ここでは，垂足三角形について扱います．まず，三角形の垂足三角形の定義は次の通りです． 定義（垂足三角形） 鋭角△ＡＢＣの各頂点より対辺に下した垂線の足をそれぞれＤ，Ｅ，Ｆ とする．このとき，△ＤＥＦを△ＡＢＣの垂足三角形という． 垂足三角形の性質を調べましょう． 図を説明します． ∠ＢＤＨ＝∠ＢＦＨ＝９０° ですから，４点Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｆは線分ＢＨが直径である 円周上にあります．同様に，４点Ａ，Ｆ，Ｈ，Ｅおよび ４点Ｅ，Ｈ，Ｄ，Ｃも同様です． 図より， ∠ＦＤＢ＝∠ＦＨＢ＝∠ＥＨＣ＝∠ＥＤＣ が成り立つので ∠ＦＤＢ＝∠ＥＤＣ が成り立ちます．同様に ∠ＤＥＣ＝∠ＦＥＡ，∠ＥＦＡ＝∠ＤＦＢ となります これは，線分ＤＥ，ＥＦ，ＦＤは△ＡＢＣの各辺と等角に交わることを意味しています． 言い方を変えれば，点Ｄから点Ｅに向かった光は跳ね返ってＤに戻ってきます． 光の道筋は，最短経路を表しますから，次の定理が成り立つことが予想できます． 定理 鋭角三角形ＡＢＣの各辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上にそれぞれＤ，Ｅ，Ｆをとる．このとき， ＤＥ＋ＥＦ＋ＦＤを最小にするＤ，Ｅ．Ｆは各頂点から対辺に下ろした足である． この章の目的はこの定理を証明することです． さて，証明に入る前に，証明で用いる性質を確認しましょう．この性質はこれからの議論の土台となります． 
問題直線ｍとｍに関して同じ側に２点Ａ，Ｂがある．直線ｍ上の点ＰをどこにとればＡＰ＋ＢＰが最小 になるか． この問題について，直線ＸＹに関してＢと対称な点Ｂ’をとることにより次の結果を得ます． 定理 ２点Ａ，Ｂが直線ＸＹに関して同じ側にある．このとき．直線ＸＹ上の点Ｐについ て次の式が成り立つ． ＡＰ＋ＰＢが最小 ⇔ ∠ＡＰＸ＝∠ＢＰＹ 
証明ＰがＡＰ＋ＢＰを最小にする点なら，点ＰはＡＢ’とＸＹの交点であるから ∠ＡＰＸ＝∠Ｂ’ＰＹ＝∠ＢＰＹ 逆に，∠ＡＰＸ＝ＢＰＹのとき ∠ＡＰＢ’＝∠ＡＰＸ＋∠ＸＰＢ’ ＝∠ＢＰＹ＋∠ＸＰＢ’ ＝∠Ｂ’ＰＹ＋∠ＸＰＢ’（∵Ｂ，Ｂ’はＸＹに関して対称） ＝∠ＸＰＹ＝１８０° ３点Ａ，Ｐ，Ｂ’は一直線上にあるから，点ＰはＡＢ’とＸＹの交点であり，ＡＰ＋ＢＰを最小にする点である． |
左の角は∠ＡＰＸで右の角は∠ＢＰＹです．右下のResultはＡＰ＋ＢＰの長さです．Ａ，Ｂ，Ｐを ドラッグしていろいろ調べてみましょう
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幾何の定理は，できるだけ同値の命題にするのが議論を簡潔にさせるコツです．なお，逆の命題を直接証明するのが難しい場合が 結構あり，よく同一法や転換法が用いられます． 定理をちょっと書き換えてみました．まったく同じことなんです. わかりますか． 
命題1△ＡＢＣは面積一定で，辺ＢＣは固定している．このような△ＡＢＣのうち ＡＢ＋ＡＣが最小であるものはＡＢ＝ＡＣの２等辺三角形である． 証明 ∠ＢＡＸ＝∠ＣＡＹ および錯角より ∠Ｂ＝∠Ｃ 上の定理そのままですが，少し難しく感じるかもしれません．数学において慣れはとても大事であることが分かります． 次の命題２は命題１と同値の命題です． 以上で準備はおしまいです． 
定理 鋭角三角形ＡＢＣの各辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上にそれぞれＤ，Ｅ，Ｆをとる．このとき， ＤＥ＋ＥＦ＋ＦＤを最小にするＤ，Ｅ．Ｆは各頂点から対辺に下ろした足である． の証明に入りましょう． Ｄ，Ｅ，Ｆはそれぞれ辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上の点です． このとき，３つの条件を考えます． T：点Ｄ，Ｅ，ＦはＤＥ＋ＥＦ＋ＦＤを最小にする． U：ＤＥ，ＥＦ，ＦＤは各辺と等角に交わる．すなわち ∠ＦＤＢ＝∠ＥＤＣ，∠ＤＥＣ＝∠ＦＥＡ，∠ＥＦＡ＝∠ＤＦＢ を満たす． V：Ｄ，Ｅ．Ｆは各頂点から対辺に下ろした垂線の足である． ３条件1，U，Vが同値であることを証明します． 
まず，T→Uを証明します．すなわち，ＤＥ＋ＥＦ＋ＦＤが最小であるならばＤＥ，ＥＦ，ＦＤは各辺と等角に交わる．すなわち ∠ＦＤＢ＝∠ＥＤＣ，∠ＤＥＣ＝∠ＦＥＡ，∠ＥＦＡ＝∠ＤＦＢを満たす． 背理法を用います． もし，３条件のいずれかが成り立たなければ， たとえば，∠ＦＤＢ≠∠ＥＤＣとすると，２点Ｅ，Ｆを固定した上で， ∠ＦＤ’Ｂ＝∠ＥＤ’Ｃを満たすように辺ＢＣ上にＤ’を定めれば，より短くなり ＤＥ＋ＥＦ＋ＦＤが最小でないことが分かります． 次にV→Uですが，これはすでに証明してあります（最初の方を見てください）． 次にU→Vを証明します． すなわち， ∠ＦＤＢ＝∠ＥＤＣ，∠ＤＥＣ＝∠ＦＥＡ，∠ＥＦＡ＝∠ＤＦＢ を満たすとき，∠ＡＤＢ＝９０°を証明します． 
実際，ＡＢに関してＤと対称な点をＤ’，ＡＣに関してＤと対称な点をＤ”とします．このとき ∠ＤＥＣ＝∠ＦＥＡ，∠ＥＦＡ＝∠ＤＦＢより 4点Ｄ’，Ｆ，Ｅ，Ｄ”は同一直線上にあります． さらに ∠ＡＤＥ＝∠ＡＤ”Ｅ（∵ＡＣに関して対称） ＝∠ＡＤ’Ｅ（∵ＡＤ’＝ＡＤ＝ＡＤ”） ＝∠ＡＤＦ さらに,仮定より∠ＦＤＢ＝∠ＥＤＣ ∴∠ＡＤＢ＝９０° 最後にU→Tを証明します． まず，条件Tを変形します． 鋭角三角形ＡＢＣの辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上にそれぞれＰ，Ｑ，Ｒをとります． ＡＢに関してＰと対称な点をＰ’，ＡＣに関してＰと対称な点をＰ”とします． |
左の図で，Ｐをドラッグすると△ＡＰ’Ｐ”は∠Ｐ’ＡＰ”は 一定でＡＰ’の長さだけが変わります
点Ｐを固定して考えれば．ＰＱ＋ＱＲ＋ＲＰの最小値は線分Ｐ’Ｐ” の長さです．さらに，∠Ｐ’ＡＰ”＝２∠Ａですから Ｐ’Ｐ”＝２ＡＰ’sinＡ ＝２ＡＰsinＡ． ∠Ａの大きさは一定ですから，ＡＰの長さが最小のとき，Ｐ’Ｐ”の長さが最小に なります．したがって，Ａから辺ＢＣに下ろした垂線の足をＤとすれば ＡＤがＡＰの長さの最小値です． さらに，ＡＢ，ＡＣに関してＤと対称な点をそれぞれＤ’，Ｄ”，線分 Ｄ’Ｄ”と辺ＡＣ，ＡＢの交点をそれぞれＥ，Ｆとします． 証明とは関係ないが，Ｄ’Ｄ”の値が∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃに関係しない値であることを確認しておこう． Ｄ’Ｄ”＝２ＡＤsinＡ＝２sinＡ・２Ｓ／ＢＣ（ただしＳは△ＡＢＣの面積） ＝２Ｓ／Ｒ （ここのＲは△ＡＢＣの外接円の半径） ＝（一定） 以上で次の同値の関係式が示せました． 点Ｄ，Ｅ，ＦはＤＥ＋ＥＦ＋ＦＤを最小にする ⇔ＤはＡから辺ＢＣに下ろした垂線の足．ＡＢ，ＡＣに関してＤと対称な点をそれぞれＤ’，Ｄ”と すれば，線分Ｄ’Ｄ”と辺ＡＣ，ＡＢとの交点がＥ，Ｆである 同値の右辺で定めたＤ，Ｅ，ＦによるＤＥ，ＥＦ，ＦＤが各辺と等角に交わるすなわちUと同値である ことを証明すれば，証明が終了します．
実際，Ｄ，Ｄ’がＡＢに関して対称より∠ＡＦＥ＝∠ＤＦＢ 同様に ∠ＡＥＦ＝∠ＣＥＤ さらに ∠ＡＤＦ＝∠ＡＤ’Ｆ（∵ＡＢに関して対称） ＝∠ＡＤ”Ｅ（∵ＡＤ’＝ＡＤ＝ＡＤ”） ＝∠ＡＤＥ（∵ＡＣに関して対称） したがってＡＤ⊥ＢＣより ∠ＦＤＢ＝∠ＥＤＣ 逆にＤ，Ｅ，ＦがUをみたすとき，ＤはＡから辺ＢＣに下ろした垂線の足であり（U⇔Vは証明してある）， UによるＤ，Ｅ，Ｆの定め方とTによるＤ，Ｅ，Ｆの定め方は一致する． 長かったですが，以上で証明が終了いたしました． すべてをきちんと証明するとなると思ったより手ごわい内容でした． 注意 ここではすべてを直接証明しましたが，D,E,Fは唯一つに決まりますから，EがBからACに下した垂線の足でなかったら 矛盾するのでBE⊥AC．同様にCF⊥ABも示せここまで細かく証明をする必要はありません． なお，この定理に関してはシュワルツの証明が有名です． 最後に三角形の外接円の半径Ｒ，内接円の半径ｒ，外心，内心間の距離ｄの 間に成り立つ次の定理を証明して終わりにしましょう． 定理 △ＡＢＣの外接円の半径Ｒ，内接円の半径ｒ，外心，内心２点間の距離をｄとする． このとき ｄ２＝Ｒ２−２Ｒｒ が成り立つ． 
証明 右の図の説明をします. Ｏ，Ｉは△ＡＢＣの外心，内心．直線ＯＩと外接円との交点をＥ，Ｆ， ＩからＡＣに下した垂線の足がＨ，∠Ａの２等分線と外接円との交点がＤ， さらに，ＤＯと外接円との交点がＫとなっています． このとき，次の等式が成り立ちます． ＩＥ・ＩＦ ＝（Ｒ＋ｄ）（Ｒ−ｄ） 一方 ＩＥ・ＩＦ ＝ＩＡ・ＩＤ （∵ 方べきの定理） ＝ＩＡ・ＤＣ (∵ ＤＩ＝ＤＣ＝ＤＢがなりたつ．証明は後で） ＝ＤＫ・ＩＨ （∵ △ＡＩＨ∽△ＫＤＣ） ＝２Ｒ・ｒ 
あとは証明で使ったＤＩ＝ＤＣ＝ＤＢの証明ですが，右の図より
読みとってください．∠Ａの２等分線と外接円の交点がＤとなっています．
以上で証明が終了しました． ｄ２＝Ｒ２−２Ｒｒ より，ｄ２≧０ですから Ｒ≧２ｒが成り立ち，等号が成り立つのは外心と内心が一致するときすなわち， 正三角形のときということが分かりました． ここで証明した定理の反転を利用した証明は反転とその応用にあります． |
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