命題 △ABCのオイラー線が頂点を通るなら,△ABCは2等辺三角形か直角三角形である.
証明 重心G,外心Oが頂点と一致することはない.
垂心Hと頂点が一致するときと一致しないときに分けて証明する.
(@)垂心Hと頂点Aが一致するとき,CA⊥ABであるから,△ABCは ∠Aが直角である直角三角形である.
(A)オイラー線が頂点Aをとおるとき
オイラー線と辺BCとの交点は中点Dであり,かつ,AD⊥BCより,△ABCはAB=ACである 2等辺三角形である.