9. 補遺 補遺1 $I(O):C_1\mapsto C_2$のとき $O$を頂点とする底面が$C_1$である斜円錐上に円$C_2$が存在することである．したがって， ２円$C_1,C_2$が同一球面上にあれば，この２円は１つの斜円錐上にある 
補遺2円$O$が与えられたとき，点$P$の冪は正とは限らない． 負になるときもある．実際，右上図で,すなわち点Pが円$O$の外部にあるとき， $PA\cdot PB=PC\cdot PD=PT^2=PO^2-R^2$ ただし円$O$の半径を$R$とする． 右下図で，すなわち点$P$が円$O$の内部にあるとき． $PA,PB$の向きが逆のとき，$PA\cdot PB=-|PA||PB|$と定義する． $PA\cdot PB=PC\cdot PD$ $=-|PM||PN|=-(R+OP)(R-OP)=PO^2-R^2$ 負の方べきも考え反転変換は次のように定義すべきである． 定義 $O$を定点，$k(\neq 0)$を定数とする． 平面上または空間上の$O$と異なる点$P$に対して,直線$OP$上の点$P^*$を $OP\cdot OP^*=k \cdots (\sharp)$ で定める．$(\sharp)$の意味は $k > 0$のときは $OP,OP^*$は同じ向きで $|OP||OP^*|=k$ $k < 0$のときは $OP,OP^*$は反対向きで $|OP||OP^*|=|k|$ このとき，変換$P\mapsto P^*$を反転変換といい，$O$を反転の中心，$k$を冪または反転冪という． この反転変換を$I(O,k)$と表す． 
本稿では，複雑になることを考慮し，負の冪の反転変換は考えてこなかった．ここで，負の冪の反転変換について少し述べておく． $k < 0$のとき$I(O,k),I(O,|k|)$を比較する． $I(O,|k|):P\mapsto P^*;I(O,k):P\mapsto P^{**}$ とすると $|OP||OP^*|=|k|,|OP||OP^{**}|=|k|$ すなわち，$P^*$と$P^{**}$は$O$に関して対称である． したがって，点$O$に関する点対称変換を$T(O)$とすれば $k < 0$のとき $I(O,k)=T(O)\circ I(O,|k|)$ が成り立つ．点対称変換は，角度を保ち，直線，円，平面，球面はそれぞれ同じ図形に移るから， 冪が負の反転変換も冪が正の場合と同じ性質を持っている． 
負の冪の反転変換も考えるなら，すでに述べた，$O$を中心とする，半径$R$の円と２点$A,B$が与えられたとき，２点$A,B$を通り，円$O$の直径の両端を通る円は， $I(O,-R^2):A\mapsto A^*$ で$A^*$をさだめ，３点$A,A^*,B$を通る円で与えれれる． 実際，2点$A,A^*$を通る円$C$と円$O$との交点の片方を$P$とし，$PO$の延長と円$C$との交点を$Q$とする． $OP\cdot OQ=OA\cdot OA^*=R^2$ さらに，$OP=R$より$OQ=R$ したがって，$Q$は円$O$上より，$PQ$は円$O$の直径．すなわち，円$C$は円の$O$の直径の両端を通る． これは，球面の極射影で用いた円の作図法である．
２円$C_1,C_2$が同一球面上にあるとき．平面$\pi$と$C_1,C_2$と交点をそれぞれ$A,B$および
$C,D$とし，$AC,BD$の交点が球の外部にある場合だけを扱ったが，交点が球の内部にあるとき， |