いろいろな立体の問題

いろいろな立体の問題

第１節　体積における置換積分を身につけよう（その２）

体積における置換積分を理解していれば次の問題は難しくありません．

例題3
立体Ａ，Ｂ，Ｃをそれぞれ半径の１の直円柱とする．Ａ，Ｂ，Ｃのどの２つの中心軸も直交するとき，３つの円柱の共通部分の体積を求めよ．
すなわち，ｘ軸，ｙ軸，ｚ軸が中心軸である底面の半径１の円柱の共通部分を求めようという意味です．
この問題は，ｘｙｚ空間において
$x^2+y^2\leqq 1$
$y^2+z^2\leqq 1$
$z^2+x^2\leqq 1$
を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ．
と出題されることもあります．

＜解答＞
平面ｚ＝ｔでこの立体を切ったときの切り口の図形を調べます．
右上の図で桃色と青色の円柱の共通部分の切り口は1辺の長さが$2\sqrt{1-t^2}$の正方形で，黄緑色の円柱の切り口は当然単位円ですから，正方形と単位円の共通部分が求める切り口です．
切り口の図形は，右の図のように，正方形の大きさで２つに分かれます．
境目のｔの値は

より

です．
したがって，切り口の面積は

，
と場合分けして求めることになります．

(Ⅰ)

のとき．
ＯＡとｘ軸となす角をθとするｔとθの関係は
$t=\sin \theta$
です．θまたはθとｔを用いて太線の部分の面積を求めることになります．
△ＡＯＣの面積は

でもよいし
$\dfrac{\sin \theta \cos \theta}{2}$
でもかまいません．
扇形ＯＡＢの面積は，中心角が$\dfrac{\pi}{2}-2\theta$より$\dfrac{\pi}{4}-\theta$ となります．
したがって，太線で囲まれた部分の面積はＳは
$S=4\sin \theta \cos \theta +\pi -4\theta$
です．

(Ⅱ)

のとき
このときは，切り口は１辺の長さ

の正方形ですから切り口の面積Ｓは
Ｓ＝4(１－ｔ^２)
です．
０≦ｔ≦１と－1≦ｔ≦０は同じ図形であるから

(求める体積)
$\displaystyle =2\int_0^1Sdt$
$\displaystyle =2\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}(\pi -4\theta +4\sin \theta \cos \theta )dt +2\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^14(1-t^2)dt$

第１項の積分の部分を$t=\sin \theta$により置換積分すると
$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\pi -4\theta +4\sin \theta \cos \theta)\cos \theta d\theta $
以上を計算することにより，

この問題は次のように考えると簡単に答えが求まります．
右の立方体は１辺の長さです．
このとき，各円の半径は１で，円は座標軸が中心軸である円柱をあらわします.
この図からわかるように，半径１の３つの直交する円柱は，１辺の長さの立方体を含む．
後は立方体の外側の部分の体積を求めればよくそれは，右図で，長方形ABCDと長方形PQRSの共通部分である正方形の面積を積分すればよく，それはすでに計算した（Ⅱ）になります．
したがって，求める体積は立方体の外側は６つあるから

となります．

とこのように簡単に求まりますが，前半の置換積分を用いたほうを学びましょう．
問題を解くとき，大切なことは答えを出すことではなく，その問題から何を学ぶかです．
うまい方法より，基本となるほうが大切です．
だから，エレガントな解答より，困難な計算を最後までやりくる精神力を持ち，基本的な解法で最後までやりきる切ることが大事なんです．エレガントな方法は基本を学んでからの楽しみと考えましょう．

ついでに時間があったら，３本の円柱の共通部分よりなる模型を作ってみましょう．
右上図が参考になります．
すなわち，厚手の用紙を用意し，高さが与えられたときの円の弦の長さを求め，その長さが１辺の正方形を，順に立方体の面に重ねてはることにより得られます．
この立体の完成模型を見ると，立方体が隠れていることが分かりづらく，いったいどうやって作るのかなと思うのですが，簡単に比較的簡単に作れるわけです．
実際に模型を作るときは，紙を貼り付けるのは２面ぐらいにして，残りの４面はそのままにしおいたほうが，他の人に説明するとき便利です．

つぎに例題３の立体の表面積を求めましょう．
計算は体積と比べたらはるかに簡単です．
１辺の長さ$\sqrt{2}$の立方体の１つの面の上にある部分の表面積を計算し，それを$6$倍する方法で解きましょう．
右図で，立方体の上の部分は，２つの円柱面$A,B$の共通部分の立方体の面$RSTU$の上の部分です．
円柱面$A,B$の交線を含む平面を平面$\alpha ,\beta$とする．
２つの円柱面$A,B$の共通部分とは，円柱面$A$のうち，円柱面$B$で隠れている部分と，円柱面$B$のうち，円柱面$A$で隠れている部分です．

ここでは，円柱面$A$のうち，円柱面$B$で隠れている部分を求めます．円柱面$B$をとったのが右図です．
弧$PQ$を含む円が底面の円柱を平面$\alpha$で切った立体の側面を考える．弧$PQ=\frac{\pi}{4}$ であるから３点$P,Q,R$で決まる円柱面$A$の部分の面積$S$は
$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin \theta d\theta=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
全体の表面積はこの値を48倍すればよいから
$48(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}})$
が求める表面積です．

以上の解答は，３本の円柱に隠れている立方体を利用して表面積を求めました．
もし，この立方体を使わないと次のように解くことになります．
３本の円柱の共通部分は，右図の青色の円柱に注目すれば，緑色の円柱の内部でありかつ桃色の円柱の内部であるあるから，緑色の内部でかつ桃色で隠れた部分です．
桃色の円柱をはずしたとき，桃色と青色の交線を含む平面で桃色の円柱の代用をします．

右図は，桃色の円柱をはずしたものです．
さらに，緑色の円柱をはずすとき，青色の円柱と緑色の円柱の交線を含む平面で緑色の円柱の代用をします．

右図は，緑色の円柱もはずしたものです．
青色の円柱面のうち，３つの平面で囲まれた部分が青色の円柱面だけで８個あります．
したがって，求める表面積は
$\displaystyle 24\cdot 2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin \theta d\theta=48(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}})$

問題を変えましょう．次の問題も簡単に解決します．

例題4
原点を中心とする半径の２の球と，ｘｙ平面上の円（ｘ－１）^２＋ｙ^２＝１を底面とする直円柱の共通部分の体積を求めよ．

この問題は，ｘｙｚ空間において
ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２≦４
（ｘ－１）^２＋ｙ^２≦１
を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ．
という表し方もあります．この図形は体積を求めるより，球と円柱の交線である曲線が有名でこの曲線をViviani曲線といいます．
球面上の大円，小円以外の代表的曲線です．
この曲線を媒介変数表示するとの次のようになります．
（ｘ－１）^２＋ｙ^２＝１より
ｘ＝１＋cosθ，ｙ＝sinθ　　・・・①
①を
ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２＝４
に代入すると
ｚ^２＝2-2cosθ＝（2sin（θ／２））^２
∴　ｚ＝±２sin(θ／２)
∴　ｘ＝１＋cosθ，ｙ＝sinθ,ｚ＝±２sin(θ／２)
となります．

ここまでできたら，球面
$x^2+y^2+z^2=4$
の内部にある円柱面
$(x-1)^2+y^2=1$
の部分の面積は簡単に求まるので，体積より先に求めてしまいましょう．

この円柱を直線
$x=2,y=0$
で切ってその平面を$xz$平面とすると切り口は
$x=\theta,z=\pm 2\sin \dfrac{\theta}{2}$
であるから，求める面積は
$\displaystyle 2\int_0^{2\pi}2\sin \dfrac{\theta}{2} d\theta=16$
となります．

なお，球面上の円柱で切り取られる部分の面積は，球は展開図が作れませんので，現在の知識では解けません．これは将来大学で学ぶでしょう．

さて本題の体積を求めましょう．
体積の置換積分のコツだけつかめば朝飯前です．

解答
平面ｚ＝ｔ（０≦ｔ≦２）で切った切り口の図形は右図の青色の部分です．
大きい円Oは原点Oを中心とする半径$\sqrt{4-t^2}$の円で，小さい円O'はO'(1,0)を中心とする半径1の円です．
∠Ｏ’ＯＡ＝θ
とおけば，
$OA=\sqrt{4-t^2},OB=2,\angle OAB=90^{\circ}$
より
$\sin \theta =\dfrac{t}{2} \ $・・・①
青色の部分の面積Ｓをθを用いて表せば
(２つの扇形から2△OO'Aを引く)
$S=4\theta \cos ^2 \theta +\pi -2\theta -\sin 2\theta$
(∵　$OA=2\cos \theta$)
ｔとθの関係は①であたえられるから，置換積分を用いて計算すればよい．
$\displaystyle 2\int_0^2(4\theta \cos ^2 \theta +\pi -2\theta -\sin 2\theta)dt$
項別に計算する．
$\displaystyle \int_0^2\theta \cos ^2 \theta dt=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\theta \cos ^3\theta d\theta$
$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\theta (\cos 3\theta +3\cos \theta)d\theta$
$=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{14}{9}$

$\displaystyle \int_0^2\theta dt=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\theta \cos \theta d\theta=\pi-2$

$\displaystyle \int_0^2 \sin 2\theta dt=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin \theta \cos ^2 \theta d\theta=\dfrac{4}{3}$

以上の計算より，
(求める体積)＝$\dfrac{16\pi}{3}-\dfrac{64}{9}$

以上の内容より，積分の問題で置換積分を行うのはｔ＝sinθ，ｔ＝cosθ またはｔの部分がｔの１次式の場合だけです．これは三角関数の逆関数を高校では学ばないことに起因しているわけです．したがって，置換積分が必要な場合は，切り口の図形が弓形または円の一部だけと考えて問題ないでしょう．
そのときは切り口の図形のどこにｔが現れるかを調べ，ｔと面積を求めるために定めたθ の関係を調べ置換積分を行えばそれほど困難は感じないでしょう．

続く

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