7.1 球面の極射影 (このページは画像の関係でページ幅が広くなっています) ここでは，反転変換の応用の１つとして，球面の極射影を考える． 極射影とは，図法の一つで，球面上の一点を中心として， その対蹠点（球の中心に関し対称な点）における 接平面への球面の射影で得られる対応です． 
すなわち，原点を中心とする単位球$T:x^2+y^2+z^2=1$上の南極を$S(0,0,-1),$北極を$N(0,0,1)$とし，
北極$N$における球の接平面を$\alpha$とする．球面上の$S$以外の任意の点$P$に対し，直線$SP$と平面$\alpha$と交点を$Q$とする， このとき，$P\mapsto Q$で定まる写像 $f:T\setminus \{S\} \longrightarrow \alpha$ を球面$T$の極$S$を中心とする極射影という． ここで，球$T$と平面$\alpha$をよく見ると，$S$を中心とする半径$2$の球を反転球とする 反転変換$I(S)$による，$T\setminus \{S\}$の像が平面$\alpha$である． すなわち極射影$f$は反転変換$I(S)$の$T\setminus \{S\}$への制限 $I(S):T\setminus \{S\} \mapsto \alpha$ である． 極射影 $f:T\setminus \{S\} \longrightarrow \alpha$ は，反転変換の$T$への制限であるから次のことがわかる． 1. 写像$f$は角を保つ(反転変換の持つ性質)． 2. $T$上の円の像は円か直線である． 
これは，球面上の円は球面と平面の交線であり，球面や平面の反転変換による像は球面か平面であるから．2の性質をもう少し詳しく言うと，$S$を通らない円の像は円で，$S$を通る円の像は直線である． 次に球面の大円の像を調べよう． 先ず赤道$C:x^2+y^2=1,z=0$の像は，$N$を中心とする半径$2$の円で,この円を$C^*$とする． $C$以外の大円は，円$C^*$上の直径となる２点を通る円にうつる． これは，$f$を$C$に制限した $f|_C:C\longrightarrow C^*$は相似変換(相似の位置にある)で $T$の大円は$T$と球$T$の中心を通る平面との交線であり，必ず$C$の直径となる２点で$C$と交わり， その像の２点は$C^*$の直径となるからである． 極射影で得られる地球の地図（地図学では平射図法という.右図）$\alpha$は 地球における大円軌道(2点間の最短距離を表す経路)がわかる． 実際２点を通る大円は赤道と直径となる２点で交わる円を描けばよい． また，球面における三角形の面積は三角形の内角の和できまる(後で説明する)．したがって，性質１より地図$\alpha$は面積も求められる． 実際に作ったのが次の2つの図である． 
$N$は北極で，$N$を中心とする同心円が緯線である．北緯$60^{\circ},45^{\circ},30^{\circ}$ 南緯$30^{\circ}$が 点線で赤道が実線で書いてある． 北極から出ている放射状の直線は経線，実線が$0^{\circ}$で，$30^{\circ}$間隔で書いてある． 右側に書いてある$P,Q,T$の座標は左が経度，右が緯度である． 上図はCabriで作成した．経度は負の角度が使えない(と思う)ので地点$Q$の経度が正になっているが， マイナスをつけ西経$61.0^{\circ}$とみる（東経が正，西経が負；北緯が正，南緯が負）． $P,Q$の緯度，経度が分かれば，$P,Q$間の距離が計算でき，その値も載せた． 距離は２つあり，上は２点の経度の符号が同じ場合で（２点がともに東経か西経）下は経度の符号が 異なる場合である．画面の例でいうと$P$が東経$Q$が西経であるから下の距離を採用する． すなわち$PQ=9907.61$Kmである．計算の関係上$^{\circ}$となっているがKmと読み替える． $P,Q$を定めたとき，$P,Q$を通る大円とは$P,Q$を通りかつ赤道と直径の２点で交わる円のことです． 上図は$P,Q$をドラッグすると動き，それにつれて大円軌道も変化します． それは次のページの図で確かめてください． なお，２点と円を与えたとき，２点を通りさらに円と直径となる２点で交わる円の 作図法は補遺にある． 
上図は，３点$P,Q,R$を通る大円軌道が書いてあり，$P,Q,R$の緯度，経度及び内角が右側にあります． あわせて 大円弧による球面三角形の面積を載せました．面積は，地球の表面積を$1$としたときの割合です． 球面三角形は４種類で，上の４つか下の４つになります．どちらを利用するか内角で判断してください． なお，面積が負になっているのはその三角形は存在しないということです． 上図は$P,Q,R$をドラッグすると動き， それにつれて大円軌道も変化し球面三角形の面積も変わります． それは次のページの図で確かめてください (平射図法の画像) ． 
さて，平射図法の地図を用いると，球面三角形（２点間を大円弧で結んだ三角形）
の面積を求めることも理解しやすい．ここで，半径１の球面の球面三角形の面積を求めよう． 準備として月形の面積を求める． 月形とは２つの大円弧で作る図形である． 月形で２つの大円弧のなす角を月形の角という（右図）． 月形の角が$a$のとき，この月形の面積は $4\pi \times \dfrac{a}{2\pi}=2a$ である． つぎに球面三角形$ABC$の面積を求めよう． $\angle A=a,\angle B=b,\angle C=c$ とする. 
右図で，点線が赤道で３つの円が大円である．$A,B,C$の対蹠点がそれぞれ$A^*,B^*,C^*$である． ここで $\triangle ABC\equiv \triangle A^*B^*C^*,\triangle ABC^*\equiv \triangle A^*B^*C, \triangle AB^*C\equiv \triangle A^*BC^*,\triangle A^*BC\equiv \triangle AB^*C^*$ が成り立つことに注意する．したがって，３本の大円によりできるのは４種類の球面三角形である． 右図の球面三角形$ABC$の面積を求めよう． $\triangle ABC=1,\triangle ABC^*=2,\triangle A^*BC=3,\triangle AB^*C=4$ とおく． $1+2=2c,1+3=2a,1+4=1+4'=2b$ より $3\times 1+2+3+4'=2(a+b+c)$ 一方 $1+2+3+4'=2\pi$ したがって， $2\times 1=2\triangle ABC=2(a+b+c-\pi)$ $\therefore \triangle ABC=a+b+c-\pi$ 標準的な証明は，これを球面上で行っているだけです．球面で確かめてみましょう． 極射影 $f:T\setminus \{S\} \longrightarrow \alpha$ により，球面$T$上の円の像が円になるから，射影変換による円の像は一般に2次曲線であるが円の像が円になる場合もあることがわかる． さて，極射影により$T$上の円の像が円であることは反転変換の知識があれば明らかだが，ここでは解析幾何で証明する．反転変換になじめない人に も極射影が身近になると思う．
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球面$S:x^2+y^2+z^2=1$から平面への極射影を考えるとき，平面は$\alpha:z=1$とは限らない．
$xy$平面を考えることも多いし，平面$\pi:z=k$でよい．これらも極射影と呼ぶ．