いろいろな立体の問題

いろいろな立体の問題

第2節　立体の回転体の体積(その5)

次に正12面体の回転体の体積を求めよう．一見難しそうであるが，空間座標上における正12面体の頂点の座標を利用すると比較的簡単に求めることができる．なお，正５角形，正１２面体の諸量の求め方は第4節正多面体の体積にあるので，そちらをご覧ください．

正12面体の一つの面を$xy$平面上の置き，さらに，正5角形の中心を原点，１つの頂点を$x$軸上にとる．(右図)
このとき，各頂点の座標を求めるのであるが，正１２面体を真上から見ると，右下図で示した図である．
すなわち，２つの正5角形より決まる大小２つの正10角形の頂点である．さらに，２つの正10角形の外接円の半径の比は正5角形の１辺の長さと対角線の長さの比であるから
$1:\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
である．

次に$z$座標である．必要なのは４種類である．
すなわち，右図でいうと，頂点$A,F,K,Q$である．
$A$の$z$座標は$0$で，$Q$の$z$座標は内接球の直径$2r$であるから，すでに求めてある．
$AB$の中点を$W$とおき，$KW=a$とおく（正5角形の高さ）．正12面体の隣り合う2面のなす角$\theta$は
$\cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{5}}$
であるから$K$の$z$座標は
$a\sin \theta =\frac{2a}{\sqrt{5}}$
である．
当然$F$の$z$座標は
$2r-\frac{2a}{\sqrt{5}}$
である．
以上で，正12面体の各頂点を求める方法は分かった，これで各頂点が求められるかというとそれほど単純ではない．
正12面体の１辺の長さをいくつにするかが重要な問題です．
一辺の長さを1として計算すると，正12面体の内接球の直径は$\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}}$であり，また正5角形の高さ，すなわち内接円の半径と外接円の半径の和は簡単になりません．
パソコンで正12面体を扱うなら問題はありませんが，これから解こうとする回転体の体積を求めるには不適切です．
ここでは，各正5角形の外接円の半径を1として計算します．
このときの正5角形の1辺の長さ$a$は
$a=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$
です．
以下用いる計算結果は次の通りである．いずれも簡単な計算で得られます．
$\bullet \ $ 正12面体の高さ（内接球の直径）$=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$
$\bullet \ $ 正5角形の高さ（内接円の半径と外接円の半径の和）$=\dfrac{5+\sqrt{5}}{4}$
$\bullet \ $ 正12面体の稜角$\theta$は$\cos \theta=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

まず，各頂点の$x,y$座標について．
上から見た，大小の正10角形の外接円の半径はそれぞれ，
$1,\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
である．
次に$z$座標について．
小さい順位$h_1,h_2,h_3,h_4$とすると，
$h_1=0,h_4=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$
稜角を$\theta$とすれば，
$h_3=\dfrac{5+\sqrt{5}}{4}\cdot \sin \theta =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$
$h_2=h_4-h_3=1$
これで，正12面体のすべての頂点が求められたことになるが，これらの計算より，次の性質が成り立つことがわかった．
定理
正１２面体の１つの面を平面上に置いたときの高さは，この正５角形の面の外接円の半径を１とすると，
$1,a,a ^2$
である．ただし，$a$は黄金比$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

準備が整いました，それでは，正12面体の回転体の体積を求めましょう．
頂点$A,F,K$の座標は
$A(1,0,0),F(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},0,1),K(\dfrac{(1+\sqrt{5})\cos \frac{\pi}{5}}{2} ,\dfrac{(1+\sqrt{5})\sin \frac{\pi}{5}}{2},\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})$
である．
ここで，
$a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},b=\cos \frac{\pi}{5},c=\sin \frac{\pi}{5}$
とおく．
$a(a-1)=1,b^2+c^2=1$
の関係式があることを利用して，以下の計算を行っている．

$F(a,0,1),K(ab,ac,a)$ である．
線分$AF$を$z$軸の周りに回転した部分の体積は，これは円錐台であるから
$\dfrac{(a^2+a+1)\pi }{3}=\dfrac{(2a+2)\pi }{3} \ \ \because a(a-1)=1$
次に，線分$FK$の$z$軸の周りの回転体の体積を求める．
直線$FK$の方程式は
$(x,y,z)=(a,0,1)+s(ab-a,ac,a-1)$
直線$FK$を平面$z=t$で切ったときの交点$P$は
$P(a+\dfrac{a(b-1)(t-1)}{a-1},\dfrac{ac(t-1)}{a-1},t)$
$V(0,0,t)$と置いて$VP^2$を計算すると，
$VP^2=a^2+\dfrac{2a^2(b-1)(t-1)}{a-1}+\dfrac{a^2(2-2b)(t-1)^2}{(a-1)^2}$
したがって，
$\displaystyle \pi \int_1^aVP^2dt=\dfrac{(2a+ab)\pi}{3}$
上で求めた円錐台の体積の２倍を加えて，求める回転体の体積は
$\dfrac{(6a+ab+4)\pi}{3}=\dfrac{(13\sqrt{5}+31)\pi}{12}$
となる．

１辺長さ1の正12面体を回転したときの体積は$\left(\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}\right)^3$で割る必要ある．この結果を見ても，一辺の長さ1で計算するのは相当困難であることが分かる．

続く

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