△ＡＰＱは正三角形で，一辺の長さｘはｘ＝ｕ＋ｖ＋ｗ です．証明が終了いたしました． もう少し，回転や回転と相似の合成を用いると簡単に解決する問題を扱いましょう． 次はナポレオンの定理と呼ばれています． 定理 △ＡＢＣの各辺の外側に正三角形ＤＣＢ，ＥＡＣ，ＦＢＡをつくる．このとき， この３つの正三角形の中心をそれぞれＸ，Ｙ，Ｚとすると，三角形ＸＹＺは正三角形である． |
上の図で，△ＺＢＸをＢの周りに−30°回転しsqrt(3)倍したのが△ＡＢＤで △ＣＹＸをＣの周りに30°回転しsqrt(3)倍したのが△ＣＡＤ したがって，ＸＹ＝ＸＺが分かります．他も同様で，△ＸＹＺの1辺の長さはＡＤの １／sqrt(3)倍であることも分かります． △ＡＢＣの各辺の外側に正方形を作った場合どうなるかも興味ある問題ですよね．それも 考えてみましょう．すなわち， △ＡＢＣの各辺の外側にそれぞれ正方形を作る．をつくる．このとき， この３つの正方形の中心をそれぞれＤ，Ｅ，Ｆとすると，Ｄ，Ｅ，Ｆにはどのような性質があるか調べよう． 次の2つの図をみてください． |
ここで記号を一つ使います．点Ｐの周りにθ°回転しさらにｋ倍する変換をＳ（Ｐ，θ°，ｋ） と表すことにします． 上の図より， Ｓ（Ａ，−４５°，sqrt(2))：△ＡＦＥ→△ＡＰＣ Ｓ（Ｂ，−４５°，１／sqrt(2))：△ＰＢＣ→△ＡＢＤ ここで，Ｓ（Ａ，−４５°，sqrt(2))とＳ（Ｂ，−４５°，１／sqrt(2))の合成は 新しい点の周りの−９０°回転になることは，次のページで証明します． 2つの変換の合成でＦＥはＡＤにうつるので， ＡＤ⊥ＥＦ，ＡＤ＝ＥＦ が証明できました． |