反転とその応用

9. 補遺 

補遺1
$I(O):C_1\mapsto C_2$のとき
$O$を頂点とする底面が$C_1$である斜円錐上に円$C_2$が存在することである.したがって,
2円$C_1,C_2$が同一球面上にあれば,この2円は1つの斜円錐上にある

補遺2
円$O$が与えられたとき,点$P$の冪は正とは限らない.
負になるときもある.実際,右上図で,すなわち点Pが円$O$の外部にあるとき,
$PA\cdot PB=PC\cdot PD=PT^2=PO^2-R^2$
ただし円$O$の半径を$R$とする.
右下図で,すなわち点$P$が円$O$の内部にあるとき.
$PA,PB$の向きが逆のとき,$PA\cdot PB=-|PA||PB|$と定義する.
$PA\cdot PB=PC\cdot PD$
$=-|PM||PN|=-(R+OP)(R-OP)=PO^2-R^2$
負の方べきも考え反転変換は次のように定義すべきである.
定義
$O$を定点,$k(\neq 0)$を定数とする.
平面上または空間上の$O$と異なる点$P$に対して,直線$OP$上の点$P^*$を
$OP\cdot OP^*=k \cdots (\sharp)$
で定める.$(\sharp)$の意味は
$k > 0$のときは $OP,OP^*$は同じ向きで
$|OP||OP^*|=k$
$k < 0$のときは $OP,OP^*$は反対向きで
$|OP||OP^*|=|k|$
このとき,変換$P\mapsto P^*$を反転変換といい,$O$を反転の中心,$k$を冪または反転冪という.
この反転変換を$I(O,k)$と表す.



本稿では,複雑になることを考慮し,負の冪の反転変換は考えてこなかった.
ここで,負の冪の反転変換について少し述べておく.
$k < 0$のとき$I(O,k),I(O,|k|)$を比較する.
$I(O,|k|):P\mapsto P^*;I(O,k):P\mapsto P^{**}$
とすると
$|OP||OP^*|=|k|,|OP||OP^{**}|=|k|$
すなわち,$P^*$と$P^{**}$は$O$に関して対称である.
したがって,点$O$に関する点対称変換を$T(O)$とすれば
$k < 0$のとき
$I(O,k)=T(O)\circ I(O,|k|)$
が成り立つ.点対称変換は,角度を保ち,直線,円,平面,球面はそれぞれ同じ図形に移るから,
冪が負の反転変換も冪が正の場合と同じ性質を持っている.

負の冪の反転変換も考えるなら,すでに述べた,
$O$を中心とした,半径$R$と2点$A,B$が与えられたとき,2点$A,B$を通り,円$O$の直径を通る円は,
$I(O,-R^2):A\mapsto A^*$
で$A^*$をさだめ,3点$A,A^*,B$を通る円で与えれれる.

さらに,2円$C_1,C_2$が同一球面上にあるとき.平面$\pi$と$C_1,C_2$と交点をそれぞれ$A,B$および $C,D$とし,$AC,BD$の交点が球の外部にある場合だけを扱ったが,交点が球の内部にあるとき,
$OA\cdot OC=OB\cdot OD=-R^2$
とし,反転変換を$I(O,-R^2)$に置き換えれ ばまったく同じ議論で$I(O,-R^2):C_1\mapsto C_2$が得られる.


補遺3
球面の極射影が角を保つことはよく知られている.反転変換を用いない一般的な扱いは 曲面の等温座標を参照.

極と極線

反転とその性質の目次

全体の目次