いろいろな立体の問題

いろいろな立体の問題

第１節　体積における置換積分を身につけよう(その5)

例題6についてのいくつかの解説を致します．

解説
$1. \ \ $ 円錐の底面の円の半径が$a$高さが$h$のとき，
(2)の体積は$a^2h$倍すなわち
$\left(\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{2}{9}\right)a^2h$
となります．
これは，$x,y$軸方向に$a$倍$z$軸方向に$h$倍，すなわち
$(x,y,z)\mapsto (ax,ay,hz)$
できまる変換だからです(正射影を身につけようを参照)．
実際この変換により，
$($平面$z=y) \mapsto \ ($平面$\dfrac{z}{h}=\dfrac{y}{a})$
$($円錐$x^2+y^2=(1-z)^2) \ \mapsto \ ($平面$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=(1-\dfrac{z}{h})^2)$
です．

なお(1)の切り口の面積は
$\dfrac{2a\sqrt{a^2+h^2}}{3}$
です．
もちろん$h=a$なら相似変換なので，切り口の面積は
$\dfrac{2\sqrt{2}a^2}{3}$
となります．

$2. \ \ $(1)の解答は平面$z=y$上に基本ベクトルを定めて，すなわち座標を定めて解いている．
第３節で学ぶ正射影を利用すれば次のようになる．円錐
$x^2+y^2=(1-z)^2$・・・①
と平面
$z=y$・・・②
の交線の$xy$平面への正射影は①，②より$z$を消去したものです．
これは次のように考えればよい．
①，②の両方を満たす点は$z$を消去した
$x^2+y^2=(1-y)^2$・・・③
上にある．
③は$xy$平面上の曲線③を$z$軸方向に平行移動して得られる柱面です．ですから，①，②の交線の正射影が$xy$平面上の③になります．もし逆を示したければ ③の点に対して$z=y$で$z$を定めれば，①，②の交点が得られます．

③を計算すると
$x^2=1-2y$
$\displaystyle \int_{-1}^1\dfrac{1-x^2}{2}dx=\dfrac{2}{3}$
$xy$平面と平面$z=y$のなす角は$\frac{\pi}{4}$ですから，求める面積は$\sqrt{2}$倍して
$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
となります．

$3. \ \ $
(2)の
$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{d \theta}{(1+\cos \theta)^3}$
の計算は
$t=\tan \dfrac{\theta}{2}$
でもよい((3)はこの方法で解いた)．
この置換積分は三角関数が分母にあるときよく用いられる．
なお
$\cos 2\theta =\dfrac{1-\tan ^2\theta}{1+\tan ^2\theta}$
$\sin 2\theta =\dfrac{2tan \theta}{1+\tan ^2\theta}$
は
$\cos 2\theta =\dfrac{\cos ^2\theta -\sin ^2\theta}{\cos ^2\theta +\sin ^2\theta} =\dfrac{1-\tan ^2\theta}{1+\tan ^2\theta}$
$\sin 2\theta =\dfrac{2\sin \theta \cos \theta}{\cos ^2\theta +\sin ^2\theta}=\dfrac{2\tan \theta}{1+\tan ^2\theta}$
と変形すると覚えやすい．
$t=\tan \dfrac{\theta}{2}$
のとき
$1+\cos \theta=\dfrac{2}{1+t^2}$
$\dfrac{dt}{d\theta }=\dfrac{1}{2\cos ^2 \frac{\theta}{2}}=\dfrac{1+t^2}{2}$
より
$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{d \theta}{(1+\cos \theta)^3}d\theta $
$\displaystyle =\int_0^1(\dfrac{1+t^2}{2})^3\cdot \dfrac{2}{1+t^2}dt$
$\displaystyle =\dfrac{1}{4}\int_0^1(1+t^2)^2dt$
となり本文の計算と一致する．

$4. \ \ $
(3)で用いた，極方程式
$r=f(\theta ),\theta =\alpha ,\theta =\beta$
で囲まれた部分の面積が
$\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}f(\theta )^2d\theta$
となることの証明はつぎにように行う．

$OX, \ \theta =\theta ,\ \ r=f(\theta )$
で囲まれた部分の面積を$F(\theta )$とおくと
$\dfrac{F(\theta +h)-F(\theta)}{h} \fallingdotseq \dfrac{f(\theta )^2\sin h}{2h} \stackrel{h \to 0}{\longrightarrow} \dfrac{f(\theta )^2}{2}$
だから，
$\displaystyle F(\beta)-F(\alpha)=\int_{\alpha}^{\beta}F'(\theta )d\theta =\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{f(\theta )^2}{2}d\theta $
である．

なお，次の極座標に関する問題は，一度は解くべき良問です．

例題
極方程式
$r=|\sin 2\theta|$
の表す曲線を直交座標を用いた平面上で考える．
(1) この曲線上の点の直交座標を$(x,y)$とすると，$x=( \ \ ),y=( \ \ )$のとき$x$は最大値をとる．
(2) この曲線上の点$(x,y)\neq (0,0)$における接線の傾きが１であるとする．この点の偏角を$\theta$とすると， $\tan \theta =( \ \ )$である．
(3) この曲線上で点を動かすとき，原点$O$からの距離$r$が$P(x_0,y_0) \ (x_0\text{＞},y_0\text{＞}0)$で最大値をとるとする．点$P$とは異なるこの曲線上の点$Q(x_1,y_1)$において$x_1=x_0$であるとき，点$Q$の偏角を $\theta$とすると，$\tan \theta =( \ \ )$である．
(4) この曲線の概形を直交座標を用いた平面上に図示しなさい（$x$および$y$が最大値，最小値をとる点の座標を記入しなさい）．さらに同一平面上に関数$y=-x+\frac{3+\sqrt{3}}{4}$のグラフを書きなさい（この関数のグラフと上の曲線の交点の座標を記入しなさい）．
(5) この曲線で囲まれた図形と３つの不等式
$x \geqq 0,y \geqq 0,y\leqq -x+\dfrac{3+\sqrt{3}}{4}$
を同時に満たす領域の共通部分の面積を求めなさい．

慶応大・医（2003年）

解答

最後に次の問題を解きましょう．それほど困難なく解けるでしょう．

例題7
底面の半径ａ，高さがｈの２つの斜円柱が下底を共通し，上底が外接している．この２つの斜円柱の共通部分の体積を求めよ．

解答
斜円柱の底面の半径を１，高さを１として求めればよい（これは，出た結果をa²h倍すればよいからです）．２つの斜円柱の共通の下底である円をxy平面上に置き，円の中心を原点Ｏとする．また，２つの斜円柱の上底である円の中心をそれぞれＯ’，Ｏ”とする．

平面ｚ＝ｔでこの２つの円柱を切ったときの切り口の円の中心をそれぞれＰ，Ｑとすると，
Ｏ'Ｏ"＝２
より
ＰＱ＝2ｔ　
である．それぞれの切り口の円の半径は１である．
２つの円の共通部分の面積をS(t)とおく．
右下図の∠ＡＰＱ＝θを用いてS(t)を表すと
S(t)＝2(θ－sinθcosθ)
ただし，t＝cosθ．

したがって，求める体積は,ｔ＝cosθと置いて置換積分すると

となる．ここで求めた値を$a^2h$倍して
$\dfrac{4a^2h}{3}$
を得る．

実際に出題されるときは，例えばO'(1,0,1),O"(-1,0,1)のように上底の円の中心が与えられる場合が多いが，解答から分かるように，上底である２円の中心間の距離だけで共通部分の体積は決まる．

第2節　立体の回転体の体積

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