いろいろな立体の問題 第４節正多面体と等面多面体(1) 1.正12面体 ここでは，正１２面体及び正２０面体の体積を求めます． 正多面体を扱いときは，実際に立体を手にとることが出来ないと，きちんとした理解が出来ません． 正１２面体の展開図を載せておきますので，プリントアウトし，立体を作りその上で読み進めることをお勧めします． また，もしあなたが高校生なら，数学の研究室にいけば正１２面体や正２０面体の 模型が転がっているので，多分貸してくれるでしょう．それを利用するとよいでしょう． ここでは２頂点間の距離に注目して体積を調べます． 正１２面体の１辺の長さを１とすると，右図で １＝ＡＢ＜ＡＪ＜ＡＫ＜ＡＳ＜ＡＴ となります． ちなみに，ＡＴはこの正１２面体の外接球の直径です． これらの長さを求めます．といっても難しくありません． 正１２面体の頂点で，長方形となる４点を見つけましょう． ２種類の長方形が見つかります． 右手の親指と人差し指で，１つの辺を押さえ，左手でこの立体を支えれば，長方形が１つ見つかります． もう一つは１つの面の対角線例えばＡＪを親指と人差し指で押さえて，同じことをやれば見つかります． 正１２面体では２頂点を結ぶ線分は５種類あります．右図で四角形ABDE,ACDFはともに長方形ですので， $AB^2+AE^2=AC^2+AF^2=AD^2$ が成り立ちます． この関係式を用いて対角線の長さを求めます． まずACについて．これは辺の長さ１の正５角形の対角線の長さです． ＡＣ＝ａとおく． 右図で，△ＡＢＥ∽△ＧＡＥに注目すれば １：ａ＝ａ−１：１ より を得る． 次に２番目に長いAEの長さです． 右下の図より，一回り大きい正５角形の対角線になっていることがわかります． したがって，ＡＩ＝ａとおけばＡＳ＝ａ２です． これで，あとはすでにみつけた２つの長方形より他の対角線の長さが計算より求められますが， ここでは，もう一つ正方形を見つけて ３番目の長さの線分の長さを求めましょう． 右図の正方形を利用すると がわかります． 最後に一番長いＡＴについて． これは，三平方の定理より より がわかります． $AT$すなわち正$12$面体の外接球の直径を求めるだけなら，右図の正方形を面とする立方体(後で用いている) の対角線であるから$\sqrt{3}a$と簡単に得ることができる． 以上で，２点間の距離のすべての長さがわかりました． １辺の長さ１の正５角形の対角線の長さをａとすると 短い順に となります．aは黄金比です．見事な関係です．正12面体が美しい秘密はこの辺にあるのかも知れません． ところで，なぜ正多面体の頂点で長方形となる４点が見つけられるかわかりますか． 外接球の直径となる２点（対蹠点）が存在する正多面体（正四面体以外の多面体）では必ず長方形となる４点が見つかります． 外接球の直径となる２点をＡ，Ｋとします． Ａ，Ｋと他の頂点を通る平面で切るとその切り口はＡＫを直径とする円であるから， 必ず長方形が出来るわけです． ですから，正１２面体の２点間の距離について上で述べた関係式が成り立つことはあたりまえのことです． ここで，上で求めた一番長い対角線ＡＫは正１２面体の外接球の 直径であることに注目しましょう． さらに，外接球の中心Ｏより，１つの面に下ろした垂線の足をＨとすると， ＯＨはこの正１２面体の内接球の半径です． この長さＯＨは，正１２面体を１２個の各面が底面で頂点が Ｏの正５角錐に分けたときの５角錐の高さです． HKが求まればOHが計算できるから，正１２面体の体積を求めるための残された問題は １辺の長さ１の正５角形の外接円の半径と面積を求めることだけです． それを求めましょう． ここでは，正５角形の対角線の長さａを用いて表します． 正５角形の内角１０８°がよく現れるので， θ＝１０８° の正弦，余弦を計算しておこう． △ＡＢＥで余弦定理より (∵ａ２−ａ−１＝０) 正５角形の外接円の半径$s$は，△ＡＢＥの外接円の半径と考えることより $s=\dfrac{a}{2\sin \theta}=\dfrac{a}{\sqrt{2+a}}$ (以下一部訂正しました(2016年2月)) ここで， $\sin 72^{\circ}=\sin 108^{\circ}=\sin \theta$ より正５角形の面積は$S$は $S=5\cdot \dfrac{s^2\sin \theta}{2}=\dfrac{5a^2}{4\sqrt{a+2}}$ ここで $\dfrac{a^2}{\sqrt{a+2}}$ を計算しよう．平方すると $\dfrac{a^4}{a+2}$ $a^2=a+1$であるから$a^4=(a+1)^2=3a+2$より $=\dfrac{3a+2}{a+2}$ $=\dfrac{5+2\sqrt{5}}{5}$ したがって， $S=\dfrac{5}{4}\cdot \sqrt{\dfrac{5+2\sqrt{5}}{5}}=\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}$ 準備は終わりました． １辺の長さ１の１２面体の体積を求めましょう． を代入し一つ一つ計算していきます． 以下，一辺の長さ$1$の正12面体の外接球の半径を$R,$内接球の半径を$r$,体積を$V,$一辺の長さ$1$の正5角形の 外接円の半径を$s,$面積を$S$とします． $R=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}$ $s=\dfrac{a}{\sqrt{a+2}}=\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{10}}$ $r=\sqrt{R^2-s^2}=\sqrt{\dfrac{25+11\sqrt{5}}{40}}$ $S=\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}$ $V=12\cdot \dfrac{Sr}{3}=\dfrac{15+7\sqrt{5}}{4}$ 正12面体の体積が計算できましたが．後半の計算が面倒でした． 他の方法で体積を計算しましょう． それは，正12面体に含まれる立方体を利用する方法です． (なお，すでに述べましたが， この立方体の対角線が正12面体の外接球の直径です．なおこの立方体を見れば3辺 $a,\sqrt{2}a,\sqrt{3}a$ の関係は明らかです．) １辺の長さａの立方体の体積に６つの立体ＡＢ−ＣＤＥＦの体積を 加える方法です． 立体ＡＢ−ＣＤＥＦの体積を求めましょう． この体積を求める方法は，１０人いれば１０の解答があります． 皆さんも自分でやってみましょう． ここは１つの解答例とおもってください． 辺ＣＤの中点Ｑを通りＣＤに垂直な平面でこの立体を切った図形を考えます． 右図のＰＳは１辺の長さ１の正５角形の高さです． この性質を利用しましょう． 右の正５角形で，三平方の定理より さらに(右下図) ＶＵ：ＶＳ＝１：ａ より ここで，立体ＡＢ−ＣＤＥＦの図形に戻ります． △ＰＱＲの高さ$h$は$a^2=a+1,a^4=(a+1)^2=3a+2$を用いて計算すると $\therefore h=\dfrac{1}{2}$ この高さが１辺の長さの$\frac{1}{2}$になるのも面白い． 図形的な意味があるのでしょう． 立体ＡＢ−ＣＤＥＦを求める． 三角柱と２つの四角錐に分け て考える. 三角柱，四角錐の体積をそれぞれ$a$で表し計算すると (三角柱の体積)＋2×(4角錐の体積) $=\dfrac{1}{2}\cdot a \cdot \dfrac{1}{2}\cdot 1+a(a-1)\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{3a+2}{12}$ したがって， (１辺の長さ１の正１２面体の体積) $=a^3+6\cdot \dfrac{3a+2}{12}$ $=\dfrac{7a+4}{2}=\dfrac{15+7\sqrt{5}}{4}$ 正12面体の体積が分かれば，正５角形の面積より内接球の半径がわかり， さらに外接球の半径が求まります．と原理的には解決しますが，実際の計算は簡単ではありません． 次にベクトルを用いて，正12面体の外接球の直径を求めよう． 正12面体の１辺の長さを１として，１辺の長さ１の正５角形の対角線の長さ，すなわち黄金比を$\alpha$とおきます． すなわち $\alpha =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ です．$\alpha $は $\alpha :1=1:\alpha -1$ より $\alpha ^2=\alpha +1$ を満たすことはここでも用います． 右図で $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$ とおき，$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ で表します． $\overrightarrow{BE}=\alpha \overrightarrow{OC}=\alpha \overrightarrow{c}$ より， $\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{b}+\alpha \overrightarrow{c}$ 同様に， $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{a}+\alpha \overrightarrow{c}$ したがって， $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{a}+(\alpha -1)\overrightarrow{c}$ よって， $\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{EF}$ $=(\overrightarrow{b}+\alpha \overrightarrow{c})+\alpha \{\overrightarrow{a}+(\alpha -1)\overrightarrow{c}\}$ $=\alpha \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\alpha ^2\overrightarrow{c}$ さらに$\overrightarrow{FH}$を計算してもよいですが，$\overrightarrow{OF}$と$\overrightarrow{OH}$の$\overrightarrow{c}$ の係数は同じですから $\overrightarrow{H}=\alpha ^2(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ となります． 理由を説明すると，$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$は１次独立である から，$\overrightarrow{OH}$の$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$による表し方は一通り． さらに$OH$の周りに120°回転すると $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$はサイクリックに変ります．したがって 係数が一致し $\overrightarrow{OH}=k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ と表せる． ここで，$\overrightarrow{OF}$と$\overrightarrow{OH}$では$\overrightarrow{c}$の係数が同じである．というわけです． 実際に$\overrightarrow{FH}$を下の面で考えることにより $\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{a}+\alpha \overrightarrow{b}$ であるから$(\because \alpha ^2=\alpha +1)$ $\overrightarrow{OH}=\alpha ^2(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ 後は単純な計算です． $\alpha =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ を用いて内積を計算すると， $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c} =\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=\cos \dfrac{3\pi}{5}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}$ $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2=3+6\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\dfrac{(\sqrt{15}-\sqrt{3})^2}{4}$ $\therefore 2R=\alpha ^2\cdot \dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}$ ここで行ったように，各頂点間のベクトルは$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$で表すことができ， 正１２面体の性質を調べるのにベクトルを用いるのは有効な方法である． 2.正２０面体 正２０面体も正１２面体と同様に扱います． 正１２面体と比べるとはるかに簡単です． 以下，１辺の長さ１の正２０面体の外接球の半径Ｒ，内接球の半径をｒとします． また，１辺の長さ１の正５角形の対角線の長さをａとします．なお，ａは ａ２＝ａ＋１ が成り立ちます． ２頂点間の距離は３種類しかありません． すなわち，右の図の ＡＢ＝１，ＡＣ＝ａ，ＡＤ＝２Ｒ ４Ｒ２＝１＋ａ２ より さらに ｒ２＝Ｒ２−１／３ より したがって，正２０面体の体積Ｖは 正12面体で行ったように，ベクトルを用いて正20面体の外接球の直径を求めよう． 右図は１辺の長さ１の正20面体で， $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$ とおく． 黄金比を$\alpha$と置けば，すなわち $\alpha =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ と置けば， $\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}$ $=\overrightarrow{a}+\alpha \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}$ ここで， $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\dfrac{1}{2}, \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}$ であるから， $2R=|\overrightarrow{OF}|=|\overrightarrow{a}+\alpha \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}}$ 等面多面体 目次