いろいろな立体の問題 第3節 正射影を身につけよう(正12面体の正射影1) ここでは正12面体の正射影の最大値，最小値をもとめます． これも順序だてて考えればそれほど難しい問題ではありません． まず，具体的な場合の正12面体の正射影の面積を調べます． 
最初は，$xy$平面上に置かれた正12面体の$xy$平面への正射影を考える．側面の5個の緑色の正5角形の正射影の和を求めよう． 5個の正5角形の重心をそれぞれ$O_1,O_2,O_3,O_4,O_5$とし，正12面体の外接球の中心を$O'$とする． $O_1$が中心の正5角形，この正５角形を正５角形$O_1$ということにする．正５角形$O_1$の正射影の面積は， 正5角形$O_1$を含む平面と$xy$平面のなす角を$\theta$,正5角形の面積を$S$ とすれば， $S\cos \theta$ であり，さらに，2つのベクトル$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$が単位ベクトルのとき，この2つのベクトルのなす角$\theta$ は $\cos \theta=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ である．ただし$\cdot$は内積である． したがって， $\overrightarrow{O'O_1},\overrightarrow{O'O_2},\overrightarrow{O'O_3}, \overrightarrow{O'O_4},\overrightarrow{O'O_5}$ と同じ向きの単位ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d} ,\overrightarrow{e}$とし， $\overrightarrow{n}=(0,0,1)$ おけば， $O_1$が中心の正5角形の正射影の面積は であり，$S\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{n}$ 緑色の5個の正5角形の正射影の和は $S(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{n}+ \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{n}+ \overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{n}+\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{n}+ \overrightarrow{e}\cdot \overrightarrow{n})$ $=S \ (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} +\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e})\cdot \overrightarrow{n}$ となる．したがって， $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} +\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}$ を求める問題に帰着される． ここで， $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} +\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}=k\overrightarrow{n}$ である．$x,y$成分は相殺されることが図より分かるし，もしきちんと証明したければ， $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} +\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}$ とおき，$\overrightarrow{v}$を$z$成分は変えず，$x,y$成分だけを原点の周りに$\frac{2\pi}{5}$だけ回転させても，$\overrightarrow{v}$ は変らないので，$\overrightarrow{v}$の$x,y$成分はともに$0$であることが分かる． したがって， $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} +\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}$ は$z$成分だけ計算すればよい． 
正12面体を$xy$平面上に置いたときの各頂点の$z$座標は正12面体の一辺の長さを1とすると面倒な式になるが，
各面の外接円の半径を１の正5角形とすると扱いやすい値である．これはすでに正12面体の回転体の体積を求めるときに
計算している(立体の回転体の体積(その5)).それを利用する． 右図で，$OA=1$のとき，$A,B,C,D$の$z$座標は，それぞれ $A(0),B(1),C(a),D(a+1)$ となる．ここで$a$は黄金比 $a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ である．$a$は $a^2-a-1=0$ あるから， $a^2=a+1,\dfrac{1}{a}=a-1$ を満たす．黄金比のこの性質は以下の計算でしばしば用いられる． $O_1$の$z$座標を求めよう． $O_1$は正5角形の重心であるから，$z$座標は $\dfrac{2(a+1)+2a+1}{5}=\dfrac{4a+3}{5}$ である．さらに$O'$の$z$座標が$\frac{a+1}{2}$ であるから，$\overrightarrow{O'O_1}$の$z$成分は $\dfrac{3a+1}{10}$ ここで $|\overrightarrow{O'O_1}|=\dfrac{a+1}{2}$ より，$\overrightarrow{O'O_1}$と同じ向きの単位ベクトル$\overrightarrow{a}$の$z$成分は $\dfrac{3a+1}{5(a+1)}=\dfrac{2a-1}{5}$ $\because \ \dfrac{1}{a+1}=\dfrac{1}{a^2}=(a-1)^2=2-a$ したがって，側面の5個の正5角形の単位法線ベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d} ,\overrightarrow{e}$の和は $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d} +\overrightarrow{e}=(2a-1)\overrightarrow{n}$ である． $\overrightarrow{n}$は$xy$平面の法線ベクトルである．上面の正射影を加えて，正12面体の正射影は，正5角形の面積を$S$とすれば $2aS$ となることが分かった． この値が正しいことを確認しよう． 正射影は，半径$a$の円に内接する正10角形である(上記，正12面体の回転体の体積を参照)． 半径$a$の円に内接する正10角形の面積は $\dfrac{5\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}a^2 \ \cdots$@ 一方，半径1の円に内接する正5角形の面積$S$は $S=\dfrac{5\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}$ より，求めた正射影の面積は $2aS=\dfrac{5\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}a \cdots$A ここで， $(10-2\sqrt{5})a^2=10+2\sqrt{5}$ であるから，@，Aの値が等しいことが分かる． 半径1の円に内接する正5角形のの1辺の長さは $\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$ であるから，1辺の長さ1の正12面体をを$xy$平面上に置いたとき，$xy$平面への正射影の面積は $\dfrac{5\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}a^2\cdot \dfrac{4}{10-2\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{110\sqrt{5}+250}}{4}=5.56758\cdots$ 続く 第4節 正多面体の体積 目次 |