第4節 一般の閉形問題

まずいくつかの準備をする.
命題1
2円O,O’の根軸をmとする.任意の点Pについて,Pからmに下ろした垂線の 足をQとする.このとき
〔P〕O’−〔P〕=2O’O・QP
が成り立つ.


証明
円O,O’の半径をそれぞれR,r, 直線OO’とmの交点をK,Pから直線OO’に下ろした垂線の足をH, 線分OO’の中点をMとする.
このとき,
〔P〕O’−〔P〕=PO’−r−(PO−R
ここで,
PO'−PO=HO'−HO=2MH・O’O
また,直線mは根軸より,
KO―R=KO’−r
よって
−r=KO−KO’=2KM・O’O
したがって,
〔P〕O’−〔P〕
=2KM・O’O+2MH・O’O
=2KH・O’O=2QP・O’O


命題2
3つの円O,O’,O”の中心が一直線上にあり,点Pが円O上にある.
このとき,次の式が成り立つ.
3円O,O’,O”が共軸円系をなす
⇔〔P〕O’:〔P〕O”=O’O:O”O


証明
(→)
3円の根軸をmとし,Pよりmに下ろした垂線の足をQとする.
命題1より
〔P〕O’−〔P〕=2QP・O’O
〔P〕O”−〔P〕=2QP・O”O
ここで,〔P〕=0より
〔P〕O’:〔P〕O”=O’O:O”O
が成り立つ.


(←)
2円O,O’の根軸を直線m,2円O,O”の根軸を直線nとし, Pから2直線m,nに下ろした垂線の足をそれぞれQ,Rとする.
命題1より
〔P〕O’−〔P〕=2QP・O’O
〔P〕O”−〔P〕=2RP・O”O
ここで,
〔P〕=0
および
〔P〕O’:〔P〕O”=O’O:O”O より,QP=RP.
したがって,根軸m,nは一致するので,3円O,O’,O”は共軸円系をなす.


命題3
(1)
円Oに内接する四角形ABCDの辺AC,BDに接する任意の円O’のAC,BDとの接点を それぞれP,P’とし, 直線PP’とAB,CDまたはその延長との交点をそれぞれQ,Q’とする.
このとき,AB,CDとQ,Q’で接する2円O,O’と共軸な円O”が存在する.

(2)
円Oに内接する四角形ABCDの辺AB,CDに接する任意の円O”のAB,CDとの接点をそれぞれ Q,Q’とし,直線QQ’とAC,BDまたはその延長との交点をそれぞれP,P’とする.
このとき,AC,BDとP,P’で接する2円O,O”と共軸な円O’が存在する.


証明

(1)
△APQと△DP’Q’において
∠A=∠D,∠P=∠P’
より
AP:AQ=DP’:DQ’
Pを通り,P’Bに平行な直線を引きABとの交点をNとする.
このとき
AP:AQ=NP:NQ(∵ PQは∠APNの二等分線 ∵RP=RP’)
=BP’:BQ
同様に
DP’:DQ’=CP:CQ’
ゆえに
AP:AQ=BP’:BQ=CP:CQ’=DP’:DQ’
(∵ 真ん中の等号は△BP'A∽△CPQ')
ここで,O”を
OO’:OO”=AP:AQ
によって定め,O”が中心で,O,O’と共軸であるように円O”を定めると, 命題2より, O上の任意の点Pで 〔P〕O’:〔P〕O”=AP:AQ
一方Aから円O”に接線ATを引くと
AT=AQ
よってAT=AQ.
同様にBから円O”に接線BSを引くと
BQ=BS
ABの長さがA,Bから円O”に引いた接線の長さの和であるから,ABは円O” に接する(証明は後).
同様に円O”はACにも点Q’で接するから円O”はAB,CDにそれぞれ Q,Q’で接することが分かる.
(1),(2)は同じことである. 最後に証明の中で用いた次の補助命題を証明する.


補助命題
円Oと線分ABがあり,A,Bから円Oに引いた接線をAT,BSとする.
このときAB=AT+BSならABは円Oに接する.


証明
転換法で証明する.

円の中心Oから辺ABに下ろした垂線の足をHとする.
ABが円Oの接線のとき
AB=AT+BS
直線ABが円Oの外にあるとき
AT=AO−R>AO−OH=AH
よってAT>AH.
同様にBS>BH.
∴ AB<AT+BS
直線ABが円Oと2点で交わるとき
AT<AH,BS<BH
より
AB>AT+BS
したがって,転換法より
AB=AT+BS
なら直線ABは円Oに接する.
なお,もちろん,A,Bの設定の仕方によっては和が差すなわちAB=AT−BSに変わることもある.


以上で,ポンスレの閉形定理を証明する準備が整いました.

定理(ポンスレ)
2円O,O’があり,Oに内接しかつ円O’外接する n角形A・・Aが存在すると仮定する.
このとき,円O上に一点Bを任意にとり,Bを通り円O’に 接する直線と円Oとの交点のうちBでない方との点をB,B を通り円O’に接する直線と円Oとの交点のうちBでない方との点をB,これを順に続け,B,B,B,・・・,Bを定める. このとき,線分Bは円O’に接する.


証明
四角形Aで A,Bが円O'に接するから, 2円O,O’と共軸でA,Aに接する円があり, さらに,その円は共軸の片方側にあるのでただ一つ存在する.
同様に,A,Aに接する,
2円O,O’と共軸な円がただ1つ存在し,ともにAに接する から,2円は一致する.
同様の議論を繰り返すことによい,A,A,・・・.A に接し,2円O,O’と共軸な円がただ一つ存在し,その円をO”とする.
次に,四角形Aで,円O”が A,Aに接するから, ANAはBに接する 2円O,O”に共軸な円がただ一つ存在する.
ここで,円O’は2円O,O”に共軸で円Aに接するから A,Aに接する円は円O’と一致し, 線分Bは円O'に接し,n角形B・・・B は円Oに内接し,円O’に外接する.


ポンスレの閉形定理の目次

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