方べきは
$[P]_O=PO^2-R^2$
であるから，2円$O,O'$が同心円のとき根軸は存在しない．
命題3-2
同心円でない2円$O,O'$がある．2円$O,O'$に関するべきの等しい点$P$の軌跡(根軸)は2円の中心を結ぶ直線に垂直な直線である．

証明
$O(0,0),O'(a,b)$とおき，円$O,O'$の半径をそれぞれ$R,R'$とする．
根軸上の点を$P(x,y)$とおけば
$x^2+y^2-R^2=(x-a)^2+(y-b)^2-R'^2$
より
$ax+by=$(一定)
したがって，$OO'$に垂直な直線である．(証明終わり)

命題3-2より2円の根軸を求めるには，2円の方べきが等しい点を一つ求めればよい．

2円$O,O'$の根軸を求めよう．

$\bullet$2円$O,O'$が2点で交わるとき．
交点を$A,B$とすると，
$[A]_O=0,[A]_{O'}=0$
より$A$を通り，2円の中心を結ぶ直線$OO'$に垂直な直線，すなわち直線$AB$である．
$\bullet$2円$O,O'$が接するとき(内接，外接)
接点を$A$とすると，$A$を通り直線$OO'$に垂直な直線. すなわち，$A$における2円$O,O'$の接線である．
$\bullet$2円$O,O'$が共有点を持たないとき．
2円の片方がもう一方の外部にあるとき．
共通接線(共通内接線，外接線)の接点の中点を結ぶ直線である．
片方の円がもう一方の円に含まれるときは後で述べる(根心の性質を用いる)．

次に，3円が与えられたとき，2円ずつの根軸の関係を調べよう．
3円$O_1,O_2,O_3$の中心$O_1,O_2,O_3$が同一直線上にあるとき，2円の根軸はそれぞれ中心を結ぶ直線に垂直，3本の根軸は平行である．
3円$O_1,O_2,O_3$の中心$O_1,O_2,O_3$が同一直線上にないとき．
2円$O_1,O_2$の根軸を$l_{12}$,2円$O_2,O_3$の根軸を$l_{23}$,2円$O_3,O_1$の根軸を$l_{31}$とする．
$l_{12},l_{23}$は平行でないから，交点を$A$とする．
このとき,点$A$は
$[A]_{O_1}=[A]_{O_2}$ かつ $[A]_{O_2}=[A]_{O_3}$
をみたすから
点$A$は2円$O_3,O_1$の根軸上の点である．
したがって，3本の根軸$l_{12},l_{23},l_{31}$は1点で交わる．
命題3-3
3円$O_1,O_2,O_3$の中心が一直線上にない時，2円$O_1,O_2$の根軸，2円$O_2,O_3$の根軸，2円$O_3,O_1$の根軸は 1点で交わる．この点を3円$O_1,O_2,O_3$の根心という．

例
3円$O_1,O_2,O_3$の中心が一直線上になく，2円ずつが2点で交わるとき，3本の共通弦が1点で交わる(fig.1)．
3円$O_1,O_2,O_3$のそれぞれの2円が外接しているとき，共通内接線が一点で交わる(fig.2).
ちなみに(fig.2)で3円$O_1,O_2,O_3$の根心$P$は$\triangle O_1O_2O_3$の内心である．

片方の円がもう一方の円に含まれる時，根軸は次のように作図すればよい． 円$O,O'$の片方がもう一方に含まれる時，$O,O'$と共有点を持つ第3の円を$O''$とする．$O,O''$および$O',O''$の共通弦またはそれらの延長の交点を$A$とすると，点$A$は2円$O,O'$の根軸上にある．したがって，点$A$より直線$OO'$に下ろした垂線が2円$O,O'$の根軸である．

同心でない2円$O,O'$について，直線$OO'$を$x$軸とする座標軸を導入して考える．
2円の中心$O,O'$は$x$軸上にあるから， 円$O$は
$x^2+y^2-2ax+b=0\cdots $�@
円$O'$は
$x^2+y^2-2a'x+b'=0\cdots$�A
と表せる．
2円$O,O'$の根軸は方べきの等しい点の軌跡であるから �@−�Aより
$2(a'-a)=b'-b$
ここで，２円$O,O'$は同心でないから$a'\neq a$.
したがって，２円$O,O'$の根軸が$y$軸になるための条件は
$b=b'$
逆に，$b$は定数とし
$x^2+y^2-2ax+b=0, \hspace{1cm}(b\text{は定数})\cdots (\sharp)$
と表せる円の集合を考えると，この集合に属する任意の2円の根軸は$y$軸である．
$(\sharp)$の円の集合のように，どの2つの円の根軸も一致する円の集合を共軸円系をなすという．
$y$軸が根軸である共軸円系の集合$(\sharp)$をもう少し調べる．
定数$b$を場合分けする．
$(1) \ b < 0$のとき
$b$を新しく$-b^2 $とおけば
$x^2+y^2-2ax-b^2=0\cdots (\sharp _1)$
円$(\sharp _1)$と根軸である$y$軸との交点は$(0,b),(0,-b)$であるから， 円$(\sharp _1)$は必ず根軸上の点$(0,b),(0,-b)$を通る．

$(2) \ b=0$のとき
円$(\sharp)$は原点を通り，円の中心が$x$軸上より，円は$y$軸に接する．
このときは，全ての円はお互いに原点で接する円である．

$(3) \ b > 0$のとき
$b$を新しく$b^2 (b > 0)$とおくと
$x^2+y^2-2ax+b^2=0,\hspace{1cm}(b > 0)\cdots (\sharp _3)$
$(\sharp _3)$のどの2つの円ももし共有点を持つとするとそれは根軸上にあり，根軸である$y$軸とは共有点を持たないから，$(\sharp _3)$のどの2つの円も共有点を持たない．
円$\sharp _3$は
$(x-a)^2+y^2=a^2-b^2$
であるから
$-b < a < b$のとき$(\sharp _3)$を満たす図形は存在しない．
$a=b,-b$のとき$(\sharp _3)$を満たす図形は点$(-b,0),(b,0)$.
$a < -b,b < a$のとき
$(\sharp _3)$の左辺を$f(x,y)$と置くと
$a > b$のとき
$f(b,0)=2b(b-a) < 0$
$a < -b$のとき
$f(-b,0)=2b(b+a) < 0$
でさらに，$(\sharp _3)$は$y$軸と交わらないから
$(\sharp _3)$は$a > b$のとき$(b,0)$を含み$a < -b$のとき$(-b,0)$を含む．
$(b,0),(-b,0)$を$(\sharp _3)$の限点と呼ぶ．限点は$(\sharp _3)$で点となるときのその点である．

共軸円系をなす円の集合は以上の$(1),(2),(3)$の3種類ある．
$(1)$の場合，すなわち2点で交わる場合を楕円的共軸円系
$(2)$の場合，すなわち１点で接する場合を放物的共軸円系
$(3)$の場合，すなわち共有点を持たない場合を双曲的共軸円系
と呼ぶ．

中心が$x$軸上で根軸が$y$軸である共軸円系をなす円は
楕円的共軸円系なら
$x^2+y^2-2ax-b^2=0,\hspace{1cm}(b$は定数,$b > 0)$
放物的共軸円系なら
$x^2+y^2-2ax=0$
楕円的共軸円系なら
$x^2+y^2-2ax+b^2=0,\hspace{1cm}(b$は定数,$b > 0)$
と表せる． 共軸円系の集合の別の見方をしよう．
共軸円系をなす円の集合
$x^2+y^2-2ax+b=0$
ここで$b$は定数，$a$は任意の実数である．ただし，$b > 0$のとき
$a\leqq -\sqrt{b},\sqrt{b} \leqq a$
ここで,この共軸円系に含まれる円を２つとりそれを
$C_1:x^2+y^2-2ax+b=0,C_2:x^2+y^2-2a'x+b=0$
とする．
$m,n$を任意の定数として
$C:m(x^2+y^2-2ax+b)+n(x^2+y^2-2a'x+b)=0\cdots (\flat)$
を考える．
$m+n=0$のとき$C$は2円$C_1,C_2$の根軸である．
$m+n\neq 0$のとき，$C$の両辺を$m+n$で割って, $C:m(x^2+y^2-2ax+b)+n(x^2+y^2-2a'x+b)=0,\hspace{1cm}(m+n=1)$
としてよい．このとき円$C$は
$x^2+y^2-2(ma+na')x+b=0$
であり,$ma+na'(=a'+m(a-a'))$は実数全体を動くから，曲線の集合
$m(x^2+y^2-2ax+b)+n(x^2+y^2-2a'x+b)=0$
は2円$C_1,C_2$を含む共軸円系をなす円全体および根軸である．
$x^2+y^2-2ax+b,x^2+y^2-2a'x+b$
はそれぞれ点$P(x,y)$の円$C_1,C_2$に関する方べき$[P]_{C_1},[P]_{C_2}$である．
したがって，$(\sharp)$は点$P(x,y)$の2円$C_1,C_2$に関する方べき$[P]_{C_1},[P]_{C_2}$の比を一定にする点の軌跡と述べてもよい．
したがって，次の命題を得る．
命題3-4
2円$C_1,C_2$は同心円でない．このとき，2円$C_1,C_2$への方べきの比が一定の点 の軌跡$C$は円であり，かつ3円$C_1,C_2,C$は共軸円系をなす．

例
直線$m$が2円$C_1,C_2$とそれぞれ$A_1,A_2$および$B_1,B_2$で交わっている．
$A_1,A_2$における円$C_1$の接線と$B_1,B_2$における円$C_2$の接線による4個の交点は同一円周上にある．さらにその円を$C$とすれば3円$C_1,C_2,C$は共軸円系をなす.
実際，$P,Q,R,S$を右図のように定める.
$\angle PA_1A_2=\angle QA_2A_1=a$
$\angle RB_2B_1=\angle QB_1A_2=b$
とおく．($\triangle DA_2A_1,\triangle EB_1B_2$を考える)
$\triangle PB_1A_1$で正弦定理より
$PA_1:PB_1=\sin b:\sin a$
同様に
$QA_2:QB_1=\sin b:\sin(\pi- a)=\sin b:\sin a$
$RA_2:RB_2=\sin b:\sin a$
$SA_2:SB_2=\sin b:\sin (\pi -a)=\sin b:\sin a$
したがって，$P,Q,R,S$の円$C_1,C_2$に関する方べきの比が一定である，この4点は同一円周上にあり，さらにその円を$C$とすると，3円$C_1,C_2,C$は共軸円系をなす．

命題3-4は次節の定理の証明用いられる．
楕円的共軸円系，放物的共軸円系は比較的扱いやすい．
双曲型共軸円系をなす円の場合を調べよう．
中心が$x$軸上にあり，根軸が$y$軸である双曲的共軸円の集合
$x^2+y^2-2ax+b^2=0 \hspace{1cm}(b > 0)\cdots (1)$
で考える．
共軸円系$(1)$の限点は，点(半径$0$の円)になる場合であるから
$(x-b)^2+y^2=0,(x+b)^2+y^2=0$
より$(b,0),(-b,0)$
$A(b,0),B(-b,0)$とおく．
$a > b,a < -b$のとき$(1)$に属する円
$x^2+y^2-2ax+b^2=0\cdots (2)$
と$x$軸との交点を求めると
$x=a\pm\sqrt{a^2-b^2}$
より$(a+\sqrt{a^2-b^2},0),(a-\sqrt{a^2-b^2},0)$が円$(2)$の直径である．
$C(a+\sqrt{a^2-b^2},0),D(a-\sqrt{a^2-b^2},0)$
とおく．2点$C,D$は線分$AB$を同じ比に内分する点，外分する点になっている．
それを示すには，複比$[A,B;C,D]=-1$を示せばよい．
$[A,B;C,D]=\dfrac{(a+\sqrt{a^2-b^2})-b}{(a+\sqrt{a^2-b^2})+b}\cdot \dfrac{(a-\sqrt{a^2-b^2})+b}{(a-\sqrt{a^2-b^2})-b}$
$=\dfrac{\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}\cdot \dfrac{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}-\sqrt{a+b}}$
$=-1$
円$(2)$が限点$A(b,0),B(-b,0)$を基点とするアポロニウスの円であることが分かる．
したがって，次の性質が成り立つ．
命題3-5
双曲型共軸円系をなす円の集合に属する円は，限点を基点とするアポロニウスの円である．

次にアポロニウスの円とその基点の関係を調べよう．
円$C$を$A,B$を基点とするアポロニウスの円とする．直線$AB$と円$C$との交点を$P,Q$ とすると，$P,Q$は線分$AB$を同じ比に内分，外分する点である．
直線$AB$を$x$軸とし，線分$PQ$の中点を原点とする．このとき
$P(-r,0),Q(r,0),A(a,0),B(b,0),\hspace{1cm}(0 < a < r < b)$
点列$A,B;P,Q$が調和点列をなすから $\dfrac{AP}{BP}\cdot \dfrac{BQ}{AQ}=-1$
したがって
$r^2=ab$
これは，円$C$に関して$A,B$は対称な点であることを示している．
円$C$を反転円とする反転変換を$I(C)$とすれば
$A\stackrel{I(C)}{\longmapsto}B$
といってもよい．
したがって，次の2つの命題が分かる．
命題3-6
円$C$が$A,B$を基点とするアポロニウスの円ののとき，2点$A,B$は円$C$に関して対称である．

命題3-7
2円$O_1,O_2$が共有点を持たないとき，2円の限点を$A,B$は円$O_1$に関しても$O_2$ に関しても対称である．

例
2円$C_1:x^2+y^2=1,C_2:(x-\sqrt{20})^2+y^2=9$の限点を求める．
両円に関して対称な2点は実軸上にあり，$x,y$とすると
$\begin{cases}xy=1\\(x-\sqrt{20})(y-\sqrt{20})=9\end{cases}$
を満たす．
これを解くと
$x=\dfrac{1}{\sqrt{5}},y=\sqrt{5}$
したがって限点は $(\frac{1}{\sqrt{5}},0),(\sqrt{5},0)$である．

2円$O_1,O_2$が共有点を持たないとき，限点を$A,B$とし，$A,B$を通る 任意の円を$C_1,C_2$とする．
$A$を中心とする円を反転円とする反転変換を$I(A)$とする．
$B\stackrel{I(A)}{\longmapsto}B'$
とすれば，$I(A)$による2円$C_1,C_2$の像は$B'$を通る直線でその直線を$l_1,l_2$とする．
一方，$O_1,O_2$はそれぞれ$C_1,C_2$に直交するからその像は$l_1,l_2$に直交する． 直線に直交する円の中心は直線上にあるから，$I(A)$による2円の$O_1,O_2$の像の中心は$l_1,l_2$の交点，すなわち同じ点で同心円であることが分かる．
すなわち，つぎの命題が成り立つ．
命題3-8
2円$O_1,O_2$が共有点を持たないとき，2円の限点の片方を中心とする円を反転円とする反転変換による$O_1,O_2$の像は同心円である．

もし，複素変数の1次分数変換の知識があれば，2円$O_1,O_2$がその限点$A,B$を基点とするアポロニウスの円になることも分かり易い．
実際，複素平面$\mathbb{C}$上で考える．
$A(a),B(b)$とする．
1次分数変換
$w=\dfrac{z-b}{z-a}$
によって，2点$A,B$を通る2円$C_1,C_2$の像は原点を通る直線で，2円$O_1,O_2$の像は原点を中心とする同心円．
$O_1$の像の半径を$r$とすると
円$O_1$は
$\dfrac{|z-b|}{|z-a|}=r$
すなわち
$|z-b|:|z-a|=r:1$
より$A(a),B(b)$を基点とするアポロニウスの円である．

第４節　一般の閉形問題

ポンスレの閉形定理の目次

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