いろいろな立体の問題

いろいろな立体の問題

第7節　双曲線(その4)
これまでの内容をまとめておこう．
双曲線$x^2-y^2=1$すなわち$y=\sqrt{x^2-1}$で次が成り立つ．ただしここでは$x\geqq 0,y\geqq 0$のときだけを考える.

$1. \ \ \displaystyle \int \sqrt{x^2-1}=\dfrac{1}{2} \cdot \bigl(x\sqrt{x^2-1}-\log (x+\sqrt{x^2-1})\bigr)+C$
双曲線の積分は，この等式を公式集より取り出して用いればよいのですから，置換積分などは必要ありません．
しかし，高校生はこの公式など覚えられないので，積分の計算は双曲線の媒介変数表示を用いることになります．

$2. \ \ x=\dfrac{1}{\cos \theta},y=\tan \theta$
この媒介変数表示は教科書に載っている大切な式です．
なお，双曲線上の点$P$に対して，$\theta$は単位円上のどの角かを教科書で確認しておきましょう．
双曲線の図形の性質を調べるときはこの媒介変数表示で十分です．

$3. \ \ x=\cosh t,y=\sinh t$
これは，円の媒介変表示に対応した，標準的な双曲線の媒介変数表示です．
下にまとめてある双曲線関数の公式が，三角関数と同じように使えるなら，この媒介変数表示によって，双曲線に関してもほぼ円と同じよう扱えます．

$4. \ \ x=\dfrac{t+\frac{1}{t}}{2},y=\dfrac{-t+\frac{1}{t}}{2}$
双曲線関数は，計算が慣れていれば問題はないがそうでない場合には案外計算がわずらわしい．
4の表示法が役に立つことも少なくない．

$5 \ \ $もう一つ．とても実用的です．
$y=\log (x+\sqrt{x^2-1})$
を微分すると
$y'=\dfrac{1+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}}{x+\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
であり，この式を利用すると次のように$\int\sqrt{x^2-1}dx$が計算できる．
$\displaystyle I=\int \sqrt{x^2-1}dx$
$\sqrt{x^2-1}=1\cdot \sqrt{x^2-1}$とみて部分積分
$\displaystyle =x\sqrt{x^2-1}-\int x\cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx$
第２項の分子を$x^2=(x^2-1)+1$とみる
$\displaystyle =x\sqrt{x^2-1}-\int \sqrt{x^2-1}dx-\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx$
$I=\int \sqrt{x^2-1}dx$であるから
$\displaystyle 2I=x\sqrt{x^2-1}-\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx$
第２項は$y=\log (x+\sqrt{x^2-1})$の微分の結果を見比べて
$I=\dfrac{1}{2}\{x\sqrt{x^2-1}-\log (x+\sqrt{x^2-1})\}+C$
出題者がこの解答を意図しているなら，設問に中に$y=\log (x+\sqrt{x^2-1})$があります．しかし，初見でできる変形ではなく，この解答を経験していないと使えないでしょう．
双曲線の積分では，計算量が少ないおすすめの方法です．

なお，$x^2-y^2=-1,y=\sqrt{x^2+1}$のグラフは$x^2-y^2=1,y=\sqrt{x^2-1}$のグラフと直線$y=x$に関して対称であるから，$2,3,4$については$x,y$を入れ替えればよい．$1$は
$\displaystyle \int \sqrt{x^2+1}dy=\dfrac{x\sqrt{1+x^2}+\log (\sqrt{x^2+1}+x)}{2}+C$
となる．右辺を微分し等式が成り立つことを確認しよう．面白い変形です．
さらに
$\sqrt{x^2-a^2}=a\sqrt{(\dfrac{x}{a})^2-1},\sqrt{x^2+a^2}=a\sqrt{(\dfrac{x}{a})^2+1}$
であるから，ともに$t=\frac{x}{a}$と置換積分すれば解決する．

ここで，双曲線関数の公式をまとめておこう．

双曲線関数の定義は，
$\cosh t \stackrel{\mathrm{def}}{=}\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}$
$\sinh t \stackrel{\mathrm{def}}{=}\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}$
です．
定義より
①　$\cosh ^2t-\sinh ^2t=1$
が成り立ちます．

加法定理は
②　$\sinh (t+s)=\sinh t\cosh s+\cosh t\sinh s$
③　$\sinh (t-s)=\sinh t\cosh s-\cosh t\sinh s$
④　$\cosh (t+s)=\cosh t\cosh s+\sinh t\sinh s$
⑤　$\cosh (t-s)=\cosh t\cosh s-\sinh t\sinh s$
が成り立ちます．$\cosh$の時の符号だけ気をつけましょう．

2倍角の公式
⑥　$\sinh (2t)=2\sinh t\cosh t$
⑦　$\cosh (2t)=\cosh ^2t+\sinh ^2t=2\cosh ^2t-1=2\sinh ^2t+1$

　半角の公式
⑧　$\sinh ^2t=\dfrac{\cosh 2t -1}{2}$
⑨　$\cosh ^2t=\dfrac{\cosh 2t +1}{2}$
これらの公式は，定義より容易に導き出せます．

つぎに逆関数です．
$y=\sinh x$の逆関数は$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$
$y=\cosh x \ (x\geqq 0)$の逆関数は$y=\log (x+\sqrt{x^2-1}) \ \ (x\geqq 1)$

三角関数の逆関数は値が弧の長さなので，arcを使うのが一般的です．すなわち$y=\sin x$の逆関数は$y=\arcsin x$と書くことが多い．
双曲線関数の逆関数は値が面積なので，areaを使うのが一般的．すなわち$y=\sinh x$の逆関数は$y={\rm areasinh} \ x$と書くことが多い．
すなわち，
${\rm areasinh} \ x=\log (x+\sqrt{x^2+1})$
${\rm areacosh} \ x=\log (x+\sqrt{x^2-1})$
である．

さて，$\sin x,\cos x,\sinh x,\cosh x$はそれぞれ円,双曲線より同じように定義されたので，さらに双曲線の方程式は
$x^2+(iy)^2=1$
ですから，それらを統一的に扱えるのではないかと思うことは自然なことです．
実はその通り扱えるのです．
すなわち，これらの三角関数，双曲線関数の逆関数は複素数を用いることにより関数$\log$のもとで統一的に扱えるのです．
このことは，１９世紀に得られた数学のすばらしい内容のうち，一般の人が比較的容易に理解できるものといわれています．残念ながら私にはそれらを論ずる力はありません．大学入学後の楽しみに１つにして欲しいと思います．

次は微分です．
$y=\sinh x$のとき$y'=\cosh x$
$y=\cosh x$のとき$y'=\sinh x$
ここで， $y={\rm areasinh} \ x=\log (x+\sqrt{x^2+1})$
を微分してみましょう．逆関数の微分より，
$y'=\dfrac{1}{\cosh y}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\sinh ^2y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
となります．
$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$
を微分すると，気持ちよく約分できて楽しいのですが，こういう背景があったのです．

．

続く

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