命題　△ＡＢＣのオイラー線が頂点を通るなら，△ＡＢＣは２等辺三角形か直角三角形である． 証明 重心Ｇ，外心Ｏが頂点と一致することはない． 垂心Ｈと頂点が一致するときと一致しないときに分けて証明する． （�@）垂心Ｈと頂点Ａが一致するとき，ＣＡ⊥ＡＢであるから，△ＡＢＣは ∠Ａが直角である直角三角形である． （�A）オイラー線が頂点Ａをとおるとき オイラー線と辺ＢＣとの交点は中点Ｄであり，かつ，ＡＤ⊥ＢＣより，△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣである ２等辺三角形である．