表題の内容について，相似の位置を利用して話を進めていきます.
まず相似の位置を確認しましょう．
(相似の位置の定義）右の２つの図形△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’のように△ＡＢＣ上の点Ｐと この点に対応する△Ａ’Ｂ’Ｃ’上の点Ｐ’を 結ぶ直線が常に定点Ｏを通り，さらに点Ｐを△ＡＢＣ上のどこにとっても ＯＰ：ＯＰ’が一定であるとき，△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’は 定点Ｏを相似の中心とする相似の位置にあるといいます．またＯＰ’／ＯＰ をこの相似の位置の相似比といいます．相似比はＯＰとＯＰ’が同じ向きのとき正，反対向きのとき負とします． 右図で，△Ａ’Ｂ’Ｃ’，△Ａ”Ｂ”Ｃ”は△ＡＢＣと相似の位置にあり，相似比はそれぞれ２， −１／２です． なお，△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’は３直線ＡＡ’，ＢＢ’，ＣＣ’が一点Ｏで 交わり，ＯＡ：ＯＡ’＝ＯＢ：Ｂ’＝ＯＣ：ＯＣ’＝１：ｋなら △ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’はＯを相似の中心とする相似比ｋの相似の位置 にあることがわかります． 次の図で，相似の位置の確認をしましょう． |
線分ＸＹの傾きだけ相似変換します．Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｏ，Ｐ，Ｙのいずれかの点を ドラッグしてみましょう．
△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’は相似の位置にありＰとＰ’は対応する点です．
３点Ｏ，Ｐ，Ｐ’ が一直線上にあることを確認しましょう
相似の位置に関して以後よく使う性質は△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’が点Ｏを相似の中心とする 相似の位置にある．このとき，△ＡＢＣ上の点Ｐと△Ａ’Ｂ’Ｃ’上の点Ｐ’が対応するなら ３点Ｏ，Ｐ，Ｐ’は一直線上にありＯＰ’／ＯＰは相似比と一致する． です． 上の図で△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’は相似の位置にあります． 相似比は線分ＸＹの傾きです．Ｙをドラッグすると相似比が変わります． またＡ，Ｂ，Ｃ，Ｐ，Ｏ,をドラッグしてください．上の性質が読み取れ ると思います. △ＡＢＣのオイラー線の説明の準備が整いました．まず，オイラー線の定義をしましょう． 定理（三角形のオイラー線） △ＡＢＣの外心Ｏ，重心Ｇ，垂心Ｈはこの順に一直線上にあり ＧＯ：ＧＨ＝１：２ が成り立つ． △ＡＢＣの外心，重心，垂心を通る直線を△ＡＢＣのオイラー線といいます． 次の図を見てください． Ｄ，Ｅ，Ｆは△ＡＢＣの３辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの中点です． 点Ｇ，Ｏ，Ｈはそれぞれ△ＡＢＣの重心，外心，垂心です． 頂点Ａ，Ｂ，Ｃはドラッグすると動きます．動かしていろいろな 三角形の場合を調べてみましょう. |
Ａ，Ｂ，Ｃをドラッグし，いろいろな三角形で考えましょう．
三角形ＡＢＣの外心 が△ＤＥＦの垂心になっていることが読み取ることが大切です
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図より次の３点が読み取れますか．読み取れれば
定理の証明が完成します． １．△ＡＢＣと△ＤＥＦは相似の位置にあり，相似の中心はＧ， 相似比は−1／２である． (∵ ＧＡ：ＧＤ＝ＧＢ：ＧＥ＝ＧＣ：ＧＦ＝２：１） ２．△ＡＢＣの辺の垂直２等分線は，△ＤＥＦで考えると， 頂点から対辺に下した垂線である． (∵辺ＢＣの垂直２等分線は△ＤＥＦで考えると，頂点Ｄから対辺 に引いた垂線である） ３．△ＡＢＣの外心Ｏと△ＤＥＦの垂心は一致する． ４．１より△ＡＢＣの垂心Ｈ，△ＡＢＣの重心Ｇ，△ＤＥＦの垂心Ｏ はこの順に一直線上にありＧＯ：ＧＨ＝１：２が成り立つ． さて，オイラー線についてはいろいろ調べられます．私たちのゼミでは次のことを調べました． １．オイラー線が頂点を通るのは△ＡＢＣがどの場合か． ２．オイラー線が内心Ｉを通るのは△ＡＢＣがどの場合か. 上記の問題に対して，下の図を用いていろいろな場合を調べ， 次の予想を得ました． なお下の図は頂点Ａ，Ｂ，Ｃをドラッグすると動きます． 命題１ △ＡＢＣのオイラー線が頂点を通るのは直角三角形か２等辺三角形の場合に限る． 命題２ △ＡＢＣのオイラー線が内心を通るのは２等辺三角形の場合に限る． 命題１は証明できましたが，命題２はまだ証明が出来ていません．これからの課題です． 命題１の証明は次を見てください．この証明は 宮川翔人君によるものです. 命題１の証明 |
Ａ，Ｂ，Ｃをドラッグしていろいろな△ＡＢＣで考えましょう
次に△ＡＢＣの９点円を扱います． まず，９点円がどのような円であるかきちんと書いておきます． 定理（９点円） △ＡＢＣの３辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの中点をそれぞれＤ，Ｅ，Ｆ，各頂点Ａ，Ｂ，Ｃから 対辺に下した垂線の足をそれぞれＬ，Ｍ，Ｎ，さらにＨを垂心とし線分ＡＨ，ＢＨ，ＣＨ の中点をそれぞれＰ，Ｑ，Ｒとする． このとき，９点Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｌ，Ｍ，Ｎ，Ｐ，Ｑ，Ｒ は同一円周上にある．この円を△ＡＢＣの９点円（またはオイラー円）という． |
Ａ，Ｂ，Ｃをドラッグしていろいろな△ＡＢＣで考えましょう
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ここでは，相似の位置を利用して証明を行います． 証明の方針は △ＤＥＦ，△ＬＭＮ，△ＰＱＲのいずれの外接円も半径がＲ／２,中心が線分ＯＨの中点．ただしＲは△ＡＢＣの 外接円の半径． を示すことです． 
まず，△ＤＥＦについて考えましょう．△ＡＢＣと△ＤＥＦは相似の位置にあり，相似の中心は重心Ｇ， 相似比は−１／２です． したがって,△ＤＥＦの外接円の半径はＲ／２， △ＤＥＦの外心Ｏ’はＧに関してＯと反対側にありかつ ＧＯ：ＧＯ’＝２：１ です． 一方，ＯＧ：ＧＨ＝１：２ですから Ｏ’は線分ＯＨの中点であることがわかります． 分かりづらければＯＨ＝６とおいて考えましょう． ＯＧ＝２，ＧＯ’＝１よりＯ’は線分ＯＨの中点であることがわかります． 
次に△ＰＱＲですが，これはわかりやすい．Ｐ，Ｑ，Ｒはそれぞれ線分ＡＨ，ＢＨ，ＣＨの中点ですから △ＡＢＣと△ＰＱＲは相似の位置にあり，相似の中心はＨ，相似比は1／２． したがって，△ＰＱＲの外心は線分ＨＯの中点，半径Ｒ／２です． 最後は△ＬＭＮです．これは，△ＬＭＮと△ＡＢＣを見比べるとわかるように この２つの三角形は相似ではありません． 
そこで，ＡＨ，ＢＨ，ＣＨの延長と外接円の交点をそれぞれＸ，Ｙ，Ｚとし，
△ＬＭＮと△ＸＹＺが相似の位置にあることを示して証明します．点Ｌが線分ＨＸの中点であることを示しましょう． ∠ＸＢＣ＝∠ＸＡＣ （弧ＸＣの円周角） ＝∠ＹＢＣ （∠Ｃの余角） さらに，ＨＸ⊥ＢＣよりＨＬ＝ＬＸが示せました． 他も同様に考えることにより△ＸＹＺと△ＬＭＮは相似の位置にあり， 相似の中心はＨです．したがって，△ＬＭＮの外接円の半径はＲ／２，中心が 線分ＯＨの中点であることがわかりました． 以上で，９個の点が同一円周上にあることが証明されました． 
９点が同一円周上にある証明はたくさんあります．次の方法が一番わかりやすいかもしれません．右の図を見てください． 図より，２つの四角形ＦＱＲＥ，ＰＱＤＥが長方形および∠ＤＬＡ＝９０° であることを利用すれば９点が同一円周上にあることがわかります． 四角形ＰＱＤＥが長方形であることは 辺ＰＱ，ＥＤはともにＡＢと平行で長さが１／２． （辺ＰＥ，ＱＤはともにＣＨに平行で長さが１／２）． さらにＡＢ⊥ＣＨ． したがって，四角形ＰＱＤＥは長方形．同様に四角形ＦＱＲＥも長方形． ゆえに，６点Ｅ，Ｐ，Ｆ，Ｑ，Ｄ，Ｒは線分ＱＥを直径とする円周上にある． その円の直径は線分ＤＰでもある． さらに∠ＤＬＰ＝９０°より，点Ｌも同じ円上にある． 点Ｍ，Ｎも同様． ここで一つ，９点円の応用例を紹介しましょう． 例題 △ＡＢＣの内接円の半径をｒ，外接円の半径をＲとする．このとき Ｒ≧２ｒ が成り立つ． この例題にはいろいろな証明があり，標準的な証明は，△ＡＢＣの内心，外心間の距離をｄとすると， Ｒ２−２Ｒｒ＝ｄ２ が成り立つことを示すことです． 
ここでは直接証明します．△ＡＢＣを与えたとき，△ＡＢＣが中点三角形である三角形を△ＰＱＲとします．△ＰＱＲの 作り方は簡単で，△ＡＢＣの各頂点を通り対辺に平行な直線をそれぞれ引き，交点をＰ，Ｑ，Ｒとすれば△ＰＱＲが求める三角形 です．実際，四角形ＡＢＣＱ，ＲＢＣＡはともに平行ｈ四辺形なので，ＡはＱＲ中点です． △ＰＱＲと△ＡＢＣの相似比は２：１ですから，△ＡＢＣの内接円の半径をｒとすると，△ＰＱＲの内接円の半径は ２ｒです． したがって，△ＰＱＲの内接円と△ＡＢＣの外接円の大小を調べればよいわけです． 一方，△ＡＢＣの外接円は△ＰＱＲの各辺の中点を通る円すなわち△ＰＱＲの９点円です． この２つの円の大小は，△ＡＢＣの外接円を内接円とする△ＰＱＲに 相似な三角形をつくり（文章だと分かりづらいが図を見てください），その２つの三角形の大小を調べればわかります． △ＰＱＲの９点円は三辺ＰＱ，ＱＲ，ＲＰに接するか，外に出るかですから，△ＡＢＣの外接円を内接円と する△ＸＹＺは△ＰＱＲを含みます． したがってＲ≧２ｒが示せました． また，等号が成り立つのは，△ＸＹＺと△ＰＱＲが一致するときで，△ＰＱＲで頂点から対辺に下ろした垂線の 足と対辺の中点が一致するときです． したがって，△ＰＱＲが正三角形のとき，すなわち△ＡＢＣが正三角形と結論できました． さて，９点円を学ぶと必ず出てくるフォイエルバッハの定理 を紹介いたしましょう． 次の図を見てください．図の中の△ＡＢＣの頂点をドラッグしてください． 内接円，傍接円と９点円には面白い関係があります． |
頂点ＡＢＣをドラッグし９点円が△ＡＢＣの内接円， 傍接円に接することを確認しましょう
定理（フォイエルバッハ） 三角形の９点円は内接円および３つの傍接円に接する． この定理の証明はいろいろあり，どれもちょっと面倒です． しかし，反転という変換を用いると驚くほど簡単に解決しますので， ここではその方法で証明いたします． まず，反転の定義をしましょう． 
（反転の定義）中心がＯ，半径ｒの円ＣとＯと異なる点Ｐが与えられている． このとき，円Ｃに関する点Ｐの反転Ｐ’とは半直線ＯＰ上で ＯＰ・ＯＰ’＝ｒ２ を満たす点である． 反転によって，異なる点は異なる点に写るので， 接する２つの図形は接する２つの図形に写り，逆に反転による像が接するなら，元の２つの図形を接します． この性質を利用します． 次の図形を見てください． △ＡＢＣの内接円，傍接円と辺ＡＣとの接点をそれぞれＤ，Ｅとし 線分ＤＥを直径とする円が書いてあります． ＤＥが直径である円(赤い円）に 関する反転で，内接円，傍接円の共通内接線のうち辺ＡＣでない方（直線ｍ） は９点円に写り，内接円は内接円に，傍接円はやはり同じ 傍接円に写ることを証明します． これが証明されれば， 内接円と９点円が反転により接する図形にうつり，傍接円と９点円も接する 図形にうつります．したがって，９点円と内接円，傍接円が接することがわかる． これが証明の粗筋です． 証明の方針を理解するために，点Ｐ（共通内接線ｍ上），点Ｑ（傍接円上），点Ｒ（内接円上）をドラッグすることを すすめます．反転による対応点がわかるようになっています． |
Ｐ，Ｑ，Ｒを太円に関して反転した点がＰ’，Ｑ’，Ｒ’です．Ｐ，Ｑ，Ｒを ドラッグしてみてください．９点円と内接円，傍接円が接することが分かります
以下，上で述べた方針に従って証明します．図を見ながら読み進めて下さい． なお，いろいろな準備をしながら証明を進めるので，長くなります．粘り強く読み進めてください． 反転の性質から入りましょう． ここで扱う反転の性質はフォイエルバッハの定理を証明するだけのものです． それ以外の内容に興味があれば反転とその応用 を参考にして下さい． まず反転の定義と基本性質から始めます． 中心がＯ，半径ｒの円ＣとＯと異なる点Ｐが与えられている． 円Ｃに関する点Ｐの反転Ｐ’とは半直線ＯＰ上で ＯＰ・ＯＰ’＝ｒ２ を満たす点です． まず，Ｐを与えたときＰ’がどのような点か調べよう． 点Ｐが円Ｃの内部にあるとき．Ｐを通り半直線ＯＰと垂直な直線と 円Ｃとの交点の片方をＡとし，Ａにおける円Ｃの接線と半直線ＯＰとの交点をＰ’とすれば このＰ’がＰの反転です． 実際△ＯＰＡ∽△ＯＡＰ’より ＯＰ・ＯＰ’＝ＯＡ２＝ｒ２ |
Ｐをドラッグするとその反転Ｐ’が分かります
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Ｐが円の外部にあるときも同じ図形を作ればよいだけです．それぞれの図形で点Ｐを動かせば
反転である点Ｐ’が求まります.
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Ｐをドラッグするとその反転Ｐ’が分かります
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反転で，直線，円がどのような図形に写るか調べましょう． 結果は次の通りです． 命題 （１）Ｏを通る直線は同じ直線に写る． （２）Ｏを通らない直線はＯを通る円に写る． （３）Ｏを通る円はＯを通らない直線に写る． （４）Ｏを通らない円はＯを通らない円に写る． 証明 （１）は明らかです．（２），（３）は右の図を見てください． 
（２）はＯから直線に下ろした垂線の足をＡ，点Ａを円Ｃに関して反転した点をＡ’とします．
直線上の任意の点Ｐを円Ｃに関して反転した点をＰ’とすればＯＡ・ＯＡ’＝ＯＰ・ＯＰ’よりＯＡ：ＯＰ＝ＯＰ’：ＯＡ’ ∴ △ＯＡＰ∽△ＯＰ’Ａ’ ∴ ∠Ｐ’＝９０° したがって，点Ｐ’はＯＡ’を直径とする円上にあり，Ｏを通らない直線の反転の像はＯを通る円です． (３)ＯＡ’をＯを通る円の直径とします．点Ａ’を円Ｃに関して反転した点をＡとします． ＯＡ’を直径とする円上の任意の点をＰ’とし，点Ｐ’を円Ｃに関して反転した点をＰとすれば． ＯＡ・ＯＡ’＝ＯＰ・ＯＰ’よりＯＡ：ＯＰ＝ＯＰ’：ＯＡ’ ∴ △ＯＡＰ∽△ＯＰ’Ａ’ ∴ ∠Ａ＝９０° したがって，点ＰはＡを通りＯＡに垂直な直線上にあり，Ｏを通る円の反転の像はＯを通らない直線です． 
（４）は少し面倒です．その原因は反転で円は円にうつりますが，中心は中心にはうつらないからです．
ここでは，少し工夫して証明します．点Ｏを中心とする半径ｒ１，ｒ２の同心円をそれぞれ Ｏ（ｒ１），Ｏ（ｒ２）とします． 点Ｐを円Ｏ（ｒ１）に関する反転した点をＱ，さらに円Ｏ（ｒ２）に関する点Ｑの反転をＲ とします． ＯＰ・ＯＱ＝ｒ１２ ・・・@ ＯＱ・ＯＲ＝ｒ2２ ・・・A ここでA÷@より ＯＲ／ＯＰ＝ｒ2２／ｒ1２＝（一定）・・・B したがって，２つの同心円に関する反転の合成はＯに関する相似変換になり，相似比はBとなります． 
円Ｏ１の円Ｏ（ｒ）に関する反転を考えましょう．Ｏから円Ｏ１に引いた接線をＯＡとしＯを中心とする 半径ＯＡの円をＯ（ＯＡ）とすると，方べきの定理より， ＯＰ・ＯＱ＝ＯＡ２. したがって，円Ｏ１の円Ｏ（ＯＡ）に関する 反転による像は円Ｏ１自身です．（これは次の（５）も参考にして下さい） したがって，円Ｏ１を円Ｏ（ｒ）に関する反転した図形は，円Ｏ１を 円Ｏ（ＯＡ）に関して反転し，さらにＯ（ｒ）に関して反転をした図形と 考えることが出来る．この合成は，Ｏに関する相似変換で あり，うつった図形はやはり円となります． また，相似比はｒ２／ＯＡ２です． すなわち，反転の像を２つの反転の合成と考えて証明したわけです． 
次は最後の準備です．（５）円Ｃに関する反転で，Ｃに直交する円の像は，その円自身である． これは，右の図と方べきの定理(ＯＰ・ＯＰ’＝ＯＴ２）よりＰはＰ’にうつり，Ｐ’はＰにうつります． したがって，Ｃに直交する円の像は，その円自身です． さて反転についての準備は整いました． もう一つ，三角形の内接円，外接円の接点の性質を，定理の証明で用いるので，先に証明しておきましょう． 
命題△ＡＢＣの内接円Ｉ，傍接円ＩＢと辺ＡＣとの接点をそれぞれＤ，Ｅとする．また，２円Ｉ，ＩＢの共通内接線 のうち辺ＡＣでない方の直線と辺ＢＣ，ＡＢまたはその延長との交点をそれぞれＦ，Ｇとする． このとき，次が成り立つ． （１）ＣＤ＝ＡＥ （２）ＢＡ＝ＢＦ,ＢＣ＝ＢＧ 証明 （１） 傍接円ＩＢとＢＡの延長，ＢＣの延長との接点をそれぞれＪ，Ｋとし， ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｓとおきます． このとき ＡＥ＝ＡＪ＝ＢＪ−ＢＡ＝ｓ−ｃ ２ＣＤ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）−２ｃ ∴ ＣＤ＝ｓ−ｃ ∴ ＡＥ＝ＣＤ この性質は，後で，「ＤＥの中点はＡＣの中点である」という形で使われます． （２）直線ＢＩに関して対称であるから(２円Ｉ，ＩＢに２本の共通内接線を書き加えた図形と考える) △ＡＢＣ≡△ＢＦＧ ∴ ＡＢ＝ＢＦ，ＢＣ＝ＢＧ 準備が全て整いました．フォイエルバッハの定理を証明いたします． 定理（フォイエルバッハ） 三角形の９点円は内接円および３つの傍接円に接する． 
証明図で赤円は，内接円の接点Ｄと傍接円の接点Ｅを直径の両端とする円Ｏです． この赤円Ｏに関する反転を考えます． この円の中心Ｏは，内接円，傍接円の共通内接線(辺ＡＣ）上にあるので円Ｏは内接円，傍接円に直交します． したがってこの反転で，内接円，傍接円はそれぞれ，その円自身に写ります． 残りは，９点円のこの赤円に関する反転による像が内接円，傍接円の共通内接線のうち， 辺ＡＣでない方（直線ｍ）であることを示すことです． 
先ず，上の命題でしたしたことより，ＡＥ＝ＣＤが成り立つので，
線分ＤＥの中点Ｏは辺ＡＣの中点です．
さらに，△ＡＢＣの９点円は辺ＡＣの中点Ｏを通るので，
９点円の反転の像は直線になります．したがって，辺ＡＢの中点Ｍ，辺ＢＣの中点Ｎの反転の像が直線ｍ上にあることを 証明すれば，証明が完成します． すなわち，直線ＯＭと直線ｍの交点をＭ’，直線ＯＮと直線ｍとの交点をＮ’とし， ＯＭ・ＯＭ’＝（円Ｏの半径）２ ＯＮ・ＯＮ’＝（円Ｏの半径）２ を示すだけになりました． 右上図で， ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ， ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２ とおきます． まず，円Ｏの半径を求めましょう． 前に証明したＣＤ＝ＡＥ＝ｓ−ｃより （円Ｏの半径）＝（ｃ−ａ）／２ 次に，中点連結定理より ＯＭ＝ａ／２． ＯＭ’の長さを求めましょう． 直線ｍと辺ＢＣの延長との交点をＦ，辺ＡＣと直線ｍとの交点をＫとすれば △ＫＣＦ∽△ＫＯＭ’でありこの相似を利用します． ＢＫは∠Ｂの二等分線より 
またＢＡ＝ＢＦよりＣＦ＝ｃ−ａ 以上より 
したがって， 
＝（円Ｏの半径）２ が示せました． 次に，ＯＮ’・ＯＮを計算しましょう． ＯＮ＝ｃ／２． ＯＮ’は△ＫＯＮ’∽△ＫＡＧを利用します． ＡＧ＝ｃ−ａ， 
＝（円Ｏの半径）２ 以上で証明が終了いたしました．長い証明ですが，ゆっくり読み進めてください． フォイエルバッハの定理が発見されたのは１８２２年で，この反転による証明は１８７５年J.P.Taylorによってなされました． さて，これらの内容に興味を持った人のために 英語ですが次の本を紹介します． 反転に関しての面白い例もたくさんあります． 数学の本は英語であっても内容さえ分かるなら，おもったより簡単に読めます． 〔1〕H.M.S Coxeter. S.L.Greitzer 著 GEOMETRIC REVISITED New Mathematical Library vol 19 Random house 〔2〕H.Perfect著 Topics in Geometry, Pergamon 1963,London 〔3〕D.Pedoe著 Circles , Pergamon,1957,London 〔4〕岩田至康 幾何学辞典 槇書店 なお，〔1〕は以前河出書房より口語訳が出版されていましたが今は絶版です．このシリーズは， アメリカで１９６０年代数学の現代化のために高校生向けにかかれたものでどれもすばらしいシリーズです． 〔4〕は日本の誇りともいえるすばらしい辞典です． 以上で，オイラー線，９点円に関してのよく知られた内容の解説は終わりです． 余裕があったら次のことを調べてみましょう． △ＡＢＣを与えたとき，内心，外心，重心，垂心，傍心，辺の中点，垂線の足， その他いろいろな点があります．これらの点のうち，直線上にある点，同一円周上 にある点の組を探しましょう. 
右の例は，伊藤陽君，江波戸貴哉君が共同で見つけたものです．△ＡＢＣの外心Ｏ，内心Ｉ，および傍接三角形（３頂点が傍心である三角形） の外心Ｋは一直線上にあり,Ｏは線分ＩＫの中点である. この性質を見つけたときはひょっとしたらすばらしい結果なのではないか. と思ったのですが，よく見ると，△ＡＢＣは傍接三角形の垂足三角形になっており， 要するに△ＡＢＣの外接円は傍接三角形の９点円になっています． 結局当たり前の結果でした． 三角形のオイラー線，９点円の話はこれで終わりです．次からは，生徒の作った例を題材に， 垂足三角形の周辺の話題について調べていきます． |
垂足三角形とその周辺の話題
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