$\S6. \ $三角形の面積とガウス・ボンネの定理 ユークリッド幾何の第５公準は 「三角形の内角の和は$180^{\circ}$である」 と同値である．したがって，ポアンカレモデル上では三角形の内角の和は$180^{\circ}$ではない． ここではポアンカレモデル上での三角形の内角の和と三角形の面積の関係を述べ（これを局所的ガウス・ボンネの定理という）， さらに，ガウス・ボンネの定理の本質である，曲率の積分が位相不変量であることを説明する． 今考えている空間は，上半平面 $\mathbb{H}^+=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|y$＞$０\}$ であり，第１基本形式は T$=\dfrac{dx^2+dy^2}{y^2}$ で定義した． この空間の面積要素$d\sigma$は $d\sigma =\dfrac{dxdy}{y^2}$ である(交代テンソルを参照). したがって，領域$S$の面積は $\displaystyle \iint_S\dfrac{dxdy}{y^2}$ である． これは領域$S$の面積はユークリッド空間における立体 $\{(x,y,z)|(x,y)\in S,0\leqq z \leqq \dfrac{1}{y^2}\}$ の体積を求めることである．とはいっても具体的な領域の面積を求めるのは簡単という意味ではない． ここでは三角形の面積を求めるのに，合同変換を用いて計算しやすい形にして求める方法をとる． まず，$\triangle ABC$で頂点$C$が$x$軸上にある場合の面積を求めよう． 
$C$を中心とする円を反転円とする反転変換で，直線$AC,BC$は$x$軸に垂直な平行な2直線にうつるので，それを利用する．もちろん反転変換は合同変換なので面積も変えない． 右図は，反転円として$C$を中心とする$B$を通る円を用いた． 反転により$BC$の像は$B$を通る$x$軸に垂直な半直線で，$AC$の像は$A'$を通る$x$軸に垂直な半直線である． 線分$AB$の像$A'B$は平行移動および相似変換により．原点を中心とする半径$1$の円周上あるとしてよい． $A',B$の座標を$A(\cos \alpha,\sin \alpha),B(\cos \beta,\sin \beta)$ として面積を求める． 右図の赤領域を$S'$とおくと， $\displaystyle \iint_{S'}\dfrac{dxdy}{y^2}$ $\displaystyle =\int _{\cos \beta}^{\cos \alpha}\left(\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\infty}\dfrac{1}{y^2}dy\right)dx$ $\displaystyle =\int _{\cos \beta}^{\cos \alpha}\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\beta -\alpha \ \ \ (\because \int \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=-\arccos x )$ 右図形の赤領域で $\angle A'=\alpha ,\angle B=\pi -\beta$ であり，さらに等長変換は角も保つから，$\triangle ABC$で $\angle A=\alpha ,\angle B =\pi -\beta$ が成り立つ． したがって，$\triangle ABC$の面積を$S$とおくと $S=\pi -\angle A-\angle B$ が成り立つ．ここで $\angle C=0$ に注意する． 
ここまでくれば，一般の三角形の面積を求めるのは単純な計算である．右図のように $\angle DAC =\alpha ,\angle ACD=\beta$ と定め，$\triangle ABC$の内角を$A,B,C$で表すと， $\triangle ABD =\pi -(A+B+\alpha)$ $\triangle ACD=\pi-(\alpha +\beta)=\pi -(\alpha +\pi-C)$ $\therefore \triangle ABC=\pi-(A+B+C)$ これは，ポアンカレモデル上の三角形の面積は三角形の内角の和で決まることを意味している． これは決して驚くことではない．実際，半径１の球面の三角形の面積は，$\triangle ABC$の内角を$A,B,C$とすると $A+B+C-\pi$ である． 一方，半径１の球面は曲率$1$の定曲率曲面で，ポアンカレモデル$\mathbb{H}^+$は曲率$-1$の定曲率曲面である． ここで，ガウス・ボンネの定理を述べる．これまでの議論でポアンカレモデル$\mathbb{H}^+$上で次の定理が証明された． 定理（局所的ガウス・ボンネの定理） 曲面$S$上に3点$A,B,C$があり，2点間が測地線$AB,BC,CA$で結ばれている．3本の測地線$AB,BC,CA$で囲まれた図形を測地三角形$ABC$ といい，$\triangle ABC$と表す．$\triangle ABC$の各頂点における内角はその点における測地線の接線のなす角で定義する． 曲面$S$のガウス曲率を$K$,曲面$S$の面積要素を$d\sigma$とするとき，次の等式が成り立つ． $\displaystyle \iint_{\triangle ABC}Kd\sigma =A+B+C-\pi$ ガウス・ボンネの定理の一般の形は，曲線$AB,BC,CA$が測地線でない場合であるが，本質的にはこの形で十分である． 証明に興味があればガウス・ボンネの定理をご覧ください． この定理より，半径1の球面のガウス曲率は1であるから，球面三角形の面積$S$は $S=A+B+C-\pi$ であり， 半径$r$の球面の曲率は$\frac{1}{r^2}$であるから，球面三角形の面積$S$は $S=r^2(A+B+C-\pi)$ であり一致する． さらにポアンカレモデル$\mathbb{H}^+$について，第１基本形式が I$=\dfrac{dx^2+dy^2}{y^2}$ のときは曲率が$-1$で，このとき三角形の面積$S$は $S=\pi-(A+B+C)$ であり，第１基本形式が I$=\dfrac{a^2(dx^2+dy^2)}{y^2}$ のときは，曲率が$-\frac{1}{a^2}$であり，このときの三角形の面積$S$は $S=a^2(\pi-(A+B+C))$ である． ここで，ユークリッド幾何を見直そう．ユークリッド幾何の第５公準は三角形の内角の和が$2\pi$と同値であるが，これは曲面論の立場から 見るとガウス曲率が$0$という一つの例です． ユークリッド幾何の理論の土台になるのは合同条件で，合同条件が 意味があるのは定曲率の曲面だけ，曲率が正，$0$，負の場合それぞれに 幾何学が存在する． 蛇足と思う人もいると思うがもう少し説明すると， ユークリッド幾何の議論の土台になっているのは三角形の合同条件です． ２つの図形が合同ということは重ね合わせができるということで，微分幾何の言葉で言えばこれは等長変換が 存在するということです．すなわち，任意の２点の近傍同士で等長変換が存在するから， ガウスの定理よりその曲面は定曲率曲面であることが分かります． さらに，ユークリッド原論を見れば分かりますが，三角形の合同条件は，公理１から公理４までから導き出されます． すなわち，公理１から公理４までを認めれば，公理５が成り立つ，成り立たないにかかわらず，その曲面は定曲率曲面だということです． そして定曲率曲面は，曲率が正，$0$，負の場合が存在します(なお，曲率正の定曲率曲面である球面は公理1,2が成り立たないので非ユークリッド幾何としては扱わず，別に 楕円幾何として扱うのが一般的)． すなわち，ユークリッド幾何だけが正真正銘の幾何学という立場には立つべきでなく，球面，平面，非ユークリッド幾何は対等の立場の幾何学で， どの場合を選ぶかは，自分の行いたい内容に従って決めればよいわけです．(なお，これはロバチェフスキーやボリアイが非ユークリッド 幾何を主張し，その内容をガウスが支持しているにもかかわらず，非ユークリッド幾何がなかなか認められないとき， Beltramiが主張した内容[寺坂英孝著 19世紀の数学 幾何学T 共立書店,184ページ]) ところで，このような立場からユークリッドの第５公理を見ると，曲率の概念が明らかになった，１９世紀まで解決しなかったのは 当たり前なのでしょう． 
話を元に戻しましょう．ガウス・ボンネの定理はここで終わりにするともったいない．これからが大切です． ２点が近ければその２点を測地線で結ぶことができ，３点のどの２点も近いとき，その３点を頂点とする測地三角形が必ず 存在するので，$S$がコンパクトな境界のない曲面のとき， この曲面を測地三角形で分割し，その三角形を$S_i$とする．すなわち $S=S_1+\dots +S_n$ 測地三角形$S_i$の内角を$a_1^i,a_2^i,a_3^i$とすると， $\displaystyle \iint_SKd\sigma =\sum_{i=1}^n\iint_{S_i}Kd\sigma$ $\displaystyle =\sum_{i=1}^n(a_1^i+a_2^i+a_3^i-\pi)$ ここで，測地三角形の個数を$n$で，辺の個数を$m$，頂点の個数を$l$とすると $=2\pi \times l-\pi \times n$ さらに，$n,m$は $3n=2m$ より $2l-n=2l-3n+2n=2l-2m+2n=2(n-m+l)$ ここででてきた$n-m+l$は曲面$S$の位相不変量で$\chi (S)$と表す．この値を曲面の標数という． まとめると次のようになる． ガウス・ボンネの定理 曲面$S$がコンパクトで境界がないとする．$S$の各点におけるガウス曲率を$K$とすると次の等式が成り立つ． $\displaystyle \iint_{S}Kd\sigma =2\pi \chi (S)$ 
曲面は連続的に変形すると各点の曲率は変りますが，全体を積分すると位相不変量であるという見事な定理です．なお，コンパクトな境界のない曲面（閉曲面という）の位相は曲面を通りぬけることが出来る穴の個数で決まることが知られており，この穴の個数を 種数(gunus)と呼ぶ．球面は種数が$0$で右図は左より$1,2,3$の曲面である． 種数$g$の閉曲面$S$の標数$\chi (S)$は $\chi (S)=2(1-g)$ となる． 多角形と円 目次に戻る 微分幾何 |