なお，変換
$(x,y)\mapsto (ax,by)$
について高校の教科書では数学�Vの２次曲線，楕円のところで扱っていますが 数学�Uの三角関数の
$y=\sin ax,y=\cos ax$
のグラフを説明をするときに変換
$(x,y)\mapsto (ax,y)$
でグラフがどうなるかを解説しています．教科書を読み比べると面白い．

例1
変換$(x,y)\mapsto (ax,by)$により領域の面積が$ab$倍になることは上の 説明で納得できればそれで十分です．
証明は次のようにすればよい．
$y=f(x),y=g(x),p\leqq x\leqq q$
で囲まれた領域の変換$(x,y)\mapsto (ax,by)$による像は
$\dfrac{y}{b}=f(\dfrac{x}{a}),\dfrac{y}{b}=g(\dfrac{x}{a}), \ \ ap\leqq x\leqq aq$
で囲まれた領域です．
面積が$ab$倍になっていることを確認しましょう．
$\displaystyle \int_{ap}^{aq}\left(bf(\dfrac{x}{a})-bg(\dfrac{x}{a})\right)dx$
$t=\dfrac{x}{a}$とおくと， $x:ap\to aq$のとき$t:p\to q$であり，$\dfrac{dx}{dt}=a$より$dx=adt$
$\displaystyle =ba\int_p^q(f(t)-g(t))dt$
したがって，面積が$ab$倍になる．



例2
楕円に内接する三角形の最大値を求めよ．
を考えてみましょう．直接解こうとすると難問だと思います．しかし，楕円
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
は変換$(x,y)\mapsto (\dfrac{x}{a},\dfrac{y}{b})$ により単位円$x^2+y^2=1$にうつる．
円に内接する最大面積の三角形は正三角形で，半径$1$の円に内接する正三角形の面積は $\dfrac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}^2}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
より，この楕円に内接する三角形の面積の最大値は
　 $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}ab$
である．
さらに，
原点を中心とする単位円に内接する正三角形の３頂点は
$(\cos \theta ,\sin \theta),(\cos (\theta +\frac{2\pi}{3}), \sin (\theta +\frac{2\pi}{3})),(\cos (\theta +\frac{4\pi}{3}), \sin (\theta +\frac{4\pi}{3}))$
であるから
最大面積の三角形の頂点は
$(a\cos \theta ,b\sin \theta),(a\cos (\theta +\frac{2\pi}{3}), b\sin (\theta +\frac{2\pi}{3})),(b\cos (\theta +\frac{4\pi}{3}), b\sin (\theta +\frac{4\pi}{3}))$
である．ただし$\theta$は任意．

例3
次の入試問題もおもしろい（順天堂大（医）2015）．

$y=g(x)=x^3-3x$がある．この関数の変曲点は$(\text{ア},\text{イ})$であり，$x=\text{ウエ}$で 極大になり，$x=\text{オ}$で極小になる．この関数のグラフと直線$y=g(\alpha )$ が３つの交点を持ち，２つの囲まれる部分が存在する．その２つの部分の面積比が$2:1$になるように $\alpha (0\leqq \alpha \leqq 1)$を定義する．
以下，面積比が$2:1$というときには直線の上の部分を2,下の部分の1とし，２番目の交点というときには，３つの 交点を$x$座標の小さい順に並べたときの２番目の交点とする．
たとえば，傾き9の直線で，この関数$y=g(x)$のグラフとその直線により囲まれる２つの部分の面積比が $2:1$になるのを求めたい．
$g(x)-9x=x^3-12x$の変曲点は$g(x)$と同じ$(\text{ア},\text{イ})$になり．このグラフは $y=g(x)$のグラフを変曲点を中心に$x$軸方向に$\text{カ}$倍，$y$軸方向に$\text{キ}$倍したものになる． したがって，$g(x)-9x$のグラフと$x=\text{カ}\alpha$において２番目の交点をもつ$x$軸に平行な直線によって 囲まれる２つの部分の面積比は$2:1$になる．すなわち，$y=g(x)$上の $x=\text{カ}\alpha$の点を通る傾き９の直線が求める直線である．
この例を利用して，次の３つの場合を考えてみよう．
場合１：$y=g(x)$と$y=x$に平行な直線で囲まれる２つの部分の面積比が$2:1$になるとき，２番目の 交点の$x$座標は$\dfrac{\text{ク}\sqrt{ケ}}{\text{コ}}\alpha$である．
場合２：$y=g(x)$と$(\dfrac{1}{2},g(\dfrac{1}{2}))$を通る直線で囲まれる２つの部分の面積比が $2:1$になるとき，この直線の傾きは$c\alpha ^d+e.$ただし$c=\dfrac{\text{サ}}{\text{シ}},d=\text{スセ},e=\text{ソタ}$である．
場合３：$y=x^3-x^2-x+1$のグラフと$x$軸に平行な直線で囲まれる２つの部分の面積比が$2:1$となるとき ，２番目の交点の$x$座標は$x=\dfrac{\text{チ}}{\text{ツ}}\alpha +\dfrac{\text{テ}}{\text{ト}}$ である．

解答・解説
$y=x^3-3x$の変曲点は$(0,0)$で$x=-1$で極大値をとり$x=1$で極小値をとる．
ここまでは問題ないでしょう．これからがすこしわかりづらい． 問題の意図が読み取れましたか．少し説明します．
$y=x^3-3x$とこの関数のグラフと３点で交わる直線$l$で交わる直線が与えられたとき，２つの囲まれた領域をそれぞれ $S_1,S_2$とする．
平面から平面への変換
$(x,y)\mapsto (ax,by)$
による$S_1,S_2$の像をそれぞれ$S_1',S_2'$とするとき
$S_1:S_2=S_1':S_2'$
である．一方，
$y=x^3-3x$の変換$(x,y)\mapsto (ax,by)$による像は
$\dfrac{y}{b}=(\dfrac{x}{a})^3-3\dfrac{x}{a}$
より
$y=\dfrac{bx^3}{a^3}-\dfrac{3bx}{a}$
したがって，$a^3=b$であるように$a,b$を動かすことにより$x$の項をかえることができる．
さて，問題では，$y=g(x)=x^3-3x$と直線$y=g(\alpha ) \ (0\leqq \alpha \leqq 1)$を考え， ２つの囲まれる部分の面積比が$2:1$になるように$\alpha$を定めます(ちなみに，この$\alpha$を求めるのは簡単でない)．
$y=x^3-3x \mapsto y=x^3-12x=x^3-3x-9x$
となる変換
$(x,y)\mapsto (ax,a^3y)$
を求めよう．
上で計算した
$y=x^3-3a^2x$
が$y=x^3-12x$より
$a=2$
すなわち， $(x,y)\mapsto (2x,8y)$
となる.
この変換で,直線$y=g(\alpha )$は直線$y=8g(\alpha)$に写るから
$y=x^3-3x \mapsto y=x^3-12x;$
$y=g(\alpha )\mapsto y=8g(\alpha)$
である，囲む面積の比は変わらないから$y=x^3-12x$と$y=8g(\alpha)$により囲まれる２つの図形の面積比は $2:1$である．
また点$(\alpha ,g(\alpha))$は$y=g(x)$と$y=g(\alpha)$の２番目の交点であるから，$(2\alpha ,8g(\alpha))$が $y=x^3-12x$と$y=8g(\alpha)$の２番目の交点である．
$y=x^3-12x$と$y=8g(\alpha)$で挟まれた２つの部分の面積と両方に$9x$を加えた $y=x^3-3x$と$y=9x+8g(\alpha)$で挟まれ２つの部分の面積はそれぞれ等しく，さらに $y=x^3-12x$と$y=8g(\alpha)$の交点の$x$座標と$y=x^3-3x$と$y=9x+8g(\alpha)$の交点の$x$座標は
同じである.
したがって
$y=g(x)$上の$x=2\alpha $の点を通る傾き$9$の直線が求める直線である
とこうなるのであるが文章で書くとわかりづらいかもしれない．右の３つのグラフ(図１),(図２),(図３)を見よう．
(図１)は，$y=x^3-3x=g(x)$と$y=g(\alpha)$のグラフで，２つの領域の面積の比が$2:1$となるように$\alpha$ を定めた．ちなみにこの$\alpha$を求めるのは簡単ではない．
変換$(x,y)\mapsto (2x,8y)$により
$y=x^3-3x\mapsto y=x^3-12x;y=g(\alpha)\mapsto y=8g(\alpha)$
となるからそのグラフが(図２)である．
さらに，両方に$9x$を加えた$y=x^3-12x+9x$と$y=8g(\alpha)+9x$のグラフが(図３)である．
図１，図２では同じ色の領域の面積比は同じで，図２，図３では同じ色の領域の面積は等しい．

場合１: $y=x^3-3x$の像が$y=x^3-3x-x$となる場合を考えればよい． $(x,y)\mapsto (ax,a^3y)$なる変換により$y=x^3-3x$の像は$y=x^3-3a^2x$であるから
$3a^2=4$
すなわち
$a=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
をとればよい．解答欄に合わせて有理化し２番目の交点の$x$座標は$x=\dfrac{2\sqrt{3}\alpha}{3}$

場合２：$(x,y)\mapsto (ax,a^3y)$で２番目の交点の$x$座標は$a\alpha$になる．
したがって，
$a\alpha =\dfrac{1}{2}$
$a=\dfrac{1}{2\alpha }$
このとき$y=x^3-3x$の像は
$y=x^3-\dfrac{3}{4\alpha ^2}x$
求める直線の傾きは
$\dfrac{3}{4\alpha ^2}-3$

場合３：この場合は少し工夫が必要です．
変換$(x,y)\mapsto (ax,a^3y)$により，曲線$y=x^3-x^2-x+1$の像は
$y=x^3-ax^2-a^2x+a^3$
となり，使えるのは($x^2$の係数が等しいのは)$a=1$だけであり，この時は恒等変換，そのままでは使えないことがわかる．
出題の意図は$y=x^3-3x$をもとにして，変曲点$(0,0)$を中心とした変換$(x,y)\mapsto (ax,a^3y)$を 利用するのであるから， 曲線$y=x^3-x^2-x+1$の変曲点を求め，その点が原点に来るように平行移動して計算し， さらに逆の平行移動によりもとめるのがわかりやすい．
$y"=6x-2$
より，変曲点の$x$座標は$x=\frac{1}{3}$
$y=x^3-x^2-x+1$を$x$軸方向に$-\frac{1}{3}$だけ平行移動すると
$y=(x+\dfrac{1}{3})^3-(x+\dfrac{1}{3})^2-(x+\dfrac{1}{3})+1$
$x^2$の係数は$0$になるから
$=x^3-\dfrac{4x}{3}+* \ \ $(定数項$*$は計算する必要がない)
変換$(x,y)\mapsto (ax,a^3)$で，$y=x^3-3x$は$y=x^3-3a^2x$
にうつるから$a=\frac{2}{3}$のとき
$y=x^3-3x\mapsto y=x^3-\dfrac{4x}{3}$
２番目の交点の$x$座標は$x=\dfrac{2\alpha}{3}$
求める座標は$x$軸方向に$\dfrac{1}{3}$だけ平行移動して $x=\dfrac{2\alpha }{3}+\dfrac{1}{3}$


＜参考資料＞
旧課程の内容である１次変換を用いて面積の関係を述べると次のようになります．興味があったら読んでみましょう．
一次変換で図形Ｘが図形Ｙにうつったときの２つの図形Ｘ，Ｙの面積の関係を調べる．
なお，この節では，ベクトルは列ベクトル，すなわち，成分を縦に書くものとします．
また，行列Ａの行列式を$\det A$で表します．

Ｏを原点として行列Ａで決まる一次変換ｆで△ＯＰＱが△ＯＲＳにうつるとき，
Ｐ，Ｑの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}$とすれば
△ＯＰＱの面積は
$\dfrac{\det(\overrightarrow{p} \ \ \overrightarrow{q})}{2}$
の絶対値であり，△ＯＲＳの面積は
$\dfrac{\det(A\overrightarrow{p} \ \ A\overrightarrow{q})}{2}$

の絶対値である．
一方
det($A\overrightarrow{p} \ \ A\overrightarrow{q}$)＝detＡ・det($\overrightarrow{p} \ \ \overrightarrow{q}$)
である．
したがって，
行列Ａで定まる一次変換で，△ＯＰＱが△ＯＲＳにうつるとき
（△ＯＲＱの面積）＝│detＡ│・（△ＯＰＱの面積）
であることがわかる．
一般の図形の場合，図形Ｘが図形Ｙにうつるとき，Ｘの内部を三角形に分割近似し，
それぞれの面積が│detＡ│倍になるから
（Ｙの面積）＝│detＡ│（Ｘの面積）
が成り立つ．


続く



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