いろいろな立体の問題 第3節　正射影を身につけよう(正12面体の正射影2) 次に，正12面体の外接球の直径となる2頂点が$z$軸上にあるときの$xy$平面への正射影の面積を求める．． 右図の，3つの緑色の正5角形と3つの青色の正5角形の正射影の和がこの場合の正12面体の正射影である． さらに，3つの緑色の正5角形の単位法線ベクトルの和および，3つの青色の正5角形の単位法線ベクトルの和はともに $z$軸と平行であるから，それぞれの法線ベクトルの$z$成分だけを求めればよい． それぞれの単位法線ベクトルの$z$成分を求めよう． すでに正12面体の対角線の長さは求めてある(正多面体の体積). それを利用する． 正12面体の1辺の長さを$1$とする．すなわち右図で$ED=1$とすると， $EC=a,EB=\sqrt{2}a,EA=a^2,EO=\sqrt{3}a$ である．ただし，$a$は黄金比で $a=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ である．以下，黄金比$a$は $a^2-a=1$ を満たすことを用いる． $D$の$z$座標は，直角三角形$\triangle EDO$に注目して， $a^2\cdot \dfrac{a^2}{\sqrt{3}a}=\dfrac{a^3}{\sqrt{3}}=\dfrac{2a+1}{\sqrt{3}}$ $C$の$z$座標は，直角三角形$\triangle ECO$に注目して， $\sqrt{2}a\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$ $B$の$z$座標は $\dfrac{a}{\sqrt{3}}$ したがって，緑色の正5角形の重心$O_1$の$z$座標は $\dfrac{1}{5}\left(\sqrt{3}a+2\cdot \dfrac{2a+1}{\sqrt{3}}+2\cdot \dfrac{2a}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{11a+2}{5\sqrt{3}}$ 青色の正5角形の重心$O_2$の$z$座標は $\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{2a+1}{\sqrt{3}}+2\cdot \dfrac{2a}{\sqrt{3}}+2\cdot \dfrac{a}{\sqrt{3}}\right) =\dfrac{8a+1}{5\sqrt{3}}$ $OE$の中点を$O'$とすると，$\overrightarrow{O'O_1}$と同じ向きの単位ベクトルの$z$成分は，1辺の長さ$1$の正12面体の 内接球の半径は $\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{\dfrac{25+11\sqrt{5}}{10}}$ であるから， $\dfrac{2\sqrt{10}}{\sqrt{25+11\sqrt{5}}}\cdot \left(\dfrac{11a+2}{5\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{3}a}{2}\right) =\dfrac{2\sqrt{10}}{\sqrt{25+11\sqrt{5}}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}(7a+4)}{30}$ であり，$\overrightarrow{O'O_2}$と同じ向きの単位ベクトルの$z$成分は $\dfrac{2\sqrt{10}}{\sqrt{25+11\sqrt{5}}}\cdot \left(\dfrac{8a+1}{5\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{3}a}{2}\right) =\dfrac{2\sqrt{10}}{\sqrt{25+11\sqrt{5}}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}(a+2)}{30}$ である． したがって，6つの正5角形の単位法線ベクトルの和は $\dfrac{2\sqrt{10}}{\sqrt{25+11\sqrt{5}}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}(8a+6)}{10}\overrightarrow{n} =\dfrac{\sqrt{30\sqrt{5}+150}}{5}\overrightarrow{n}$ である．ただし$\overrightarrow{n}=(0,0,1)$ 1辺の長さ1の正5角形を面積を $S(=\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4})$ とおけば，1辺の長さ$1$の正12面体の求める正射影の面積は $\dfrac{2\sqrt{10}}{\sqrt{25+11\sqrt{5}}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}(8a+6)}{10}S=\dfrac{3\sqrt{15}+5\sqrt{3}}{4}$ である． 答えが正しいことを確認しよう． 平面図で直接計算することは後で行うとして， ここでは，幾何学ソフトcabri3Dを用いて，直接正射影をつくり面積を求めた． 右図は1辺の長さ$2$の正12面体の正射影の面積である． 正射影の面積の値 $20.2792040765$ は上で求めた正射影の面積と完全に一致する． 実際 $3\sqrt{15}+5\sqrt{3}=20.27920407\cdots$ 正12面体の2種類の正射影の面積を求めた， どちらの面積が大きいかは，6つの単位法線ベクトルの和の大きさを 調べればよい．すなわち， $2a\overrightarrow{n}$ と $\dfrac{2\sqrt{10}}{\sqrt{25+11\sqrt{5}}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}(8a+6)}{10}\overrightarrow{n}$ の大きさの大小を調べればよく， パソコンを用いれば簡単にわかるが，これから行う図形的考察より簡単に分かる． 続く 第4節　正多面体の体積 目次