いろいろな立体の問題

第3節 正射影を身につけよう(準備)
正射影の説明の前に,いくつかの準備を行います.
座標平面上の各点$P(x,y)$に同じ平面上の点$Q(X,Y)$がちょうど一つ定まるとき この対応を座標平面上の変換といいます.この変換を記号$f$などを用いて
$f:(x,y)\mapsto (X,Y)$
と表します.
なお,座標平面を$\mathbb{R}^2$と表すとき
$f:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$
と$\longrightarrow$を用いますが, 要素(元を使うこともある),ここでは点ですが,の移動には$\mapsto$を用いることが多い.
なお,関数は実数$\mathbb{R}$から実数$\mathbb{R}$への変換です.ここで考えるのは 関数の2次元への拡張です.
関数のうち最初に学ぶのは比例です.座標平面の変換で, 関数の比例に対応するのが1次変換と呼ばれる内容です.
現在,高校では1次変換を系統だって学ぶことはなくなりました. 皆さんが学ぶべき内容は,平行移動以外に,複素平面の中で学ぶ原点の周りの回転変換, 原点を通る直線に関する対称移動,および原点を中心として$x$軸方向に$a$倍,$y$軸方向の$b$倍する変換すなわち
$(x,y)\mapsto (ax,by)$
です.

$\bullet$原点の周りに$\theta$だけ回転させる回転変換
$(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)=x\cos \theta -y\sin \theta+i(x\sin\theta +y\cos \theta)$
より
$(x,y)\mapsto (x\cos \theta -y\sin \theta,x\sin \theta +y\cos \theta )$


$\bullet$原点を通る直線$y=(\tan \theta )x$に関する対称移動.
$z\mapsto w$
とする.
複素数は絶対値と偏角で決まる.
$\arg zw=2\theta ,|zw|=|z|^2=z\bar{z}$
より
$zw=z\bar{z}(\cos 2\theta +i\sin 2\theta)$
$z\neq 0$より
$w=(\cos 2\theta +i\sin 2\theta)\bar{z}$
$z=x+iy$とおくと
$(\cos 2\theta +i\sin 2\theta)(x-iy)$
$=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta+i(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta)$
より
$(x,y)\mapsto (x\cos 2\theta +y\sin 2\theta,x\sin 2\theta -y\cos 2\theta )$

ここまでは大きな問題はないでしょう.
蛇足ですが,複素数で,絶対値と偏角に注目することはとても大切なことです.
たとえば
$\alpha =a+bi=r_1(\cos \theta +i\sin \theta )$
$\beta =c+di=r_2(\cos \phi +i\sin \phi )$
のとき,$A(\alpha),B(\beta)$とおく.
$\bar{\alpha}\beta$の偏角は$\phi -\theta$,絶対値は$r_1r_2=OA\cdot OB$
より
$\bar{\alpha}\beta =OA\cdot OB\cos (\phi -\theta)+iOA\cdot OB\sin (\phi -\theta)$
一方, $\bar{\alpha}\beta =(a-bi)(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i$
$\therefore OA\cdot OB\cos (\theta -\phi)=ac+bd, OA\cdot OB\sin (\theta -\phi)=ad-bc$
これは$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$で決まる内積や,平行四辺形の面積を 成分$a,b,c,d$で表す証明になっている.

$\bullet$原点を中心として$x$軸方向に$a$倍,$y$軸方向の$b$倍する変換
この変換を$f$とする.
すなわち
$f:(x,y)\mapsto (ax,by)$
ただし,ここでは$a > 0,b > 0$とする.
変換$f$による領域$S$の像を$S'$とする.領域$S,S'$の面積をそれぞれ同じ記号$S,S'$で表す.
この時
$S'=abS$
が成り立ちます.
この事実をきちんと理解しましょう.

次の解説が一般的です.
まず,各辺が座標軸に平行な長方形の像を調べます.
$A(p,r),B(q,r),C(q,s),D(p,s)$
とおき,$A,B,C,D$の像を$A',B',C',D'$とする.
長方形$ABCD,A'B'C'D'$の面積をそれぞれ$S,S'$とすると
$S=|(q-p)(s-r)|$
一方
$S'=|(aq-ap)(bs-br)|=ab|(q-p)(s-r)|$
であるから,
$S'=abS$
となります.
なお,線分の長さは方向により変わることを確認してください.
右図で
$A'B'=aAB,A'D'=bAD$
です.

次に一般の図形で考えます.
領域$S$の$f$による像を$S'$とします.このとき
$S'=abS$
が成り立ちます.理由は次のように考えましょう.
$S$を座標軸に平行な長方形で分割近似する.それぞれの 長方形の$f$による像の面積は$ab$倍であるから$S'$は$ab$倍である.

変換$f$により,図形の形は変わりますが,面積は一定の割合で変化することがわかりました.

同様の理由で,すなわち各面が座標軸に平行な直方体の像を考えることにより変換
$f:(x,y,z)\mapsto (ax,by,cz)$
により立体$V$が立体$V'$になるとき$V'$の体積は$V$の体積の$|abc|$倍 になることも納得できると思います(円錐の一部の体積の解説を参照).


例1
変換$(x,y)\mapsto (ax,by)$により領域の面積が$ab$倍になることは上の 説明で納得できればそれで十分です.
証明は次のようにすればよい.
$y=f(x),y=g(x),p\leqq x\leqq q$
で囲まれた領域の変換$(x,y)\mapsto (ax,by)$による像は
$\dfrac{y}{b}=f(\dfrac{x}{a}),\dfrac{y}{b}=g(\dfrac{x}{a}), \ \ ap\leqq x\leqq aq$
で囲まれた領域です.
面積が$ab$倍になっていることを確認しましょう.
$\displaystyle \int_{ap}^{aq}\left(bf(\dfrac{x}{a})-bg(\dfrac{x}{a})\right)dx$
$t=\dfrac{x}{a}$とおくと, $x:ap\to aq$のとき$t:p\to q$であり,$\dfrac{dx}{dt}=a$より$dx=adt$
$\displaystyle =ba\int_p^q(f(t)-g(t))dt$
したがって,面積が$ab$倍になる.



例2
楕円に内接する三角形の最大値を求めよ.
を考えてみましょう.直接解こうとすると難問だと思います.しかし,楕円
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
は変換$(x,y)\mapsto (\dfrac{x}{a},\dfrac{y}{b})$ により単位円$x^2+y^2=1$にうつる.
円に内接する最大面積の三角形は正三角形で,半径$1$の円に内接する正三角形の面積は $\dfrac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}^2}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
より,この楕円に内接する三角形の面積の最大値は
  $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}ab$
である.
さらに,
原点を中心とする単位円に内接する正三角形の3頂点は
$(\cos \theta ,\sin \theta),(\cos (\theta +\frac{2\pi}{3}), \sin (\theta +\frac{2\pi}{3})),(\cos (\theta +\frac{4\pi}{3}), \sin (\theta +\frac{4\pi}{3}))$
であるから
最大面積の三角形の頂点は
$(a\cos \theta ,b\sin \theta),(a\cos (\theta +\frac{2\pi}{3}), b\sin (\theta +\frac{2\pi}{3})),(b\cos (\theta +\frac{4\pi}{3}), b\sin (\theta +\frac{4\pi}{3}))$
である.ただし$\theta$は任意.

例3
次の入試問題もおもしろい(順天堂大(医)2015).

$y=g(x)=x^3-3x$がある.この関数の変曲点は$(\text{ア},\text{イ})$であり,$x=\text{ウエ}$で 極大になり,$x=\text{オ}$で極小になる.この関数のグラフと直線$y=g(\alpha )$ が3つの交点を持ち,2つの囲まれる部分が存在する.その2つの部分の面積比が$2:1$になるように $\alpha (0\leqq \alpha \leqq 1)$を定義する.
以下,面積比が$2:1$というときには直線の上の部分を2,下の部分の1とし,2番目の交点というときには,3つの 交点を$x$座標の小さい順に並べたときの2番目の交点とする.
たとえば,傾き9の直線で,この関数$y=g(x)$のグラフとその直線により囲まれる2つの部分の面積比が $2:1$になるのを求めたい.
$g(x)-9x=x^3-12x$の変曲点は$g(x)$と同じ$(\text{ア},\text{イ})$になり.このグラフは $y=g(x)$のグラフを変曲点を中心に$x$軸方向に$\text{カ}$倍,$y$軸方向に$\text{キ}$倍したものになる. したがって,$g(x)-9x$のグラフと$x=\text{カ}\alpha$において2番目の交点をもつ$x$軸に平行な直線によって 囲まれる2つの部分の面積比は$2:1$になる.すなわち,$y=g(x)$上の $x=\text{カ}\alpha$の点を通る傾き9の直線が求める直線である.
この例を利用して,次の3つの場合を考えてみよう.
場合1:$y=g(x)$と$y=x$に平行な直線で囲まれる2つの部分の面積比が$2:1$になるとき,2番目の 交点の$x$座標は$\dfrac{\text{ク}\sqrt{ケ}}{\text{コ}}\alpha$である.
場合2:$y=g(x)$と$(\dfrac{1}{2},g(\dfrac{1}{2}))$を通る直線で囲まれる2つの部分の面積比が $2:1$になるとき,この直線の傾きは$c\alpha ^d+e.$ただし$c=\dfrac{\text{サ}}{\text{シ}},d=\text{スセ},e=\text{ソタ}$である.
場合3:$y=x^3-x^2-x+1$のグラフと$x$軸に平行な直線で囲まれる2つの部分の面積比が$2:1$となるとき ,2番目の交点の$x$座標は$x=\dfrac{\text{チ}}{\text{ツ}}\alpha +\dfrac{\text{テ}}{\text{ト}}$ である.

解答・解説
$y=x^3-3x$の変曲点は$(0,0)$で$x=-1$で極大値をとり$x=1$で極小値をとる.
ここまでは問題ないでしょう.これからがすこしわかりづらい. 問題の意図が読み取れましたか.少し説明します.
$y=x^3-3x$とこの関数のグラフと3点で交わる直線$l$で交わる直線が与えられたとき,2つの囲まれた領域をそれぞれ $S_1,S_2$とする.
平面から平面への変換
$(x,y)\mapsto (ax,by)$
による$S_1,S_2$の像をそれぞれ$S_1',S_2'$とするとき
$S_1:S_2=S_1':S_2'$
である.一方,
$y=x^3-3x$の変換$(x,y)\mapsto (ax,by)$による像は
$\dfrac{y}{b}=(\dfrac{x}{a})^3-3\dfrac{x}{a}$
より
$y=\dfrac{bx^3}{a^3}-\dfrac{3bx}{a}$
したがって,$a^3=b$であるように$a,b$を動かすことにより$x$の項をかえることができる.
さて,問題では,$y=g(x)=x^3-3x$と直線$y=g(\alpha ) \ (0\leqq \alpha \leqq 1)$を考え, 2つの囲まれる部分の面積比が$2:1$になるように$\alpha$を定めます(ちなみに,この$\alpha$を求めるのは簡単でない).
$y=x^3-3x \mapsto y=x^3-12x=x^3-3x-9x$
となる変換
$(x,y)\mapsto (ax,a^3y)$
を求めよう.
上で計算した
$y=x^3-3a^2x$
が$y=x^3-12x$より
$a=2$
すなわち, $(x,y)\mapsto (2x,8y)$
となる.
この変換で,直線$y=g(\alpha )$は直線$y=8g(\alpha)$に写るから
$y=x^3-3x \mapsto y=x^3-12x;$
$y=g(\alpha )\mapsto y=8g(\alpha)$
である,囲む面積の比は変わらないから$y=x^3-12x$と$y=8g(\alpha)$により囲まれる2つの図形の面積比は $2:1$である.
また点$(\alpha ,g(\alpha))$は$y=g(x)$と$y=g(\alpha)$の2番目の交点であるから,$(2\alpha ,8g(\alpha))$が $y=x^3-12x$と$y=8g(\alpha)$の2番目の交点である.
$y=x^3-12x$と$y=8g(\alpha)$で挟まれた2つの部分の面積と両方に$9x$を加えた $y=x^3-3x$と$y=9x+8g(\alpha)$で挟まれ2つの部分の面積はそれぞれ等しく,さらに $y=x^3-12x$と$y=8g(\alpha)$の交点の$x$座標と$y=x^3-3x$と$y=9x+8g(\alpha)$の交点の$x$座標は
同じである.
したがって
$y=g(x)$上の$x=2\alpha $の点を通る傾き$9$の直線が求める直線である
とこうなるのであるが文章で書くとわかりづらいかもしれない.右の3つのグラフ(図1),(図2),(図3)を見よう.
(図1)は,$y=x^3-3x=g(x)$と$y=g(\alpha)$のグラフで,2つの領域の面積の比が$2:1$となるように$\alpha$ を定めた.ちなみにこの$\alpha$を求めるのは簡単ではない.
変換$(x,y)\mapsto (2x,8y)$により
$y=x^3-3x\mapsto y=x^3-12x;y=g(\alpha)\mapsto y=8g(\alpha)$
となるからそのグラフが(図2)である.
さらに,両方に$9x$を加えた$y=x^3-12x+9x$と$y=8g(\alpha)+9x$のグラフが(図3)である.
図1,図2では同じ色の領域の面積比は同じで,図2,図3では同じ色の領域の面積は等しい.

場合1: $y=x^3-3x$の像が$y=x^3-3x-x$となる場合を考えればよい. $(x,y)\mapsto (ax,a^3y)$なる変換により$y=x^3-3x$の像は$y=x^3-3a^2x$であるから
$3a^2=4$
すなわち
$a=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
をとればよい.解答欄に合わせて有理化し2番目の交点の$x$座標は$x=\dfrac{2\sqrt{3}\alpha}{3}$

場合2:$(x,y)\mapsto (ax,a^3y)$で2番目の交点の$x$座標は$a\alpha$になる.
したがって,
$a\alpha =\dfrac{1}{2}$
$a=\dfrac{1}{2\alpha }$
このとき$y=x^3-3x$の像は
$y=x^3-\dfrac{3}{4\alpha ^2}x$
求める直線の傾きは
$\dfrac{3}{4\alpha ^2}-3$

場合3:この場合は少し工夫が必要です.
変換$(x,y)\mapsto (ax,a^3y)$により,曲線$y=x^3-x^2-x+1$の像は
$y=x^3-ax^2-a^2x+a^3$
となり,使えるのは($x^2$の係数が等しいのは)$a=1$だけであり,この時は恒等変換,そのままでは使えないことがわかる.
出題の意図は$y=x^3-3x$をもとにして,変曲点$(0,0)$を中心とした変換$(x,y)\mapsto (ax,a^3y)$を 利用するのであるから, 曲線$y=x^3-x^2-x+1$の変曲点を求め,その点が原点に来るように平行移動して計算し, さらに逆の平行移動によりもとめるのがわかりやすい.
$y"=6x-2$
より,変曲点の$x$座標は$x=\frac{1}{3}$
$y=x^3-x^2-x+1$を$x$軸方向に$-\frac{1}{3}$だけ平行移動すると
$y=(x+\dfrac{1}{3})^3-(x+\dfrac{1}{3})^2-(x+\dfrac{1}{3})+1$
$x^2$の係数は$0$になるから
$=x^3-\dfrac{4x}{3}+* \ \ $(定数項$*$は計算する必要がない)
変換$(x,y)\mapsto (ax,a^3)$で,$y=x^3-3x$は$y=x^3-3a^2x$
にうつるから$a=\frac{2}{3}$のとき
$y=x^3-3x\mapsto y=x^3-\dfrac{4x}{3}$
2番目の交点の$x$座標は$x=\dfrac{2\alpha}{3}$
求める座標は$x$軸方向に$\dfrac{1}{3}$だけ平行移動して $x=\dfrac{2\alpha }{3}+\dfrac{1}{3}$


<参考資料>
旧課程の内容である1次変換を用いて面積の関係を述べると次のようになります.興味があったら読んでみましょう.
一次変換で図形Xが図形Yにうつったときの2つの図形X,Yの面積の関係を調べる.
なお,この節では,ベクトルは列ベクトル,すなわち,成分を縦に書くものとします.
また,行列Aの行列式を$\det A$で表します.

Oを原点として行列Aで決まる一次変換fで△OPQが△ORSにうつるとき,
P,Qの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}$とすれば
△OPQの面積は
$\dfrac{\det(\overrightarrow{p} \ \ \overrightarrow{q})}{2}$
の絶対値であり,△ORSの面積は
$\dfrac{\det(A\overrightarrow{p} \ \ A\overrightarrow{q})}{2}$

の絶対値である.
一方
det($A\overrightarrow{p} \ \ A\overrightarrow{q}$)=detA・det($\overrightarrow{p} \ \ \overrightarrow{q}$)
である.
したがって,
行列Aで定まる一次変換で,△OPQが△ORSにうつるとき
(△ORQの面積)=│detA│・(△OPQの面積)
であることがわかる.
一般の図形の場合,図形Xが図形Yにうつるとき,Xの内部を三角形に分割近似し,
それぞれの面積が│detA│倍になるから
(Yの面積)=│detA│(Xの面積)
が成り立つ.


続く



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