反転とその応用

7.1 球面の極射影 

(このページは画像の関係でページ幅が広くなっています)
ここでは,反転変換の応用の1つとして,球面の極射影を考える.
極射影とは,図法の一つで,球面上の一点を中心として, その対蹠点(球の中心に関し対称な点)における 接平面への球面の射影で得られる対応です.
すなわち,原点を中心とする単位球$T:x^2+y^2+z^2=1$上の南極を$S(0,0,-1),$北極を$N(0,0,1)$とし, 北極$N$における球の接平面を$\alpha$とする.
球面上の$S$以外の任意の点$P$に対し,直線$SP$と平面$\alpha$と交点を$Q$とする,
このとき,$P\mapsto Q$で定まる写像
$f:T\setminus \{S\} \longrightarrow \alpha$
を球面$T$の極$S$を中心とする極射影という.
ここで,球$T$と平面$\alpha$をよく見ると,$S$を中心とする半径$2$の球を反転球とする 反転変換$I(S)$による,片方はもう一方の像になっている.すなわち
$I(S):T\setminus \{S\} \mapsto \alpha$
である.

極射影
$f:T\setminus \{S\} \longrightarrow \alpha$
は,反転変換の$T$への制限であるから次のことがわかる.
1. 写像$f$は角を保つ(反転変換の持つ性質).
2. $T$上の円の像は円か直線である.
これは,球面上の円は球面と平面の交線であり,球面や平面の反転変換による像は球面か平面であるから.
2の性質をもう少し詳しく言うと,$S$を通らない円の像は円で,$S$を通る円の像は直線である.
次に球面の大円の像を調べよう.
先ず赤道$C:x^2+y^2=1,z=0$の像は,$N$を中心とする半径$2$の円で,この円を$C^*$とする.
$C$以外の大円は,円$C^*$上の直径となる2点を通る円にうつる.
これは,$f$を$C$に制限した
$f|_C:C\longrightarrow C^*$は相似変換(相似の位置にある)で
$T$の大円は$T$と球$T$の中心を通る平面との交線であり,必ず$C$と直径となる2点で交わり, その像の2点は$C^*$の直径となる.

極射影で得られる地球の地図(地図学では平射図法という.右図)$\alpha$は 地球における大円(2点間の最短距離を表す経路)がわかる. 実際2点を通る大円は赤道と直径となる2点で交わる円を描けばよい.
また,球面における三角形の面積は三角形の内角の和できまる.したがって,性質1より地図$\alpha$は面積も求められる.

実際に作ったのが次の2つの図である.

上図について説明する.
$N$は北極で,$N$を中心とする同心円が緯線である.北緯$60^{\circ},45^{\circ},30^{\circ}$ 南緯$30^{\circ}$が 点線で赤道が実線で書いてある.
北極から出ている放射状の直線は経線,実線が$0^{\circ}$で,$30^{\circ}$間隔で書いてある.
右側に書いてある$P,Q,T$の座標は左が経度,右が緯度である. 上図はCabriで作成した.経度は負の角度が使えない(と思う)ので地点$Q$の経度が正になっているが, マイナスをつけ西経$61.0^{\circ}$とみる.
$P,Q$の緯度,経度が分かれば,$P,Q$間の距離が計算でき,その値も載せた.
距離は2つあり,上は2点の経度の符号が同じ場合で(2点がともに東経か西経)下は経度の符号が 異なる場合である.画面の例でいうと$P$が東経$Q$が西経であるから下の距離を採用する. すなわち$PQ=9907.61$Kmである.計算の関係上$^{\circ}$となっているがKmと読み替える.

$P,Q$を定めたとき,$P,Q$を通る大円とは$P,Q$を通りかつ赤道と直径の2点で交わる円のことです.
上図は$P,Q$をドラッグすると動き,それにつれて大円軌道も変化します. それは次のページの図で確かめてください.
なお,2点と円を与えたとき,2点を通りさらに円と直径となる2点で交わる円の 作図は定曲率曲面(2)の最後にあります.



球面上の三角形の面積は内角で決まります球面幾何学. さらに極射影は角を保つので,極射影より得られる平射図法は三角形の面積が求まります.
上図は,3点$P,Q,R$を通る大円軌道が書いてあり,$P,Q,R$の緯度,経度及び内角が右側にあります. あわせて 大円弧による球面三角形の面積を載せました.面積は,地球の表面積を$1$としたときの割合です.
球面三角形は4種類で,上の4つか下の4つになります.どちらを利用するか内角で判断してください.
なお,負の面積にあるのはその三角形は存在しないということです.
上図は$P,Q,R$をドラッグすると動き, それにつれて大円軌道も変化し球面三角形の面積も変わります. それは次のページの図で確かめてください (平射図法の画像)



さて,平射図法の地図を用いると,球面三角形(2点間を大円弧で結んだ三角形) の面積を求めることも理解しやすい.
ここで,半径1の球面の球面三角形の面積を求めよう.
準備として月形の面積を求める.
月形とは2つの大円弧で作る図形である.
月形で2つの大円弧のなす角を月形の角という(右図).
月形の角が$a$のとき,この月形の面積は
$4\pi \times \dfrac{a}{2\pi}=2a$
である.

つぎに球面三角形$ABC$の面積を求めよう.
$\angle A=a,\angle B=b,\angle C=c$
とする.
右図で,点線が赤道で3つの円が大円である.
$A,B,C$の対蹠点がそれぞれ$A^*,B^*,C^*$である.
ここで
$\triangle ABC\equiv \triangle A^*B^*C^*,\triangle ABC^*\equiv \triangle A^*B^*C, \triangle AB^*C\equiv \triangle A^*BC^*,\triangle A^*BC\equiv \triangle AB^*C^*$
が成り立つことに注意する.したがって,3本の大円によりできるのは4種類の球面三角形である.
右図の球面三角形$ABC$の面積を求めよう.
$\triangle ABC=1,\triangle ABC^*=2,\triangle A^*BC=3,\triangle AB^*C=4$
とおく.
$1+2=2c,1+3=2a,1+4=1+4'=2b$
より
$3\times 1+2+3+4'=2(a+b+c)$
一方
$1+2+3+4'=2\pi$
したがって,
$2\times 1=2\triangle ABC=2(a+b+c-\pi)$
$\therefore \triangle ABC=a+b+c-\pi$

標準的な証明は,これを球面上で行っているだけです.球面で確かめることをお勧めする.



平射図法の画像

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