$\S.7 \ $多角形と円 ここでは，円の面積を求める． 2方法で求め，値が一致することを確認する． 一つの方法は，外接円の半径が一定の正$n$角形の面積を求め，$n \to \infty$の極限を計算する方法で， もう一つは直線積分する方法である． 
なお，ここでは双曲幾何における三角法を用いる．三角法とは次の公式である． $\triangle ABC$で$BC=a,CA=b,AB=c$ とすると次が成り立つ. $\dfrac{\sin A}{\sinh a}=\dfrac{\sin B}{\sinh b}=\dfrac{\sin C}{\sinh c}$ $\cosh a=\cosh b\cdot \cosh c -\sinh b \cdot \sinh c\cdot \cos A$ $\cosh a=\dfrac{\cos B \cdot \cos C+\cos A}{\sin B\cdot \sin C}$ 証明は 小林昭七著 ユークリッド幾何から現代幾何へ 日本評論社 が分かりやすく優れている． まず，凸正多角形の面積を求める． $n$角形の面積は対角線により$n-2$個の三角形の分かられるので，内角を$A_1,\dots A_n$とすると $(n-2)\pi -(A_1+\dots +A_n)$ である． このように，三角形も多角形も内角の和で面積がきまる． これは，別の言い方をすればユークリッド平面における意味の相似変換はポアンカレモデル上では存在しないことを意味する． 実際，ユークリッド平面における相似変換 $w=az \ (a\in \mathbb{R},a$＞$0)$ は $w=az=\dfrac{\sqrt{a}z}{\frac{1}{\sqrt{a}}}\in \{w=\dfrac{az+b}{cz+d}|a,b,c,d\in \mathbb{R},ad-bc=1\}$ より合同変換である． 
話を戻し，正$n$角形を考える．ここでは，定点$O$を定め，放射状に$n$本の半直線を2本のなす角が$\frac{2\pi}{n}$であるように引き，$O$から一定の距離の $n$個の点を定めることにより作る． 右図で， $\angle AOB=\dfrac{2\pi}{n}$ $OA=OB=r$ とおき，$O$から$AB$に下した垂線の足を$H$とする． 直角三角形$\triangle OAH$に双曲幾何の三角法を用いると， $\cosh r=\dfrac{1}{\tan \frac{\pi}{n}\cdot \tan \frac{A}{2}}$ $\therefore \tan \frac{A}{2}=\dfrac{\tan (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{n})}{\cosh r}\cdots (\sharp)$ $\cosh r$は$\cosh 0=1$で$r\to \infty$のとき$\cosh r\to \infty$であるから $0$＜$\dfrac{A}{2}$＜$\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{n}$ すなわち，正$n$角形の内角$A$は $0$＜$A$＜$\pi -\dfrac{2\pi}{n}$ である． これは，半径が$0$の円に内接するときユークリッド幾何の正$n$角形で，半径が大きくなるにつれ内角が小さくなり， 半径が$\infty$のときは内角が$0$になることを示している． 正$n$角形の外接円の半径と内角の大きさの関係は$(\sharp)$が便利である． 例えば，内角が$90^{\circ}$である正$n$角形は$5\leqq n$のとき存在し，$n=5$のとき外接円の半径$r$は $\cosh r=\tan \frac{3\pi}{10}$ で与えられる． 次に半径$r$の円の面積を求めよう． 直接積分で計算するのはあとで行うとして，まず，外接円の半径が$r$である正$n$角形の面積を求め，$n\to \infty$の極限を 求めよう 内角を$2\theta$とおくと,正$n$角形の面積$S$は $S=(n-2)\pi-2n\theta =n(\pi -2\theta)-2\pi$ ここで，$n,\theta ,r$の関係は $\tan \theta =\dfrac{1}{\tan \frac{\pi}{n}\cosh r}$ この式より，$n\to \infty$のとき$\theta \to \frac{\pi}{2}-0$が分かる． さらに， $\dfrac{\tan \theta}{n} =\dfrac{\frac{\pi}{n}}{\pi \tan \frac{\pi}{n}\cosh r}\to \dfrac{1}{\pi \cosh r} \ \ (n\to \infty)$ したがって， $n(\pi -2\theta)=n\tan (\pi -2\theta)\cdot \dfrac{\pi -2\theta}{\tan (\pi -2\theta)}$ ここで， $n\tan (\pi -2\theta)=-n\cdot \dfrac{2\tan \theta}{1-\tan ^2\theta}$ $=-\dfrac{\frac{2\tan \theta}{n}}{\frac{1}{n^2}-\frac{\tan ^2\theta}{n^2}}$ $\therefore n(\pi-2\theta)\to 2\pi\cosh r \ \ (n\to \infty)$ $\therefore S\to 2\pi \cosh r-2\pi \ \ (n\to \infty )$ したがって， 半径$r$の円の面積は$2\pi \sinh r$であることが分かる． 
以上の極限の計算の確認もかねて，直接円の面積を求めよう．直径を$y$軸上に取り，円の中心を$(0,1)$とすれば， $(0,e^r),(e^{-r})$ を直径とする円 $x^2+(y-\cosh r)^2=\sinh ^2r$ が半径$r$の円である．この円を$S$で表すと，この円の面積は $\displaystyle \iint_S\dfrac{1}{y^2}dxdy$ $\displaystyle =\int_{-\sinh r}^{\sinh r} \left(\int_{\cosh r -\sqrt{\sinh ^2 r -x^2}}^{\cosh r +\sqrt{\sinh ^2 r -x^2}}\dfrac{dy}{y^2}\right)dx$ $=2\pi(\cosh r -1)$ で一致することが分かる． なお，この計算はDerive6(テキサス・インスツルメンツ)を利用した． 計算内容は以下のとおり． 
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