|
ここでは不等式を扱います．目次は次の通りです． 目次 １．図形における不等関係 ２．重要不等式 ３．算術ー幾何平均不等式のいろいろな証明 ４．順序の原理 ５．不等式の図形への応用 ６．磨光法とその応用 ７．等周問題読みやすくしました(2013年3月) ８．数学競技における不等式 ９．極端原理 内容の概略 不等式は数学の各分野で重要な位置を占め，代数学の主要な分野の一つです． さらに，重要不等式の証明は計算能力や推論能力を高める内容を多く含み，図形の問題への 応用範囲も広い． ここでは不等式の内容について，いくつかのファイルに分けて掲載します． 1つ1つのファイルは独立しています．興味に応じて参考にしてください． 1.図形における不等関係 三角形の辺の大小と角の大小の関係,三角形の３辺の関係，２つの三角形の辺と角の関係等を調べた後，四角形の 辺の長さの関係について触れています． 例題をたくさん用意しました．三角形，四角形の辺や角の不等関係の問題は，概ね補助線が必要で， 見かけより難問です．これらの例題を通して補助線に慣れることが大切です． 2.重要不等式 数学の競技や図形の最大最小で利用される算術，幾何，調和平均不等式，コーシー不等式 およびヘルダー不等式について解説してあります． ここで用いる，関数の凸性（ｆ”（ｘ）＞０またはｆ”（ｘ）＜０）を利用する方法は とても応用範囲が広く，皆さんも，具体的な関数で不等式を作ることをお勧めします． 3.算術ー幾何平均不等式のいろいろな証明 算術ー幾何平均不等式には多くの証明法があります． ここでは，よく知られた，高校生でも十分理解できる５つの証明を紹介します．どれもすばらしいのですが， 特にJacobstalによる Ａｎ＝（ｘ１＋ｘ２＋・・・＋ｘｎ）／ｎ， Ｇｎ＝（ｘ１ｘ２・・・ｘｎ）１／ｎ とおき Ａｎ−Ｇｎ＝（ｎ−１）／ｎ・（Ａｎ−１−Ｇｎ−１） を示すことによる証明はとても優れものです． 4.順序の原理 ａ≦ｂ，ｘ≦ｙのとき ａｙ＋ｂｘ≦ａｘ＋ｂｙ （∵ （ａ−ｂ）（ｘ−ｙ）≧０） が成り立ちます．これをｎ変数に拡張したのが次の定理です． 定理 ａ１≦ａ２≦・・・≦ａｎ，ｂ１≦ｂ２≦ ・・・≦ｂｎとする．ここで（ｊ１，ｊ２，・・・,ｊｎ） を（１，２，・・・，ｎ）の一つの順列とする． このとき ａ１ｂｎ＋ａ２ｂｎ−１＋・・・＋ａｎｂ１ ・・・@ ≦ａ１ｂｊ１＋ａ２ｂｊ２＋・・・＋ａｎｂｊｎ ・・・A ≦ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋・・・＋ａｎｂｎ ・・・B が成り立つ． 小さい順に順序付けられた数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝ に対して， 和@を逆順の積の和，Aを乱順の積の和，Bを同順の積の和といい，上の定理を順序の原理，上の不等式を順序不等式といいます． この定理は，数学オリンピックだけでなく，大学入試でもしばしば出題されています． 5.不等式の図形への応用 ここでは，図形の最大最小の問題を有名不等式を用いて解決します．これらの問題を通して，不等式に 慣れてください．不等式を用いるとあっさり解決する問題が多く， 不等式の威力を感じ取ってもらえると思います． 6.磨光法とその応用 磨光法とはあまり聞きなれない言葉です．例を用いて説明します． そのために，３変数の相加平均と相乗平均の関係， 定理 ｘ，ｙ，ｚ＞０のとき （ｘ＋ｙ＋ｚ）／３ ≧（ｘｙｚ）１／３ が成り立つ． を磨光法で証明します. 証明では次の性質を用います． 証明で用いる性質 ｘ≦ｙのとき，ｍがｘ≦ｍ≦ｙを満たすなら ｘｙ≦ｍ（ｘ＋ｙ−ｍ） ・・・A がなりたつ．等号が成り立つのはｍ＝ｘまたはｍ＝ｙのとき． 意味は，ｘ＋ｙ＝（一定）のとき，ｘｙの値は│ｘ−ｙ│が小さいほど大きいです． 証明は簡単です． 証明 （左辺）−（右辺）＝ｍ２−ｍ（ｘ＋ｙ）＋ｘｙ＝（ｍ−ｘ）（ｍ−ｙ）≦０ 等号が成り立つのはｘ＝ｙのとき 定理の証明 ｘ≦ｙ≦ｚとして証明します．（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３ ＝ａとおく．このとき，ｘ≦ａ≦ｚであるから ｘｚ≦ａ（ｘ＋ｚ−ａ） ・・・@ したがって，ｘｙｚ≦ａｙ（ｘ＋ｚ−ａ）． 言い方を換えれば （ｘ，ｙ，ｚ）→（ａ，ｙ，ｘ＋ｚ−ａ） の変換によって，３数の積は増加するということです． さらに変換 （ａ，ｙ，ｘ＋ｚ−ａ）→（ａ，ａ，ａ） ・・・A によっても，３数の積は増加する．一方（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３ ＝ａであるから ｘｙｚ≦（（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３）３ が成り立つ． この証明法を磨光法といいます．すなわち （ｘ，ｙ，ｚ）→（ａ，ｙ，ｘ＋ｚ−ａ）→（ａ，ａ，ａ） のように少しずつａに近づけるすなわち磨いて少しずつ滑らかにし最後にすべてを同じにするという変形です． この解法はいろいろな問題に応用でき，それをここでは学びます． もう一つ，図形の問題を磨光法で解決した例を紹介します． 定理 周の長さが一定の三角形で面積最大のものは正三角形である． この定理を磨光法で図形的な証明します．もちろんヘロンの公式と算術平均，幾何平均の 関係で簡単に証明できます.ヘロンの公式を用いた証明 この磨光法による証明には命題１すなわち まず，次の定理が必要で，この定理がこれからの議論の土台になります． 
定理２点Ａ，Ｂが直線ＸＹに関して同じ側にある．このとき．直線ＸＹ上の点Ｐについ て次の式が成り立つ． ＡＰ＋ＰＢが最小 ⇔ ∠ＡＰＸ＝∠ＢＰＹ 証明 ＰがＡＰ＋ＢＰを最小にする点なら，点ＰはＡＢ’とＸＹの交点であるから ∠ＡＰＸ＝∠Ｂ’ＰＹ＝∠ＢＰＹ 逆に，∠ＡＰＸ＝ＢＰＹのとき ∠ＡＰＢ’＝∠ＡＰＸ＋∠ＸＰＢ’ ＝∠ＢＰＹ＋∠ＸＰＢ’ ＝∠Ｂ’ＰＹ＋∠ＸＰＢ’（∵Ｂ，Ｂ’はＸＹに関して対称） ＝∠ＸＰＹ＝１８０° ３点Ａ，Ｐ，Ｂ’は一直線上にあるから，点ＰはＡＢ’とＸＹの交点であり，ＡＰ＋ＢＰを最小にする点である． 上の定理をちょっと書き換えてみました．まったく同じことなんです. わかりますか． 
命題1△ＡＢＣは面積一定で，辺ＢＣは固定している．このような△ＡＢＣのうち ＡＢ＋ＡＣが最小であるものはＡＢ＝ＡＣの２等辺三角形である． 証明 ∠ＢＡＸ＝∠ＣＡＹ および錯角より ∠Ｂ＝∠Ｃ 上の定理そのままですが，少し難しく感じるかもしれません．数学において慣れはとても大事であることが分かります． 次の命題２は命題１と同値の命題です． 命題２ △ＡＢＣは辺ＢＣが固定している，ＡＢ＋ＢＣが一定のとき，△ＡＢＣの面積が最大となるのは ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形のときである． ここでは，命題２を含む次の命題を証明します． 
命題３底辺が共通の△ＰＢＣと△ＱＢＣは周の長さが等しい． すなわちＰＢ＋ＰＣ＝ＱＢ＋ＱＣが成り立つ． このとき│ＰＢ−ＰＣ│と│ＱＢ−ＱＣ│を比較し， 小さい方の三角形の方が面積が大きい． 証明 ＰＢ≧ＰＣ，ＱＢ≧ＱＣとしても一般性を失いません．さらに ＰＢ−ＰＣ＜ＱＢ−ＱＣとして証明いたします． 図で△ＰＢＲの面積のほうが△ＱＣＲの面積より大きいことを示しましょう． 方針は△ＲＣＱと合同な三角形を△ＰＢＲの中に作ることです． 線分ＲＢ上に点Ｃ’をＲＣ＝ＲＣ’を満たすようにとります． これは△ＲＢＣで∠ＲＢＣ＜∠ＰＢＣ＜∠ＲＣＢよりＲＢ＞ＲＣですから可能です． 次に線分ＲＰ上に点Ｑ’がＲＱ’＝ＲＱを満たすように取れることを示しましょう． 
これは背理法を用います．もしＱ’がＲＰのＰへの延長上にあると仮定します． 図で△ＲＣＱ≡△ＲＣ’Ｑ’です． したがって，ＢＰ＋ＰＣ＝ＢＱ＋ＱＣより ＢＰ＋ＰＲ＋ＲＣ＝ＢＣ’＋Ｃ’Ｒ＋ＲＱ＋ＱＣ 両辺にＰＱ’を加えて，色の同じ部分を引き 線分ＣＱを移動すれば ＢＣ’＋Ｃ’Ｑ’＋Ｑ’Ｐ＝ＢＰ となり矛盾です． したがって，Ｑ’が線分ＰＲ上に存在することが証明されました． なお，この命題は楕円の性質を利用するともっとわかりやすく証明できます． 準備が終わりました．次の定理が証明できます． 定理 周の長さが一定の三角形で面積最大のものは正三角形である． まず，この定理の証明は命題１すなわち 命題1 △ＡＢＣは面積一定で，辺ＢＣは固定している．このような△ＡＢＣのうち ＡＢ＋ＡＣが最小であるものはＡＢ＝ＡＣの２等辺三角形である． だけではちょっとうまくいきません． すなわち，三角形が与えられたとき，底辺を定め，二等辺三角形をつくり，さらに次に等辺の片方を 底辺とし，二等辺三角形を作る．この操作は面積は大きくなっていきますが，その 極限が正三角形になることは， 極限の本質的な議論が必要となりなかなか大変です． ここでは別の上手な方法（この証明方法が磨光法です）を紹介いたします． 
証明△ＡＢＣの３辺の長さの和をｓとします． ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ とおき， ａ≦ｂ≦ｃ と仮定します． ａ≦ｓ／３≦ｃ より，３辺が ｂ，ｓ／３，ｃ＋ａ−ｓ／３ の三角形を作れば， ａ≦ｃ＋ａ−ｓ／３≦ｃ であるから， │ａ−ｃ│≧│ｓ／３−（ｃ＋ａ−ｓ／３）│ である． したがって新しい三角形の方が面積が大きい． さらに，ｓ／３の長さの辺を底辺として二等辺三角形を作れば正三角形になる． ゆえに，△ＡＢＣに対して，その面積はｓ／３の長さを１辺とする正三角形より小さい． 正三角形の面積は，△ＡＢＣの周の長さより決まる固有の値であるから定理が証明された． 7.等周問題 ここでは磨光法を用いて次の２つの定理を証明します． 定理 周の長さが一定ｋのｎ角形の中で最大面積をもつものは正ｎ角形である 定理 与えられた長さを持つ閉曲線のうち，面積最大の図形は円である． この証明で磨光法の威力がわかります．ただ証明の中に問題点が少しあり，その点も詳しく説明してあります． 最後に厳密な証明を紹介します． 8.数学競技における不等式 数学競技で出題された不等式の問題のうち，比較的一般の高校生が解きやすいと思われる問題を集めました． とりあえずヒントなしで解いてみましょう．解説は，問題を題材に高校生に学んで欲しい 内容をまとめたものです． 9.極端原理 これも奇妙な名前ですが，問題のなかの極端なものたとえば，最大，最小， 一番離れている，一番近いもの等．そのようなものが題意を満たす例を作るときに とても有効であるという内容のことです． 例を用いて説明しましょう． 例 （シルベスターの定理） 一直線上にはないｎ個の点がある．このとき，ちょうど2点だけを通る直線が存在する． この定理を証明するのに，直線と直線上にない点との距離のなかの最小なものに注目し， その直線が条件を満たすものになっています． なお，この問題は，シルベスターが提出し，５０年ほど解かれなかったが，無名の数学教師が証明した， というエピソードが中国ではよく話されていました，中国では多分常識になっている内容でしょう． 極端原理は，無限降下法と同時に用いられます．これは存在しないときの証明でよく用いられます． 無限降下法とは，存在すると仮定すると，それより小さいものが存在するので存在しないという証明法の ことです． 例えば，√（2）が無理数の証明のとき，√(2)=a/b とおくと，ａ，ｂがともに偶数となり ａ’＝ａ／２，ｂ’＝ｂ／２ も条件をみたす．したがって，最小の正のａ，ｂが存在しないという証明方法のことです． なお，これは ｘ４＋ｙ４＝ｚ４ を満たす整数解が存在しないときに用いるので，フェルマの方法ともいいます． |
目次