ここでは５点以上の最短連絡網を考えます. まず5点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ．Ｅについて調べましょう．５角形ＡＢＣＤＥが凸の場合に限定して 調べます． 実際に連絡網を作りましょう． この作り方は，6点，7点の場合にも利用する方法ですので，丁寧に説明します． |
辺ＡＢ，ＤＥを１辺とする正三角形を外側に，辺ＢＣを１辺とする正三角形を内側につくりその外接円をそれぞれ作る
まず，辺ＡＢ，ＤＥを1辺とする正三角形を5角形の外側に，辺ＢＣを1辺とする正三角形を ５角形の内側につくり，その外接円をそれぞれ作り順にＣ２，Ｃ３，Ｃ１とします（上図）． 次に円Ｃ１上に点Ｐを取り，ＰＢと円Ｃ２との交点をＱ，さらにＰＣ上にＰＲ＝ＰＱを満たすように 点Ｒ，さらに∠ＱＲＣの２等分線と円Ｃ３との交点をＳとします．最後にＱＡ，ＳＤ， ＳＥを結んだのが次の図です．作り方より ∠ＡＱＢ＝∠ＢＱＲ＝∠ＱＲＣ＝∠ＣＲＳ＝∠ＥＳＤ＝１２０° が成り立ちます． |
Ｃ１上に点Ｐをとり，ＰＢとＣ２との交点がＱ，ＰＱ＝ＰＲ，∠ＱＲＳの２等分線と 円Ｃ３との交点をＳとします．このとき，∠ＡＱＢ＝∠ＢＱＲ＝∠ＣＲＳ＝∠ＤＳＥ＝１２０° ですから，∠ＲＳＥ＝１２０°なら完成です．そこで，Ｐを動かして見つけましょう．下の 数字の上のresultは連絡網の長さ，下のResultは最大辺を除いた周の長さです.
したがって，点Ｐを円Ｃ１上を動かし，∠ＲＳＥが120°になれば完成です（Ｐをドラッグしてみましょう ．Ｓの上に書いてある数字が∠ＲＳＥの大きさです）． ∠ＲＳＥ＝１２０°のとき点Ｑ，Ｒ，Ｓがフェルマ連結点になります． もし，Ｐを動かしても∠ＲＳＥが120°にならなければ，このような最短連絡 網が存在しないことになります．（条件を満たす図形が存在すると仮定する． このとき，ＢＱとＣＲの交点をＰとすれば，∠ＢＰＣ＝６０°．したがってＰは 必ず円Ｃ１上にある．よって，ＰをＣ１の円周上を動かしても，∠ＲＳＥが120°にならなければ 存在しない） 5点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅもドラッグすると動くので，いろいろな場合を調べて見ることを勧めます． 
次に，6点の場合を考えましょう．これはなかなか面白いです．まず，正６角形から考えましょう．最初に考える図形は右の図です． これは最短連絡網になるでしょうか．計算してみましょう． 正6角形の１辺の長さを１とすると，点Ｐは正三角形ＡＯＦの重心です． ２ＡＰ＝１／sin６０°＝２／sqrt(3) (連絡網の長さ）＝９・ＡＰ＝３sqrt(3)＝５．１・・＞５ したがって，これは最短連絡網ではありません． 次に５角形の場合求めた方法で連絡網を作ってみましょう．この場合 フェルマ連結点が４個になります．実際に作ったのが次の図です． 次の図で，点Ｘをドラッグして動かせばからわかるように， 正6角形ではフェルマ連結点が４個ある最短連絡網は存在しません．実際Ｘを動かして∠ＡＰＱを １２０°に近づけようとすると，連絡網はどんどん単純連絡網に近づいていきます． |
Ｘを動かして，∠ＡＰＱ＝１２０°になればよいのですがなりません．１２０°に近づけようとすると，ＡＦを除いた 連絡網は外周に近づきます
正6角形となる6点では，最短連絡網は単純連絡網（周から一番長い辺を除いた連絡網） となります．しかし一般の凸となる6点では事情が異なります． 次が単純でない最短連絡網が存在する例です． |
図は連絡網が存在する６点の例です．Ｘを動かし，∠ＡＰＱ＝１２０°としてみましょう．Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ をドラッグして，いろいろな６点で考えてみましょう
次は７点の場合です．7点になると作るのがなかなか難しくなりますが，単純でない 連絡網が存在する場合もあります． |
７点の場合は，単純でない最短連絡網が存在するのは限定されます．点Ｅが 隠れています．見たければ右ドラッグし図形を左にずらしてください
7点の場合，7点から連絡網を作ると結構面倒です．しかし，例を作るだけなら，連絡網から先に作り ましょう．次の図のように少しずつ大きい正三角形を4つ並べてから作れば，7点の例が簡単に作れます． |
７点の場合，連絡網を先に（太線を先に）作ってから７頂点を作れば簡単に作れます
上の図より，凸である8点の最短連絡網は必ず単純連絡網であることがわかります． 実際，単純でない連絡網が存在すると仮定します．2つの頂点と，6個のフェルマ連結点より なる8角形を考えましょう．この8角形のフェルマ連結点における内角は１２０°です． 一方，8角形の内角の和は180°×６＝１０８０°，したがって残りの角の和が３６０°となり， 存在しないことがわかります． 以上で最短連絡網の話は終わりです．凸である８点以上の点の場合は，最短連絡網が 単純な場合となるので，４点，５点，６点，７点の場合最短連絡網が単純でない場合の 条件がとても興味のある問題です．ちなみに正多角形の場合は正５角形まででした． |
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