ここでは，ポンスレの閉形問題を扱います．まず，問題の内容を説明します． 定理（ポンスレ） ２円$O,I$があり，円$O$に内接しかつ円$I$に外接するn角形$A_1A_2\cdots A_n$が存在すると仮定する． このとき，円$O$上に一点$B_1$を任意にとり，$B_1$を通り円$I$に接する直線と円$O$との交点を$B_2$，$B_2$を通り円$I$に接する直線と円$O$との 交点のうち $B_1$でない方の点を$B_3$，これを順に続け，$B_1,B_2,\dots , B_n$を定める． このとき，線分$B_nB_1$は円$I$に接する． 
2つの円が与えられ，それぞれの円に内接，外接するn角形が1つ存在すれば，そのような n角形は無数に存在する． と表現される場合もあります． ポンスレの定理の説明の図は四角形の場合がです．四角形$PQRS$が円$O$に内接しかつ 円$I$に外接するなら，$P'$を外接円上どこにとっても四角形$P'Q'R'S'$は円$O$に内接し円$I$に外接します． この問題は，ポンスレ（Poncelet)により1817年に発表されたので，通常ポンスレの閉形問題といいます． この定理の$n=3$すなわち三角形の場合はすでにチャップル（Chapple)により知られており， チャップルの定理といいます． ここで扱う内容は次の通りです． $n=3,4$の場合には純初等的（一般の場合も初等的ですが）に解決します．それを第1節，第2節で 扱います．その後，一般の場合を証明するための準備を第3節で行い，第4節で一般の場合を証明します．なお，この内容は2025年4月に改訂しました． 目次 第１節 三角形の閉形問題 第２節 四角形の閉形問題 第３節 根軸と共軸円系 第４節．一般の閉形問題 全体の目次 |