第4節　一般の閉形問題

ここでは一般の$n$角形の閉形問題を共軸円系の性質を用いて証明します．証明の土台となるのは次の補助命題です．
補助命題
(1) 円$O$に内接する四角形$ABCD$の辺$AC,BD$に接する任意の円$O'$の$AC,BD$との接点を それぞれ$P,P'$とし， 直線$PP'$と$AB,CD$との交点をそれぞれ$Q,Q'$とする．
このとき，$AB,CD$と$Q,Q'$で接する２円$O,O'$と共軸な円$O''$が存在する．

(2) 円$O$に内接する四角形$ABCD$の辺$AB,CD$に接する任意の円$O''$の$AB,CD$との接点をそれぞれ$Q,Q'$とし,直線$QQ'$と$AC,BD$との交点をそれぞれ$P,P'$とする．
このとき，$AC,BD$と$P,P'$で接する２円$O,O''$と共軸な円$O'$が存在する.
証明
(1)まず，$AB,CD$と$Q,Q'$で接する円が存在することを示す．
$\triangle BP'Q$と$\triangle CPQ'$において
$\angle B=\angle C$(円周角)
$\angle P'=\angle P$($PC,P'B$が円$O'$の接線)
より
$\angle Q=\angle Q'$
したがって， $AB,CD$と$Q,Q'$で接する円が存在する．この円を$O''$とする．
3円$O,O',O''$は共軸円系をなすことを示す．
$\triangle BP'Q$で
$\angle P'=a,\angle Q=b$
とおく．
正弦定理より
$AQ:AP=\sin a:\sin (\pi -b)=\sin a:\sin b$
$BQ:BP'=\sin a:\sin b$
$CQ':CP=\sin a:\sin b$
$DQ':DP=\sin a:\sin (\pi -b)=\sin a:\sin b$
したがって
$AQ:AP=BQ:BP'=CQ':CP=DQ':DP$
すなわち
$AQ^2:AP^2=BQ^2:BP'^2=CQ'^2:CP^2=DQ'^2:DP^2$
これは，$A,B,C,D$の円$O',O''$に関する方べきの比が一定であることを示している．
したがって．前節で示した命題3-4より3円$O,O',O''$は共軸円系をなす．
(2)は(1)と同様である．例えば，$AC,BD$と$P,P'$で接する円$O'$が存在することは
$\angle P=\angle P'$
よりわかる．(証明終わり)


定理（ポンスレ）
２円$O,O'$があり，円$O$に内接しかつ円$O'$に外接する $n$角形$A_1A_2\cdots A_n$が存在すると仮定する．
このとき，円$O$上に一点$B_1$を任意にとり，$B_1$を通り円$O'$に 接する直線と円$O$との交点のうち$B_1$でない方の点を$B_2$,$B_2$を通り円$O'$に接する直線と円$O$ との交点のうち$B_1$でない方の点を$B_3$，これを順に続け，$B_1,B_2,\cdots ,B_n$を定める． このとき，線分$B_nB_1$は円$O'$に接する．

証明
円$O,O'$はそれぞれ$n$角形$A_1A_2\cdots A_n$の内接円，外接円である．
頂点$B_1$を円$O$の円弧$A_1A_2$上に取る．
四角形$A_1B_1A_2B_2$に注目する．
$A_1A_2,B_1B_2$が円$O'$に接するから補助命題より $A_1B_1,A_2B_2$に接しかつ円$O,O'$と共軸円系をなす円が存在する．その円を$O''$とする．
つぎに四角形$A_2B_2A_3B_3$で同じことを行う．
すなわち，$A_2B_2,A_3B_3$に接しかつ円$O,O'$と共軸円系をなす円が存在する．その円を$\bar{O}$とする．
4円$O,O',O'',\bar{O}$は共軸円系をなす．かつ$O,O'$は共有点を持たないから双曲的共軸円系である．さらに$O',O'',\bar{O}$は$O$に含まれ,4つの円は根軸の片側にあり，2円が異なるなら，片方がもう一方に含まれれる．
$O''$と$\bar{O}$は共に$A_2B_2$に接するから円$O''$と円$\bar{O}$は一致する．
したがって，$A_3B_3$も円$O''$に接することが分かった．
これを続けることにより，
$A_1B_1,A_2B_2,\dots ,A_nB_n$
が円$O''$に接することが分かる．
次に，四角形$A_nB_nA_1B_1$を考える．
円$O''$は$A_nB_n,A_1B_1$に接する． したがって補助命題より$A_nA_1,B_nB_1$に接し，かつ円$O,O''$と共軸円系をなす円$\tilde{O}$が存在する．
円$O,O'',O',\tilde{O}$は共軸円系をなし，$O',\tilde{O}$は共に$A_nA_1$接する．したがって$O',\tilde{O}$は一致し，$B_nB_1$が円$O'$に接する．(証明終わり)


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