いろいろな立体の問題

第4節正多面体と等面多面体(1)

1.正12面体
ここでは,正12面体及び正20面体の体積を求めます.
正多面体を扱いときは,実際に立体を手にとることが出来ないと,きちんとした理解が出来ません.
正12面体の展開図を載せておきますので,プリントアウトし,立体を作りその上で読み進めることをお勧めします.
また,もしあなたが高校生なら,数学の研究室にいけば正12面体や正20面体の 模型が転がっているので,多分貸してくれるでしょう.それを利用するとよいでしょう.


ここでは2頂点間の距離に注目して体積を調べます.
正12面体の1辺の長さを1とすると,右図で
1=AB<AJ<AK<AS<AT
となります.
ちなみに,ATはこの正12面体の外接球の直径です.
これらの長さを求めます.といっても難しくありません.
正12面体の頂点で,長方形となる4点を見つけましょう.
2種類の長方形が見つかります.
右手の親指と人差し指で,1つの辺を押さえ,左手でこの立体を支えれば,長方形が1つ見つかります.
もう一つは1つの面の対角線例えばAJを親指と人差し指で押さえて,同じことをやれば見つかります.

正12面体では2頂点を結ぶ線分は5種類あります.右図で四角形ABDE,ACDFはともに長方形ですので,
$AB^2+AE^2=AC^2+AF^2=AD^2$
が成り立ちます.
この関係式を用いて対角線の長さを求めます.

まずACについて.これは辺の長さ1の正5角形の対角線の長さです.
AC=aとおく.
右図で,△ABE∽△GAEに注目すれば
1:a=a−1:1
より

を得る.
次に2番目に長いAEの長さです.
右下の図より,一回り大きい正5角形の対角線になっていることがわかります.
したがって,AI=aとおけばAS=aです.





これで,あとはすでにみつけた2つの長方形より他の対角線の長さが計算より求められますが, ここでは,もう一つ正方形を見つけて 3番目の長さの線分の長さを求めましょう.
右図の正方形を利用すると

がわかります.
最後に一番長いATについて.
これは,三平方の定理より

より

がわかります.




以上で,2点間の距離のすべての長さがわかりました.
1辺の長さ1の正5角形の対角線の長さをaとすると 短い順に

となります.aは黄金比です.見事な関係です.正12面体が美しい秘密はこの辺にあるのかも知れません.

ところで,なぜ正多面体の頂点で長方形となる4点が見つけられるかわかりますか.
外接球の直径となる2点(対蹠点)が存在する正多面体(正四面体以外の多面体)では必ず長方形となる4点が見つかります.
外接球の直径となる2点をA,Kとします.
A,Kと他の頂点を通る平面で切るとその切り口はAKを直径とする円であるから, 必ず長方形が出来るわけです.
ですから,正12面体の2点間の距離について上で述べた関係式が成り立つことはあたりまえのことです.



ここで,上で求めた一番長い対角線AKは正12面体の外接球の 直径であることに注目しましょう.

さらに,外接球の中心Oより,1つの面に下ろした垂線の足をHとすると, OHはこの正12面体の内接球の半径です.
この長さOHは,正12面体を12個の各面が底面で頂点が Oの正5角錐に分けたときの5角錐の高さです.
HKが求まればOHが計算できるから,正12面体の体積を求めるための残された問題は 1辺の長さ1の正5角形の外接円の半径と面積を求めることだけです.
それを求めましょう.
ここでは,正5角形の対角線の長さaを用いて表します.

正5角形の内角108°がよく現れるので,
θ=108°
の正弦,余弦を計算しておこう.
△ABEで余弦定理より

(∵a−a−1=0)

正5角形の外接円の半径$s$は,△ABEの外接円の半径と考えることより
$s=\dfrac{a}{2\sin \theta}=\dfrac{a}{\sqrt{2+a}}$
(以下一部訂正しました(2016年2月))
ここで,
$\sin 72^{\circ}=\sin 108^{\circ}=\sin \theta$
より正5角形の面積は$S$は
$S=5\cdot \dfrac{s^2\sin \theta}{2}=\dfrac{5a^2}{4\sqrt{a+2}}$
ここで
$\dfrac{a^2}{\sqrt{a+2}}$
を計算しよう.平方すると
$\dfrac{a^4}{a+2}$
$a^2=a+1$であるから$a^4=(a+1)^2=3a+2$より
$=\dfrac{3a+2}{a+2}$
$=\dfrac{5+2\sqrt{5}}{5}$
したがって,
$S=\dfrac{5}{4}\cdot \sqrt{\dfrac{5+2\sqrt{5}}{5}}=\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}$

準備は終わりました.
1辺の長さ1の12面体の体積を求めましょう.

を代入し一つ一つ計算していきます.
以下,一辺の長さ$1$の正12面体の外接球の半径を$R,$内接球の半径を$r$,体積を$V,$一辺の長さ$1$の正5角形の 外接円の半径を$s,$面積を$S$とします.
$R=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}$
$s=\dfrac{a}{\sqrt{a+2}}=\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{10}}$
$r=\sqrt{R^2-s^2}=\sqrt{\dfrac{25+11\sqrt{5}}{40}}$
$S=\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}$
$V=12\cdot \dfrac{Sr}{3}=\dfrac{15+7\sqrt{5}}{4}$

正12面体の体積が計算できましたが.後半の計算が面倒でした.

他の方法で体積を計算しましょう.
それは,正12面体に含まれる立方体を利用する方法です.

すなわち,1辺の長さaの立方体の体積に6つの立体AB−CDEFの体積を 加える方法です.
立体AB−CDEFの体積を求めましょう.
この体積を求める方法は,10人いれば10の解答があります.
皆さんも自分でやってみましょう.
ここは1つの解答例とおもってください.
辺CDの中点Qを通りCDに垂直な平面でこの立体を切った図形を考えます.
右図のPSは1辺の長さ1の正5角形の高さです.
この性質を利用しましょう.

右の正5角形で,三平方の定理より

さらに(右下図)
VU:VS=1:a
より

ここで,立体AB−CDEFの図形に戻ります.
△PQRの高さ$h$は$a^2=a+1,a^4=(a+1)^2=3a+2$を用いて計算すると

$\therefore h=\dfrac{1}{2}$

この高さが1辺の長さの$\frac{1}{2}$になるのも面白い.
図形的な意味があるのでしょう.

立体AB−CDEFを求める.
三角柱と2つの四角錐に分け て考える.
三角柱,四角錐の体積をそれぞれ$a$で表し計算すると

(三角柱の体積)+2×(4角錐の体積)
$=\dfrac{1}{2}\cdot a \cdot \dfrac{1}{2}\cdot 1+a(a-1)\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}$
$=\dfrac{3a+2}{12}$
したがって,

(1辺の長さ1の正12面体の体積)
$=a^3+6\cdot \dfrac{3a+2}{12}$
$=\dfrac{7a+4}{2}=\dfrac{15+7\sqrt{5}}{4}$

正12面体の体積が分かれば,正5角形の面積より内接球の半径がわかり, さらに外接球の半径が求まります.と原理的には解決しますが,実際の計算は簡単ではありません.



次にベクトルを用いて,正12面体の外接球の直径を求めよう.
正12面体の1辺の長さを1として,1辺の長さ1の正5角形の対角線の長さ,すなわち黄金比を$\alpha$とおきます.
すなわち
$\alpha =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
です.$\alpha $は
$\alpha :1=1:\alpha -1$
より
$\alpha ^2=\alpha +1$
を満たすことはここでも用います.
右図で
$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$
とおき,$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ で表します.
$\overrightarrow{BE}=\alpha \overrightarrow{OC}=\alpha \overrightarrow{c}$
より,
$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{b}+\alpha \overrightarrow{c}$
同様に,
$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{a}+\alpha \overrightarrow{c}$
したがって,
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{a}+(\alpha -1)\overrightarrow{c}$
よって,
$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{EF}$
$=(\overrightarrow{b}+\alpha \overrightarrow{c})+\alpha \{\overrightarrow{a}+(\alpha -1)\overrightarrow{c}\}$
$=\alpha \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\alpha ^2\overrightarrow{c}$
さらに$\overrightarrow{FH}$を計算してもよいですが,$\overrightarrow{OF}$と$\overrightarrow{OH}$の$\overrightarrow{c}$ の係数は同じですから
$\overrightarrow{H}=\alpha ^2(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$
となります.
理由を説明すると,$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$は1次独立である から,$\overrightarrow{OH}$の$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$による表し方は一通り. さらに$OH$の周りに120°回転すると $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$はサイクリックに変ります.したがって 係数が一致し
$\overrightarrow{OH}=k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$
と表せる.
ここで,$\overrightarrow{OF}$と$\overrightarrow{OH}$では$\overrightarrow{c}$の係数が同じである.というわけです.
実際に$\overrightarrow{FH}$を下の面で考えることにより
$\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{a}+\alpha \overrightarrow{b}$
であるから$(\because \alpha ^2=\alpha +1)$
$\overrightarrow{OH}=\alpha ^2(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$
後は単純な計算です.
$\alpha =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
を用いて内積を計算すると,
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c} =\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=\cos \dfrac{3\pi}{5}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}$
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2=3+6\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\dfrac{(\sqrt{15}-\sqrt{3})^2}{4}$
$\therefore 2R=\alpha ^2\cdot \dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}$

ここで行ったように,各頂点間のベクトルは$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$で表すことができ, 正12面体の性質を調べるのにベクトルを用いるのは有効な方法である.


2.正20面体
正20面体も正12面体と同様に扱います.
正12面体と比べるとはるかに簡単です.
以下,1辺の長さ1の正20面体の外接球の半径R,内接球の半径をrとします.
また,1辺の長さ1の正5角形の対角線の長さをaとします.なお,aは
=a+1
が成り立ちます.

2頂点間の距離は3種類しかありません.
すなわち,右の図の
AB=1,AC=a,AD=2R
4R=1+a
より

さらに
=R−1/3
より


したがって,正20面体の体積Vは



正12面体で行ったように,ベクトルを用いて正20面体の外接球の直径を求めよう.
右図は1辺の長さ1の正20面体で,
$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$
とおく.
黄金比を$\alpha$と置けば,すなわち
$\alpha =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
と置けば,
$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}$
$=\overrightarrow{a}+\alpha \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}$
ここで,
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\dfrac{1}{2}, \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}$
であるから,
$2R=|\overrightarrow{OF}|=|\overrightarrow{a}+\alpha \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}}$


等面多面体


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