いろいろな立体の問題

第1節 体積における置換積分を身につけよう(その2)

体積における置換積分を理解していれば次の問題は難しくありません.

例題3
立体A,B,Cをそれぞれ半径の1の直円柱とする.A,B,Cのどの2つの中心軸も直交するとき, 3つの円柱の共通部分の体積を求めよ.

すなわち,x軸,y軸,z軸が中心軸である底面の半径1の円柱の共通部分を求めようという意味です.
この問題は,xyz空間において
$x^2+y^2\leqq 1$
$y^2+z^2\leqq 1$
$z^2+x^2\leqq 1$
を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ.
と出題されることもあります.

<解答>
平面z=tでこの立体を切ったときの切り口の図形を調べます.
右上の図で桃色と青色の円柱の共通部分の切り口は1辺の長さが$2\sqrt{1-t^2}$の正方形で,黄緑色の円柱の切り口は当然 単位円ですから,正方形と単位円の共通部分が求める切り口です.
切り口の図形は,右の図のように,正方形の大きさで2つに分かれます.
境目のtの値は

より

です.
したがって,切り口の面積は

と場合分けして求めることになります.


(T)

のとき.
OAとx軸となす角をθとするtとθの関係は
$t=\sin \theta$
です.θまたはθとtを用いて太線の部分の面積を求めることになります.
△AOCの面積は

でもよいし
$\dfrac{\sin \theta \cos \theta}{2}$
でもかまいません.
扇形OABの面積は,中心角が$\dfrac{\pi}{2}-2\theta$より$\dfrac{\pi}{4}-\theta$ となります.
したがって,太線で囲まれた部分の面積はSは
$S=4\sin \theta \cos \theta +\pi -4\theta$
です.

(U)

のとき
このときは,切り口は1辺の長さ

の正方形ですから切り口の面積Sは
S=4(1−t)
です.
0≦t≦1と−1≦t≦0は同じ図形であるから

(求める体積)
$\displaystyle =2\int_0^1Sdt$
$\displaystyle =2\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}(\pi -4\theta +4\sin \theta \cos \theta )dt +2\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^14(1-t^2)dt$

第1項の積分の部分を$t=\sin \theta$により置換積分すると
$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\pi -4\theta +4\sin \theta \cos \theta)\cos \theta d\theta $
以上を計算することにより,



この問題は次のように考えると簡単に答えが求まります.
右の立方体は1辺の長さです.
このとき,各円の半径は1で,円は座標軸が 中心軸である円柱をあらわします.
この図からわかるように,半径1の3つの直交する円柱は,1辺の長さの立方体を含む.
後は立方体の外側の部分の体積を求めればよくそれは,右図で,長方形ABCDと長方形PQRSの共通部分である正方形の面積を 積分すればよく,それはすでに計算した(U)になります.
したがって,求める体積は立方体の外側は6つあるから

となります.


とこのように簡単に求まりますが,前半の置換積分を用いたほうを学びましょう.
問題を解くとき,大切なことは答えを出すことではなく, その問題から何を学ぶかです.
うまい方法より,基本となるほうが大切です.
うまい方法は基本を学んでからの楽しみと考えましょう.


ついでに時間があったら,3本の円柱の共通部分よりなる模型を作ってみましょう.
右上図が参考になります.
すなわち,厚手の用紙を用意し,高さが与えられたときの円の弦の長さを求め,その長さが1辺の正方形を,順に 立方体の面に重ねてはることにより得られます.
この立体の完成模型を見ると,立方体が隠れていることが分かりづらく,いったいどうやって作るのかなと思うのですが,簡単に 比較的簡単に作れるわけです.
実際に模型を作るときは,紙を貼り付けるのは2面ぐらいにして,残りの4面はそのままにしおいたほうが,他の人に説明するとき便利です.


つぎに例題3の立体の表面積を求めましょう.
計算は体積と比べたらはるかに簡単です.
1辺の長さ$\sqrt{2}$の立方体の1つの面の上にある部分の表面積を計算し,それを$6$倍する方法で解きましょう.
右図で,立方体の上の部分は,2つの円柱面$A,B$の共通部分の立方体の面$RSTU$の上の部分です.
円柱面$A,B$の交線を含む平面を平面$\alpha ,\beta$とする.
2つの円柱面$A,B$の共通部分とは,円柱面$A$のうち, 円柱面$B$で隠れている部分と, 円柱面$B$のうち,円柱面$A$で隠れている部分です.
ここでは,円柱面$A$のうち, 円柱面$B$で隠れている部分を求めます.円柱面$B$をとったのが右図です.
弧$PQ=\dfrac{\pi}{4}$
であるから,3点$P,Q,R$で決まる円柱面$A$の部分の面積$S$は
$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin \theta d\theta=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
全体の表面積はこの値を48倍すればよいから
$48(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}})$
が求める表面積です.



以上の解答は,3本の円柱に隠れている立方体を利用して表面積を求めました.
もし,この立方体を使わないと次のように解くことになります.
3本の円柱の共通部分は,右図の青色の円柱に注目すれば, 緑色の円柱の内部でありかつ桃色の円柱の内部であるあるから,緑色の内部でかつ 桃色で隠れた部分です.
桃色の円柱をはずしたとき,桃色と青色の交線を含む平面で桃色の円柱の代用をします.
右図は,桃色の円柱をはずしたものです.
さらに,緑色の円柱をはずすとき, 青色の円柱と緑色の円柱の交線を含む平面で緑色の円柱の代用をします.
右図は,緑色の円柱もはずしたものです.
青色の円柱面のうち,3つの平面で囲まれた部分が青色の円柱面だけで8個あります.
したがって,求める表面積は
$\displaystyle 24\cdot 2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin \theta d\theta=48(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}})$





問題を変えましょう.次の問題も簡単に解決します.

例題4
原点を中心とする半径の2の球と,xy平面上の円(x−1)+y=1を底面とする直円柱の共通部分の体積を求めよ.


この問題は,xyz空間において
+y+z≦4
(x−1)+y≦1
を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ.
という表し方もあります.この図形は体積を求めるより,球と円柱の交線である曲線が有名でこの曲線をViviani曲線といいます.
球面上の大円,小円以外の代表的曲線です.
この曲線を媒介変数表示するとの次のようになります.
(x−1)+y=1より
x=1+cosθ,y=sinθ  ・・・@
@を
+y+z=4
に代入すると
=2-2cosθ=(2sin(θ/2))
∴ z=±2sin(θ/2)
∴ x=1+cosθ,y=sinθ,z=±2sin(θ/2)
となります.

ここまでできたら,球面
$x^2+y^2+z^2=4$
の内部にある円柱面
$(x-1)^2+y^2=1$
の部分の面積は簡単に求まるので,体積より先に求めてしまいましょう.

この円柱を直線
$x=2,y=0$
で切って平面にすると切り口の切り口は
$x=\theta,z=\pm 2\sin \dfrac{\theta}{2}$
であるから,求める面積は
$\displaystyle 2\int_0^{2\pi}2\sin \dfrac{\theta}{2} d\theta=16$
となります.

なお,球面上の円柱で切り取られる部分の面積は,球は展開図が作れませんので,現在の知識では解けません. これは将来大学で学ぶでしょう.


さて本題の体積を求めましょう.
体積の置換積分のコツだけつかめば朝飯前です.

解答
平面z=t(0≦t≦2)で切った切り口の図形は右図の青色の部分です.
大きい円Oは原点Oを中心とする半径$\sqrt{4-t^2}$の円で,小さい円O'はO'(1,0)を中心とする半径1の円です.
∠O’OA=θ
とおけば,
$OA=\sqrt{4-t^2},OB=2,\angle OAB=90^{\circ}$
より
$\sin \theta =\dfrac{t}{2} \ $・・・@
青色の部分の面積Sをθを用いて表せば
(2つの扇形から2△OO'Aを引く)
$S=4\theta \cos ^2 \theta +\pi -2\theta -\sin 2\theta$
(∵ $OA=2\cos \theta$)
tとθの関係は@であたえられるから,置換積分を用いて計算すればよい.
$\displaystyle 2\int_0^2(4\theta \cos ^2 \theta +\pi -2\theta -\sin 2\theta)dt$
項別に計算する.
$\displaystyle \int_0^2\theta \cos ^2 \theta dt=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\theta \cos ^3\theta d\theta$
$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\theta (\cos 3\theta +3\cos \theta)d\theta$
$=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{14}{9}$

$\displaystyle \int_0^2\theta dt=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\theta \cos \theta d\theta=\pi-2$

$\displaystyle \int_0^2 \sin 2\theta dt=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin \theta \cos ^2 \theta d\theta=\dfrac{4}{3}$

以上の計算より,
(求める体積)=$\dfrac{16\pi}{3}-\dfrac{64}{9}$


以上の内容より,積分の問題で置換積分を行うのは t=sinθ,t=cosθ またはtの部分がtの1次式の場合だけです.これは三角関数の逆関数を 高校では学ばないことに起因しているわけです. したがって,置換積分が必要な場合は,切り口の図形が弓形または円の一部だけと考えて問題ないでしょう.
そのときは切り口の図形のどこにtが現れるかを調べ,tと面積を求めるために定めたθ の関係を調べ置換積分を行えばそれほど困難は感じないでしょう.


続く




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