まずいくつかの準備をする． 命題１ ２円Ｏ，Ｏ’の根軸をｍとする．任意の点Ｐについて，Ｐからｍに下ろした垂線の 足をＱとする．このとき 〔Ｐ〕Ｏ’−〔Ｐ〕Ｏ＝２Ｏ’Ｏ・ＱＰ が成り立つ． 
証明
円Ｏ，Ｏ’の半径をそれぞれＲ，ｒ， 直線ＯＯ’とｍの交点をＫ，Ｐから直線ＯＯ’に下ろした垂線の足をＨ， 線分ＯＯ’の中点をＭとする． このとき， 〔Ｐ〕Ｏ’−〔Ｐ〕Ｏ＝ＰＯ’２−ｒ２−（ＰＯ２−Ｒ２） ここで， ＰＯ'２−ＰＯ２＝ＨＯ'２−ＨＯ２＝２ＭＨ・Ｏ’Ｏ また，直線ｍは根軸より， ＫＯ２―Ｒ２＝ＫＯ’２−ｒ２ よって Ｒ２−ｒ２＝ＫＯ２−ＫＯ’２＝２ＫＭ・Ｏ’Ｏ したがって， 〔Ｐ〕Ｏ’−〔Ｐ〕Ｏ ＝２ＫＭ・Ｏ’Ｏ＋２ＭＨ・Ｏ’Ｏ ＝２ＫＨ・Ｏ’Ｏ＝２ＱＰ・Ｏ’Ｏ 命題２ ３つの円Ｏ，Ｏ’，Ｏ”の中心が一直線上にあり，点Ｐが円Ｏ上にある． このとき，次の式が成り立つ． ３円Ｏ，Ｏ’，Ｏ”が共軸円系をなす ⇔〔Ｐ〕Ｏ’：〔Ｐ〕Ｏ”＝Ｏ’Ｏ：Ｏ”Ｏ 
証明（→） ３円の根軸をｍとし，Ｐよりｍに下ろした垂線の足をＱとする． 命題１より 〔Ｐ〕Ｏ’−〔Ｐ〕Ｏ＝２ＱＰ・Ｏ’Ｏ 〔Ｐ〕Ｏ”−〔Ｐ〕Ｏ＝２ＱＰ・Ｏ”Ｏ ここで，〔Ｐ〕Ｏ＝０より 〔Ｐ〕Ｏ’：〔Ｐ〕Ｏ”＝Ｏ’Ｏ：Ｏ”Ｏ が成り立つ． 
（←）２円Ｏ，Ｏ’の根軸を直線ｍ，２円Ｏ，Ｏ”の根軸を直線ｎとし， Ｐから２直線ｍ，ｎに下ろした垂線の足をそれぞれＱ，Ｒとする． 命題１より 〔Ｐ〕Ｏ’−〔Ｐ〕Ｏ＝２ＱＰ・Ｏ’Ｏ 〔Ｐ〕Ｏ”−〔Ｐ〕Ｏ＝２ＲＰ・Ｏ”Ｏ ここで， 〔Ｐ〕Ｏ＝０ および 〔Ｐ〕Ｏ’：〔Ｐ〕Ｏ”＝Ｏ’Ｏ：Ｏ”Ｏ より，ＱＰ＝ＲＰ. したがって，根軸ｍ，ｎは一致するので，３円Ｏ，Ｏ’，Ｏ”は共軸円系をなす． 命題３ （１） 円Ｏに内接する四角形ＡＢＣＤの辺ＡＣ，ＢＤに接する任意の円Ｏ’のＡＣ，ＢＤとの接点を それぞれＰ，Ｐ’とし， 直線ＰＰ’とＡＢ，ＣＤまたはその延長との交点をそれぞれＱ，Ｑ’とする． このとき，ＡＢ，ＣＤとＱ，Ｑ’で接する２円Ｏ，Ｏ’と共軸な円Ｏ”が存在する． （２） 円Ｏに内接する四角形ＡＢＣＤの辺ＡＢ，ＣＤに接する任意の円Ｏ”のＡＢ，ＣＤとの接点をそれぞれ Ｑ，Ｑ’とし,直線ＱＱ’とＡＣ，ＢＤまたはその延長との交点をそれぞれＰ，Ｐ’とする． このとき，ＡＣ，ＢＤとＰ，Ｐ’で接する２円Ｏ，Ｏ”と共軸な円Ｏ’が存在する. 
証明（１） △ＡＰＱと△ＤＰ’Ｑ’において ∠Ａ＝∠Ｄ，∠Ｐ＝∠Ｐ’ より ＡＰ：ＡＱ＝ＤＰ’：ＤＱ’ Ｐを通り，Ｐ’Ｂに平行な直線を引きＡＢとの交点をＮとする． このとき ＡＰ：ＡＱ＝ＮＰ：ＮＱ（∵ ＰＱは∠ＡＰＮの二等分線 ∵ＲＰ＝ＲＰ’） ＝ＢＰ’：ＢＱ 同様に ＤＰ’：ＤＱ’＝ＣＰ：ＣＱ’ ゆえに ＡＰ：ＡＱ＝ＢＰ’：ＢＱ＝ＣＰ：ＣＱ’＝ＤＰ’：ＤＱ’ （∵ 真ん中の等号は△ＢＰ'Ａ∽△ＣＰＱ'） ここで，Ｏ”を ＯＯ’：ＯＯ”＝ＡＰ２：ＡＱ２ によって定め，Ｏ”が中心で，Ｏ，Ｏ’と共軸であるように円Ｏ”を定めると， 命題２より， Ｏ上の任意の点Ｐで 〔Ｐ〕Ｏ’：〔Ｐ〕Ｏ”＝ＡＰ２：ＡＱ２ 一方Ａから円Ｏ”に接線ＡＴを引くと ＡＴ２＝ＡＱ２ よってＡＴ＝ＡＱ. 同様にＢから円Ｏ”に接線ＢＳを引くと ＢＱ＝ＢＳ ＡＢの長さがＡ，Ｂから円Ｏ”に引いた接線の長さの和であるから，ＡＢは円Ｏ” に接する（証明は後）． 同様に円Ｏ”はＡＣにも点Ｑ’で接するから円Ｏ”はＡＢ，ＣＤにそれぞれ Ｑ，Ｑ’で接することが分かる． （１），（２）は同じことである． 最後に証明の中で用いた次の補助命題を証明する． 
補助命題円Ｏと線分ＡＢがあり，Ａ，Ｂから円Ｏに引いた接線をＡＴ，ＢＳとする． このときＡＢ＝ＡＴ＋ＢＳならＡＢは円Ｏに接する． 証明 転換法で証明する． 円の中心Ｏから辺ＡＢに下ろした垂線の足をＨとする． ＡＢが円Ｏの接線のとき ＡＢ＝ＡＴ＋ＢＳ 直線ＡＢが円Ｏの外にあるとき ＡＴ２＝ＡＯ２−Ｒ２＞ＡＯ２−ＯＨ２＝ＡＨ２ よってＡＴ＞ＡＨ． 同様にＢＳ＞ＢＨ． ∴ ＡＢ＜ＡＴ＋ＢＳ 直線ＡＢが円Ｏと２点で交わるとき ＡＴ＜ＡＨ，ＢＳ＜ＢＨ より ＡＢ＞ＡＴ＋ＢＳ したがって，転換法より ＡＢ＝ＡＴ＋ＢＳ なら直線ＡＢは円Ｏに接する． なお，もちろん，Ａ，Ｂの設定の仕方によっては和が差すなわちＡＢ＝ＡＴ−ＢＳに変わることもある． 以上で，ポンスレの閉形定理を証明する準備が整いました． 定理（ポンスレ） ２円Ｏ，Ｏ’があり，Ｏに内接しかつ円Ｏ’外接する ｎ角形Ａ１Ａ２・・Ａｎが存在すると仮定する． このとき，円Ｏ上に一点Ｂ１を任意にとり，Ｂ１を通り円Ｏ’に 接する直線と円Ｏとの交点のうちＢ１でない方との点をＢ２，Ｂ２ を通り円Ｏ’に接する直線と円Ｏとの交点のうちＢ２でない方との点をＢ３，これを順に続け，Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３，・・・，Ｂｎを定める． このとき，線分ＢｎＢ１は円Ｏ’に接する． 
証明四角形Ａ１Ｂ１Ａ２Ｂ２で Ａ１Ａ２，Ｂ１Ｂ２が円Ｏ'に接するから， ２円Ｏ，Ｏ’と共軸でＡ１Ｂ１，Ａ２Ｂ２に接する円があり， さらに，その円は共軸の片方側にあるのでただ一つ存在する． 同様に，Ａ２Ｂ２，Ａ３Ｂ３に接する， ２円Ｏ，Ｏ’と共軸な円がただ１つ存在し，ともにＡ２Ｂ２に接する から，２円は一致する． 同様の議論を繰り返すことによい，Ａ１Ｂ１，Ａ２Ｂ２，・・・．ＡｎＢｎ に接し，２円Ｏ，Ｏ’と共軸な円がただ一つ存在し，その円をＯ”とする． 次に，四角形ＡｎＢｎＡ１Ｂ１で，円Ｏ”が ＡｎＢｎ，Ａ１Ｂ１に接するから， ＡＮＡ１はＢｎＢ１に接する ２円Ｏ，Ｏ”に共軸な円がただ一つ存在する． ここで，円Ｏ’は２円Ｏ，Ｏ”に共軸で円ＡｎＡ１に接するから ＡｎＢｎ，Ａ１Ｂ１に接する円は円Ｏ’と一致し， 線分ＢｎＢ１は円Ｏ'に接し，ｎ角形Ｂ１Ｂ２・・・Ｂｎ は円Ｏに内接し，円Ｏ’に外接する． ポンスレの閉形定理の目次 全体の目次 |