いろいろな立体の問題第2節 立体の回転体の体積(その１) ここでは，立体を回転したときの体積を求めます． 例えば，正四角錐Ｐ−ＡＢＣＤでＰと正方形ＡＢＣＤの中心がｚ軸上にあるとき，この正四角錐をｚ軸の周りに回転したときの 回転体の体積を求めるような問題を考えるわけです． 求める回転体は正方形ＡＢＣＤに外接する円を底面とする円錐です． なお．線分ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ，ＰＤは円錐の母線となっています． さて，ここでは立体の回転を主に扱いますが，空間図形における三角形， 円盤（円およびその内部を含む図形を円盤またはディスク（disk）という） 
等の空間図形に浮かぶ平面図形を回転したときの通る部分の体積を求める問題も主要な対象です．解法の方針の確認をしておきましょう． (T) 回転する立体を回転軸に垂直な平面で切り，その切り口の図形が回転軸を含まないとき． 切り口の図形のうち回転軸から一番はなれている点(右図で言うと点Ｃ)と一番近い点（右図でいうと接点） を調べ，大きい円より小さな円を除い部分の面積を求める． (U) 回転する立体を回転軸に垂直な平面で切り，その切り口の図形が回転軸を含むとき． 切り口の図形のうち回転軸より一番はなれた点（右図でいうと点Ａ）を調べ，ＯＡを半径とする円の面積を求める． 
後は状況に応じて積分すれば体積が求まります． さてこの機会に曲面を表す式を学びましょう． 一般的な方法ではありません．座標軸に垂直な平面で切った切り口の図形を利用する方法です． この方法は高校生でも簡単に理解でき，大学入試問題を解くだけならこれで十分だからです． まず，球を円を回転した図形として扱ってみましょう． 例１ 球の方程式 
原点を中心とする半径ｒの球を，ｙｚ平面における半径ｒの円ｙ２＋ｚ２＝ｒ２・・・@ をｚ軸の周りに回転した図形として考えてみましょう． ｚ＝ｔと円@との交点のうち片方を点Ｐとし，Ｐからｚ軸に下ろした垂線の足をＱとすると ＰＱ２＝ｒ２−ｔ２ より，@をｚ軸の周りに回転した曲面のｚ＝ｔ上の部分は原点を中心とする円で,その式は ｘ２＋ｙ２＝ｒ２−ｔ２ ・・・A ｚ＝ｔ ・・・B となります．A，Bよりｔを消去し ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ｒ２ を得ます． 一般に，曲面の方程式の作り方は次の通りです． 曲面をｚ＝ｔ（ｘ＝ｔ，ｙ＝ｔの場合も当然ある）で切った切り口の曲線をｘ，ｙ，ｔで表し，ｔにｚを代入する． 曲面の方程式を作る必要がある場合は，ほとんどが回転体の場合です． 
例２ 楕円の回転体$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1 \ $をｘ軸の周りに回転した図形とｙ軸の周りに回転した図形を求めよう． （T）ｘ軸の周りに回転して得られる曲面 ｘ＝ｔのとき右の図で $PQ^2=1-\dfrac{t^2}{4}$ したがって，$x=t$で切った切り口の図形は $y^2+z^2=1-\dfrac{t^2}{4}, \ x=t$ 
ｔを消去し$\dfrac{x^2}{4}+y^2+z^2=1$ を得る． この曲面を楕円面といいます(右図)． 座標軸とは （±２，０，０），（０，±１，０），（０，０，±１） で交わります． 
（U）ｙ軸の周りに回転して得られる曲面ｙ＝ｔのとき右の図で ＰＱ２＝４（１−ｔ２） したがって，ｙ＝ｔで切った切り口の図形は ｘ２＋ｚ２＝４（１−ｔ２），ｙ＝ｔ ｔを消去し $\dfrac{x^2}{4}+y^2+\dfrac{z^2}{4}=1$ を得る． 
この曲面も楕円面です(右図)． 座標軸とは （±２，０，０），（０，±１，０），（０，０，±２） で交わります． 
例３（円錐の方程式）ｙｚ平面上の直線ｚ＝ｙをｚ軸の周りに回転してえられる円錐の式を求めよう． 右図で， ＰＱ＝ＯＱ＝ｔ であるから，ｚ＝ｔで切った切り口の方程式は ｘ２＋ｙ２＝ｔ２ ｚ＝ｔ ｔを消去し 
ｘ２＋ｙ２＝ｚ２を得る． 続く 目次 |