ここでは，4節で述べる一般のポンスレの閉形問題の証明の準備をする． まず，円と点に関する次の定理を確認しよう． 
方べきの定理１Ｐを通る２直線が，与えられた円と2点Ａ，ＢおよびＣ，Ｄで交わるとき ＰＡ・ＰＢ＝ＰＣ・ＰＤ が成り立つ． 
方べきの定理２Ｐは円の外部にある．Ｐからこの円に引いた接線をＰＴとする． Ｐを通る直線がこの円と2点Ａ，Ｂで交わるとき ＰＡ・ＰＢ＝ＰＴ２ が成り立つ． この2つの定理より，点Ｐと円Ｏが与えられたとき，Ｐを通る任意の直線と円との交点をＡ，Ｂとすると ＰＡ・ＰＢは一定であることがわかる． ＰＡ・ＰＢの値は符号をつけた方が便利で， ＰＡとＰＢが同じ向きのとき正 ＰＡとＰＢが反対向きのとき負 と定める． この定義に従えば|ＰＡ|によって線分ＰＡの長さを表すとすると Ｐが円の内部にあるときＰＡ・ＰＢ＝−|ＰＡ|・|ＰＢ| Ｐが円の周上のときＰＡ・ＰＢ＝０ Ｐが円の外部にあるときＰＡ・ＰＢ＝|ＰＡ|・|ＰＢ| が成り立つ． このＰＡ・ＰＢの値を点Ｐの円Ｏに関するべきまたは方べきという．どちらの言い方も使われるが， 上で述べた方べきの定理は名前が確定しているので，ここでは方べきを用いる． さらに，点Ｐの円Ｏに関する方べきを〔Ｐ〕Ｏと表すことにする． 命題 円Ｏの半径をＲとする．点Ｐの円Ｏに関する方べき〔Ｐ〕Ｏは 〔Ｐ〕Ｏ＝ＯＰ２−Ｒ２ が成り立つ. 
証明（@）点Ｐが円Ｏの外部にあるとき. Ｐから円Ｏに引いた接線をＰＴとすれば 〔Ｐ〕Ｏ＝ＰＴ２ であるから 〔Ｐ〕Ｏ＝ＯＰ２−Ｒ２ （A）Ｐが円Ｏの内部にあるとき. Ｐを通る直径をＡＢとし，ＯＰ＝ｄとおくと 〔Ｐ〕Ｏ＝ＰＡ・ＰＢ＝−（Ｒ＋ｄ）（Ｒ−ｄ）＝ＯＰ２−Ｒ２ 
円Ｏに関する点Ｐの方べきの意味は，点Ｐが円の外部にあるときＰから引いた接線の長さの平方です．点Ｐが円Ｏの内部にあるときは,Ｐを通りＯＰに垂直な直線と円Ｏとの交点をＱとすれば 〔Ｐ〕Ｏ＝−ＰＱ＾２ です．すなわち，円Ｏの周上の点Ｑから，Ｏを中心とする点Ｐを通る円に引いた接線の長さの平方にマイナスの 符号をつけたものです． 上の命題より，円の方程式用いて，方べきを表すと次の命題になる． 命題 円Ｏの方程式を（ｘ−ａ）２＋（ｙ−ｂ）２＝Ｒ２とする． このとき，点Ｐ（ｘ０，ｙ０）の 円Ｏに関する方べきは（ｘ０−ａ）２＋（ｙ０−ｂ）２− Ｒ２すなわち， ｘ２，ｙ２の係数が１の円の方程式をｆ（ｘ，ｙ）＝０と書いたとき 〔Ｐ〕Ｏ＝ｆ（ｘ０，ｙ０） である． 次に，次に同心円でない2円Ｏ，Ｏ’が与えら得たとき，２つの円に関する方べきが等しい Ｐの軌跡を調べよう． この点Ｐの軌跡を2円Ｏ，Ｏ’の根軸という． 命題 同心円でない2円Ｏ，Ｏ’がある．2円Ｏ，Ｏ’に関するべきの等しい点Ｐの軌跡は2円の中心を結ぶ直線に垂直な 直線である． 証明１ 座標を用いた方が分かりやすい． Ｏ（０，０），Ｏ’（ａ，ｂ）とおき，円Ｏ，Ｏ’の半径をそれぞれＲ，Ｒ’とする． Ｐ（ｘ，ｙ）とおけば ｘ２＋ｙ２−Ｒ２＝（ｘ−ａ）２＋（ｙ−ｂ）２ −Ｒ’２ ∴ ａｘ＋ｂｙ＝（一定） したがって，ＯＯ’に垂直な直線である． 
証明２図形的には次のように証明する． ＰからＯＯ’に下ろした垂線の足をＨ，ＯＯ’の中点Ｍ，円Ｏ，Ｏ’の半径をそれぞれＲ，Ｒ’とする． ＰＯ２−Ｒ２＝ＰＯ’２−Ｒ’２ より ＰＯ２−ＰＯ’２＝Ｒ２−Ｒ’２ 一方 ＰＯ２−ＰＯ’２＝ＯＨ２−Ｏ’Ｈ２＝ＯＯ’・２ＭＨ ＯＯ’とＭＨの向きが同じときは正，反対のときは負とする． このとき，Ｏ，Ｏ’，Ｍは定点で，Ｒ，Ｒ’は定数であるから Ｈは定点である. したがって，Ｈを ＭＨ＝（Ｒ２−Ｒ’２）／２ＯＯ’ で定めれば，点Ｐは点Ｈを通りＯＯ’に垂直な直線を動く． （ＰからＯＯ’に下ろした垂線の足がＰによらず一定であることが示された） 上の命題より，２円Ｏ，Ｏ’の根軸は次の通りである． 命題 ２円Ｏ，Ｏ’の根軸は次のとおりである． （１）２点で交わるとき，その交点をＡ，Ｂとすれば根軸は直線ＡＢである． （２）点Ｔで接するとき，根軸はＴを通り，ＯＯ’に垂直な直線である． （３）交わらないとき，２円Ｏ，Ｏ’の半径をそれぞれＲ，Ｒ’，ＯＯ’の中点をＭとする． ＯＯ’上の点ＨをＭＨ＝（Ｒ２−Ｒ’２）／２ＯＯ’で決めれば，根軸はＨを通り，ＯＯ’に 垂直な直線である． 証明 （１）〔Ａ〕Ｏ＝０＝〔Ａ〕Ｏ’，〔Ｂ〕Ｏ＝０＝〔Ｂ〕Ｏ’より， Ａ，Ｂはともにべきの等しい点である． （２）〔Ｔ〕Ｏ＝０＝〔Ｔ〕Ｏ’よりＴは直線ＯＯ’上にあり， かつ方べきの等しい点である． （３）上の命題より成り立つ． 同心でない2円Ｏ，Ｏ’について，直線ＯＯ’をｘ軸とする座標軸を導入して考える． 2円の中心Ｏ，Ｏ’はｘ軸上にあるから， 円Ｏは ｘ２＋ｙ２−２ａｘ＋ｂ＝０ ・・・@ 円Ｏ’は ｘ２＋ｙ２−２ａ’ｘ＋ｂ’＝０ ・・・A と表せる． 2円Ｏ，Ｏ’の根軸は方べきの等しい点の軌跡であるから @−Aより ２（ａ’−ａ）ｘ＝ｂ’−ｂ ここで，２円Ｏ，Ｏ’は同心でないからａ’≠ａ. したがって，２円Ｏ，Ｏ’の根軸がｙ軸になるための条件は ｂ＝ｂ’ 逆に，ｂは定数とし ｘ２＋ｙ２−２ａｘ＋ｂ＝０ （ｂは定数） と表せる円の集合を考えると，この集合に属する任意の２円の根軸はｙ軸である． @の円の集合のように，どの２つの円の根軸も一致する円の集合を共軸円系をなすという． ｙ軸が根軸である共軸円系の集合 ｘ２＋ｙ２−２ａｘ＋ｂ＝０ （ｂは定数）・・・@ をもう少し調べよう． （T）定数ｂが負のとき. ｂを新しく−ｂ２とおけば 円@と根軸であるｙ軸との交点は（０，ｂ），（０．−ｂ）であるから， 円@か必ず根軸上の点（０，ｂ），（０．−ｂ）を通る． （U）定数ｂが０のとき． 円@は原点を通り，円の中心がｘ軸上より，円はｙ軸に接する． このときは，全ての円はお互いに原点で接する円である． （V）定数ｂが正のとき． ｂを新しくｂ２とおくと，すなわち ｘ２＋ｙ２−２ａｘ＋ｂ２＝０ （ｂは定数）・・・A のとき，円Aは （ｘ−ａ）２＋ｙ２＝ａ２−ｂ２ したがって，−ｂ＜ａ＜ｂのときは@を満たす図形は存在しない． ａ＝ｂ，−ｂのときは点（ｂ，０），（−ｂ，０）． ａ＜−ｂ，ｂ＜ａのとき ａ２−ｂ２−（ａ−ｂ）２＝２（ａ−ｂ）ｂ＞０ より，円Aは（ｂ，０），（−ｂ，０）のいずれかを含む円の集合であり（Aの左辺にｘ＝ｂ，ｙ＝０または ｘ＝−ｂ，ｙ＝０を代入し負になることを示しても良い），この ２点（ｂ，０），（−ｂ，０）をこの共軸円系の円の限点という． なお，この限点は後で反転でも出てくる． 共軸円系をなす円の集合は以上の（１），（２），（３）のように３種類ある． （１）の場合，すなわち２点で交わる場合を楕円型共軸円系または交わる共軸円系， （２）の場合，すなわち１点で接する場合を放物型共軸円系または接する共軸円系， （３）の場合，すなわち共有点を持たない場合を双曲型共軸円系または交わらない共軸円系 という． 共軸円系の集合の別の見方をしよう． ｙ軸が根軸である共軸円系の集合は ｘ２＋ｙ２−２ａｘ＋ｂ＝０ （ｂは定数） である． 楕円型共軸円系すなわち交わる共軸円系のとき分かりやすいので，そこから説明する． この共軸円系に属する２円Ｏ，Ｏ’の交点をＡ，Ｂとすると，２円Ｏ，Ｏ’を含む共軸円の集合は２点Ａ，Ｂを通る円である． したがって，２円Ｏ，Ｏ’を ｘ２＋ｙ２−２ａｘ＋ｂ＝０． ｘ２＋ｙ２−２ａ’ｘ＋ｂ＝０ とおくと，共軸円系に属する円は ｋ（ｘ２＋ｙ２−２ａｘ＋ｂ） ＋ｍ（ｘ２＋ｙ２−２ａ’ｘ＋ｂ）＝０ ・・@ と表せる．ｋ＋ｍ＝０の時は直線ＡＢでこれは根軸でここでは考えない． ｋ＋ｍ≠０である． したがって，両辺をｋ＋ｍで割り@は ｔ（ｘ２＋ｙ２−２ａｘ＋ｂ）＋ ｓ（ｘ２＋ｙ２−２ａ’ｘ＋ｂ）＝０ （ｔ＋ｓ＝１）・・・A ∴ ｘ２＋ｙ２−２（ａｔ＋ａ’ｓ）ｘ＋ｂ＝０ と表せる． さらに， u＝ａｔ＋ａ’ｓ＝ａｔ＋ａ’（１−ｔ） ＝（ａ−ａ’）ｔ＋ａ’ でａ−ａ’≠０よりｔが実数全体を動けばuは実数全体を動く． 一方，円Ｏ,Ｏ’に関する点Ｐの方べき〔Ｐ〕Ｏ,〔Ｐ〕Ｏ'を持ちいれは式Aは ｔ〔Ｐ〕Ｏ＋ｓ〔Ｐ〕Ｏ'＝０ （ｔ＋ｓ＝１） となる．この式は 〔Ｐ〕Ｏ：〔Ｐ〕Ｏ'＝ｓ：−ｔ （ｓ＋ｔ＝１） とすることもできる．すなわち，２円Ｏ，Ｏ’を含む共軸円系に属する円は，２円Ｏ，Ｏ’に関する方べきの比が一定 である点Ｐの軌跡となっている． これは楕円型共軸円系に限ったわけではない．実際ｔ＋ｓ＝１のとき ｔ（ｘ２＋ｙ２−２ａｘ＋ｂ） ＋ｓ（ｘ２＋ｙ２−２ａ’ｘ＋ｂ）＝０ 定数項はta+sb=bより，同じ共軸円系に属する．したがって，次の命題が成り立つ． 命題 ２円Ｏ，Ｏ’と同じ共軸円系に属する円は， 〔Ｐ〕Ｏ：〔Ｐ〕Ｏ’ を一定にする点Ｐの軌跡である． 逆，すなわち 〔Ｐ〕Ｏ：〔Ｐ〕Ｏ’ を一定にする点Ｐの軌跡は２円Ｏ，Ｏ’と共軸の円である． 準備が整ったので，第４節で用いる重要な命題を述べる． 命題 双曲型共軸円系(交わらない共軸円系)の円よりなる集合で，直線に接する円は存在しても２つである． さらに，２つ存在するとき，その円の 中心は，根軸に関して反対側に１つずつある． 証明 ｙ軸が共通の根軸である，双曲型共軸円系の円の集合 ｘ２＋ｙ２−２ａｘ＋ｂ＝０ （ｂは定数でｂ＞０）・・・@ で考えればよい． 直線をｙ＝ｍｘ＋ｎとおくと，@に代入し ｘ２＋（ｍｘ＋ｎ）２−２ａｘ＋ｂ＝０ Ｄ／４＝０を計算すると， ａ２−２ｍｎａ−｛ｎ２＋ｂ（１＋ｍ２）｝＝０ ｂ＞０より，解は正負１つずつである． したがって，直線ｙ＝ｍｘ＋ｎに接する円の中心は 共軸に関して両側に１つずつある． 直線ｘ＝ｍのとき．@に代入すると ｍ２＋ｙ２−２ａｍ＋ｂ＝０ ｙが重解をもつから ｍ＝０のとき条件を満たすａは存在しない． ｍ＝０のとき条件を満たすａはただ一つ存在する． 以上より命題が証明された． 命題 ２円Ｏ，Ｏ’があり，円Ｏ’は円Ｏに含まれれる．このとき，円Ｏに含まれる，Ｏ，Ｏ’と共軸円系の円で 与えら得た直線に接する円は存在してもただ一つである． 証明 円Ｏ’は円Ｏに含まれるから，２円Ｏ，Ｏ’は根軸に関して同じ側にある． さらに，円Ｏ含まれる円の中心は，根軸に関して円Ｏの中心と同じ側にある， したがって，与えられた２直線に接する条件を満たす円は存在してもただ一つである． 第４節 一般の閉形問題 ポンスレの閉形定理の目次 全体の目次 |